Campo de clases de Hilbert

En la teoría de números algebraicos , el cuerpo de clase de Hilbert E de un cuerpo de números K es la extensión abeliana no ramificada máxima de K. Su grado sobre K es igual al número de clase de K y el grupo de Galois de E sobre K es canónicamente isomorfo al grupo de clase ideal de K usando elementos de Frobenius para ideales primos en K.

En este contexto, el cuerpo de clase de Hilbert de K no sólo no está ramificado en los lugares finitos (la interpretación teórica ideal clásica) sino también en los lugares infinitos de K. Es decir, cada incrustación real de K se extiende a una incrustación real de E (en lugar de a una incrustación compleja de E ).

Ejemplos

• Si el anillo de números enteros de K es un dominio de factorización único , en particular si , entonces K es su propio campo de clase de Hilbert. ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$
• Sea de discriminante . El campo tiene discriminante y por lo tanto es una extensión no ramificada en todas partes de K , y es abeliano. Usando el límite de Minkowski , se puede demostrar que K tiene número de clase 2. Por lo tanto, su campo de clase de Hilbert es . Un ideal no principal de K es (2,(1+ √ −15 )/2), y en L esto se convierte en el ideal principal ((1+ √ 5 )/2). ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-15}})}$ ${\displaystyle -15}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}},{\sqrt {5}})}$ ${\displaystyle 225=(-15)^{2}}$ ${\displaystyle L}$
• El campo tiene número de clase 3. Su campo de clase de Hilbert se puede formar adjuntando una raíz de x ³ - x - 1, que tiene discriminante -23. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$
• Para ver por qué debe tenerse en cuenta la ramificación en los primos arquimedianos, considere el cuerpo cuadrático real K obtenido al adjuntar la raíz cuadrada de 3 a Q . Este cuerpo tiene número de clase 1 y discriminante 12, pero la extensión K ( i )/ K del discriminante 9=3 ² no está ramificada en todos los ideales primos en K , por lo que K admite extensiones abelianas finitas de grado mayor que 1 en las que todos los primos finitos de K no están ramificados. Esto no contradice el cuerpo de clase de Hilbert de K siendo K mismo: cada extensión abeliana finita propia de K debe ramificarse en algún lugar, y en la extensión K ( i )/ K hay ramificación en los lugares arquimedianos: las incrustaciones reales de K se extienden a incrustaciones complejas (en lugar de reales) de K ( i ).
• Mediante la teoría de la multiplicación compleja , el campo de clase de Hilbert de un campo cuadrático imaginario se genera por el valor de la función modular elíptica en un generador para el anillo de números enteros (como un módulo Z ).

Historia

La existencia de un campo de clases de Hilbert (estrecho) para un campo numérico dado K fue conjeturada por David Hilbert  (1902) y demostrada por Philipp Furtwängler . ^[1] La existencia del campo de clases de Hilbert es una herramienta valiosa para estudiar la estructura del grupo de clases ideal de un campo dado.

Propiedades adicionales

El campo de clase de Hilbert E también satisface lo siguiente:

• E es una extensión de Galois finita de K y [ E  : K ] = h _K , donde h _K es el número de clase de K .
• El grupo de clases ideal de K es isomorfo al grupo de Galois de E sobre K.
• Todo ideal de O _K se extiende a un ideal principal de la extensión del anillo O _E ( teorema del ideal principal ).
• Todo ideal primo P de O _K se descompone en el producto de h _K / f ideales primos en O _E , donde f es el orden de [ P ] en el grupo de clases ideales de O _K .

De hecho, E es el único campo que satisface las propiedades primera, segunda y cuarta.

Construcciones explícitas

Si K es una ecuación cuadrática imaginaria y A es una curva elíptica con multiplicación compleja por el anillo de números enteros de K , entonces al unir el j-invariante de A a K se obtiene el cuerpo de clase de Hilbert. ^[2]

Generalizaciones

En la teoría de campos de clases , se estudia el campo de clases de rayos con respecto a un módulo dado , que es un producto formal de ideales primos (incluidos, posiblemente, los arquimedianos). El campo de clases de rayos es la extensión abeliana máxima no ramificada fuera de los primos que dividen el módulo y que satisface una condición de ramificación particular en los primos que dividen el módulo. El campo de clases de Hilbert es entonces el campo de clases de rayos con respecto al módulo trivial 1 .

El campo de clase estrecho es el campo de clase de rayos con respecto al módulo que consta de todos los primos infinitos. Por ejemplo, el argumento anterior muestra que es el campo de clase estrecho de . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}},i)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$

Notas

1. Furtwängler 1906
2. Teorema II.4.1 de Silverman 1994

Referencias

• Childress, Nancy (2009), Teoría de campos de clases , Nueva York: Springer , doi :10.1007/978-0-387-72490-4, ISBN 978-0-387-72489-8, Sr.  2462595
• Furtwängler, Philipp (1906), "Allgemeiner Existenzbeweis für den Klassenkörper eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers", Mathematische Annalen , 63 (1): 1–37, doi :10.1007/BF01448421, JFM  37.0243.02, MR  1511392 , recuperado 2 009-08- 21
• Hilbert, David (1902) [1898], "Über die Theorie der relativ-Abel'schen Zahlkörper", Acta Mathematica , 26 (1): 99–131, doi : 10.1007/BF02415486
• JS Milne, Class Field Theory (Apuntes del curso disponibles en http://www.jmilne.org/math/). Véase el capítulo de Introducción de los apuntes, especialmente la página 4.
• Silverman, Joseph H. (1994), Temas avanzados en la aritmética de curvas elípticas , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 151, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94325-1
• Gras, Georges (2005), Teoría de campos de clases: de la teoría a la práctica , Nueva York: Springer

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