Función de Schwartz-Bruhat

En matemáticas , una función de Schwartz-Bruhat , llamada así en honor a Laurent Schwartz y François Bruhat , es una función valorada compleja en un grupo abeliano localmente compacto , como los adeles , que generaliza una función de Schwartz en un espacio vectorial real. Una distribución templada se define como una funcional lineal continua en el espacio de funciones de Schwartz-Bruhat.

Definiciones

• En un espacio vectorial real , las funciones de Schwartz-Bruhat son simplemente las funciones de Schwartz habituales (todas las derivadas decrecen rápidamente) y forman el espacio . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$
• En un toro, las funciones de Schwartz-Bruhat son funciones suaves.
• En una suma de copias de números enteros, las funciones de Schwartz-Bruhat son funciones que decrecen rápidamente.
• En un grupo elemental (es decir, un grupo abeliano localmente compacto que es producto de copias de los reales , los números enteros , el grupo circular y los grupos finitos), las funciones de Schwartz-Bruhat son funciones suaves, todas cuyas derivadas están decreciendo rápidamente. . ^[1]
• En un grupo abeliano general localmente compacto , sea un subgrupo generado de forma compacta y un subgrupo compacto de tal que sea elemental. Entonces, el retroceso de una función de Schwartz-Bruhat en es una función de Schwartz-Bruhat en , y todas las funciones de Schwartz-Bruhat en se obtienen así para adecuado y . (El espacio de las funciones de Schwartz-Bruhat está dotado de la topología límite inductiva ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A/B}$ ${\displaystyle A/B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$
• En un campo local no de Arquímedes , una función de Schwartz-Bruhat es una función localmente constante de soporte compacto. ${\displaystyle K}$
• En particular, en el anillo de adeles sobre un campo global , las funciones de Schwartz-Bruhat son combinaciones lineales finitas de los productos sobre cada lugar de , donde cada una es una función de Schwartz-Bruhat en un campo local y es la función característica en el anillo. de números enteros para todos menos para un número finito . (Para los lugares de Arquímedes de , son solo las funciones habituales de Schwartz en , mientras que para los lugares que no son de Arquímedes son las funciones de Schwartz-Bruhat de campos locales no de Arquímedes.) ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \prod _{v}f_{v}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f_{v}}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle f_{v}=\mathbf {1} _{{\mathcal {O}}_{v}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f_{v}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f_{v}}$
• El espacio de las funciones de Schwartz-Bruhat en los adeles se define como el producto tensorial restringido ^[2] de los espacios de Schwartz-Bruhat de campos locales, donde es un conjunto finito de lugares de . Los elementos de este espacio son de la forma , donde para todos y para todos, excepto un número finito . Para cada uno podemos escribir , que es finito y por tanto está bien definido. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle \bigotimes _{v}'{\mathcal {S}}(K_{v}):=\varinjlim _{E}\left(\bigotimes _{v\in E}{\mathcal {S}}(K_{v})\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(K_{v})}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f=\otimes _{v}f_{v}}$ ${\displaystyle f_{v}\in {\mathcal {S}}(K_{v})}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f_{v}|_{{\mathcal {O}}_{v}}=1}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle f(x)=\prod _{v}f_{v}(x_{v})}$

Ejemplos

• Cada función de Schwartz-Bruhat se puede escribir como , donde cada , y . ^[4] Esto se puede ver observando que ser un campo local implica que por definición tiene soporte compacto, es decir, tiene una subcobertura finita. Dado que todo conjunto abierto puede expresarse como una unión disjunta de bolas abiertas de la forma (para algunos y ) tenemos ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}(\mathbb {Q} _{p})}$ ${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\mathbf {1} _{a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p}}}$ ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle a+p^{k}\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {supp} (f)=\coprod _{i=1}^{n}(a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p})}$. La función también debe ser localmente constante, por lo que para algunos . (En cuanto a evaluado en cero, siempre se incluye como término). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f|_{a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p}}=c_{i}\mathbf {1} _{a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p}}}$ ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)\mathbf {1} _{\mathbb {Z} _{p}}}$

• En los adeles racionales, todas las funciones en el espacio de Schwartz-Bruhat son combinaciones lineales finitas de todos los primos racionales , donde , y para todos menos un número finito . Los conjuntos y son el campo de números p-ádicos y el anillo de enteros p-ádicos respectivamente. ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })}$ ${\displaystyle \prod _{p\leq \infty }f_{p}=f_{\infty }\times \prod _{p<\infty }f_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f_{\infty }\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f_{p}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {Q} _{p})}$ ${\displaystyle f_{p}=\mathbf {1} _{\mathbb {Z} _{p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Propiedades

La transformada de Fourier de una función de Schwartz-Bruhat en un grupo abeliano localmente compacto es una función de Schwartz-Bruhat en el grupo dual de Pontryagin . En consecuencia, la transformada de Fourier lleva distribuciones templadas en dicho grupo a distribuciones templadas en el grupo dual. Dada la medida de Haar (aditiva) en el espacio de Schwartz-Bruhat es densa en el espacio ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{K})}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {A} _{K},dx).}$

Aplicaciones

En teoría algebraica de números , las funciones de Schwartz-Bruhat en los adeles se pueden utilizar para dar una versión adélica de la fórmula de suma de Poisson a partir del análisis, es decir, para cada uno tiene , donde . John Tate desarrolló esta fórmula en su tesis doctoral para demostrar una versión más general de la ecuación funcional de la función zeta de Riemann . Se trata de dar a la función zeta de un campo numérico una representación integral en la que la integral de una función de Schwartz-Bruhat, elegida como función de prueba, está distorsionada por un cierto carácter y está integrada con respecto a la medida multiplicativa de Haar de este grupo. . Esto permite aplicar métodos analíticos para estudiar funciones zeta a través de estas integrales zeta. ^[5] ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{K})}$ ${\displaystyle \sum _{x\in K}f(ax)={\frac {1}{|a|}}\sum _{x\in K}{\hat {f}}(a^{-1}x)}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {A} _{K}^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$

Referencias

1. Osborne, M. Scott (1975). "Sobre el espacio de Schwartz-Bruhat y el teorema de Paley-Wiener para grupos abelianos localmente compactos". Revista de análisis funcional . 19 : 40–49. doi : 10.1016/0022-1236(75)90005-1 .
2. Golpe, p.300
3. Ramakrishnan, Valenza, p.260
4. Deitmar, p.134
5. Tate, John T. (1950), "Análisis de Fourier en campos numéricos y funciones zeta de Hecke", Teoría algebraica de números (Proc. Instruccional Conf., Brighton, 1965) , Thompson, Washington, DC, págs. , ISBN 978-0-9502734-2-6, SEÑOR  0217026

• Osborne, M.Scott (1975). "Sobre el espacio de Schwartz-Bruhat y el teorema de Paley-Wiener para grupos abelianos localmente compactos". Revista de análisis funcional . 19 : 40–49. doi : 10.1016/0022-1236(75)90005-1 .
• Gelfand, IM; et al. (1990). Teoría de la representación y funciones automórficas . Boston: Prensa académica. ISBN 0-12-279506-7.
• Golpe, Daniel (1998). Formas y Representaciones Automórficas . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521658188.
• Deitmar, Antón (2012). Formas automorfas . Berlín: Springer-Verlag Londres. ISBN 978-1-4471-4434-2. ISSN  0172-5939.
• Ramakrishnan, V.; Valenza, RJ (1999). Análisis de Fourier sobre campos numéricos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0387984360.
• Tate, John T. (1950), "Análisis de Fourier en campos numéricos y funciones zeta de Hecke", Teoría algebraica de números (Proc. Instrucción Conf., Brighton, 1965) , Thompson, Washington, DC, págs. ISBN 978-0-9502734-2-6, SEÑOR  0217026