Conjetura de modularidad de Serre

Conjetura en teoría de números

En matemáticas , la conjetura de modularidad de Serre , introducida por Jean-Pierre Serre (1975, 1987), establece que una representación de Galois  impar, irreducible y bidimensional sobre un cuerpo finito surge de una forma modular. Una versión más fuerte de esta conjetura especifica el peso y el nivel de la forma modular. La conjetura en el caso de nivel 1 fue demostrada por Chandrashekhar Khare en 2005, ^[1] y una demostración de la conjetura completa fue completada conjuntamente por Khare y Jean-Pierre Wintenberger en 2008. ^[2]

Formulación

La conjetura se refiere al grupo de Galois absoluto del cuerpo de números racionales . ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Sea una representación bidimensional, continua y absolutamente irreducible de sobre un campo finito . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{\ell ^{r}}}$

${\displaystyle \rho \colon G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}(F).}$

Además, se asume que es impar, lo que significa que la imagen de conjugación compleja tiene determinante -1. ${\displaystyle \rho }$

A cualquier forma propia modular normalizada

${\displaystyle f=q+a_{2}q^{2}+a_{3}q^{3}+\cdots }$

de nivel , peso y algún carácter Nebentype ${\displaystyle N=N(\rho )}$ ${\displaystyle k=k(\rho )}$

${\displaystyle \chi \colon \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} \rightarrow F^{*}}$,

Un teorema debido a Shimura, Deligne y Serre-Deligne se aplica a una representación ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \rho _{f}\colon G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}({\mathcal {O}}),}$

donde es el anillo de los números enteros en una extensión finita de . Esta representación se caracteriza por la condición de que para todos los números primos , coprimos con , tenemos ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N\ell }$

${\displaystyle \operatorname {Trace} (\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=a_{p}}$

y

${\displaystyle \det(\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=p^{k-1}\chi (p).}$

Reduciendo esta representación módulo el ideal máximo de da una representación mod de . ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle {\overline {\rho _{f}}}}$ ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$

La conjetura de Serre afirma que para cualquier representación como la anterior, existe una forma propia modular tal que ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\overline {\rho _{f}}}\cong \rho }$.

El nivel y el peso de la forma conjetural se conjeturan explícitamente en el artículo de Serre. Además, deduce una serie de resultados de esta conjetura, entre ellos el Último Teorema de Fermat y la conjetura de Taniyama-Weil (o Taniyama-Shimura), ahora probada, conocida ahora como el teorema de modularidad (aunque esto implica el Último Teorema de Fermat, Serre lo demuestra directamente a partir de su conjetura). ${\displaystyle f}$

Nivel y peso óptimos

La forma fuerte de la conjetura de Serre describe el nivel y el peso de la forma modular.

El nivel óptimo es el del conductor Artin de la representación, con el poder eliminado. ${\displaystyle l}$

Prueba

Una prueba de los casos de nivel 1 y de peso pequeño de la conjetura fue obtenida en 2004 por Chandrashekhar Khare y Jean-Pierre Wintenberger , ^[3] y por Luis Dieulefait, ^[4] independientemente.

En 2005, Chandrashekhar Khare obtuvo una prueba del caso de nivel 1 de la conjetura de Serre, ^[5] y en 2008 una prueba de la conjetura completa en colaboración con Jean-Pierre Wintenberger. ^[6]

Notas

1. Khare, Chandrashekhar (2006), "Conjetura de modularidad de Serre: el caso de nivel uno", Duke Mathematical Journal , 134 (3): 557–589, doi :10.1215/S0012-7094-06-13434-8.
2. Khare, Chandrashekhar; Wintenberger, Jean-Pierre (2009), "Conjetura de modularidad de Serre (I)", Inventiones Mathematicae , 178 (3): 485–504, Bibcode :2009InMat.178..485K, CiteSeerX 10.1.1.518.4611 , doi :10.1007/s00222-009-0205-7 y Khare, Chandrashekhar; Wintenberger, Jean-Pierre (2009), "Conjetura de modularidad de Serre (II)", Inventiones Mathematicae , 178 (3): 505–586, Bibcode :2009InMat.178..505K, CiteSeerX 10.1.1.228.8022 , doi :10.1007/s00222-009-0206-6 .
3. Khare, Chandrashekhar; Wintenberger, Jean-Pierre (2009), "Sobre la conjetura de reciprocidad de Serre para representaciones bidimensionales mod p de Gal(Q/Q)", Annals of Mathematics , 169 (1): 229–253, doi : 10.4007/annals.2009.169.229.
4. Dieulefait, Luis (2007), "El caso de nivel 1 peso 2 de la conjetura de Serre", Revista Matemática Iberoamericana , 23 (3): 1115–1124, arXiv : math/0412099 , doi :10.4171/rmi/525.
5. Khare, Chandrashekhar (2006), "Conjetura de modularidad de Serre: el caso de nivel uno", Duke Mathematical Journal , 134 (3): 557–589, doi :10.1215/S0012-7094-06-13434-8.
6. Khare, Chandrashekhar; Wintenberger, Jean-Pierre (2009), "Conjetura de modularidad de Serre (I)", Inventiones Mathematicae , 178 (3): 485–504, Bibcode :2009InMat.178..485K, CiteSeerX 10.1.1.518.4611 , doi :10.1007/s00222-009-0205-7 y Khare, Chandrashekhar; Wintenberger, Jean-Pierre (2009), "Conjetura de modularidad de Serre (II)", Inventiones Mathematicae , 178 (3): 505–586, Bibcode :2009InMat.178..505K, CiteSeerX 10.1.1.228.8022 , doi :10.1007/s00222-009-0206-6 .

Referencias

• Serre, Jean-Pierre (1975), "Valeurs propres des opérateurs de Hecke módulo l", Journées Arithmétiques de Bordeaux (Conf., Univ. Bordeaux, 1974), Astérisque , 24–25: 109–117, ISSN  0303-1179, Señor  0382173
• Serre, Jean-Pierre (1987), "Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal( Q /Q)", Duke Mathematical Journal , 54 (1): 179–230, doi :10.1215/S0012-7094-87-05413 -5, ISSN  0012-7094, SEÑOR  0885783
• Stein, William A.; Ribet, Kenneth A. (2001), "Conferencias sobre las conjeturas de Serre", en Conrad, Brian; Rubin, Karl (eds.), Arithmetic algebraic geometry (Geometría algebraica aritmética) (Park City, UT, 1999) , IAS/Park City Math. Ser., vol. 9, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 143–232, ISBN 978-0-8218-2173-2, Sr.  1860042

Véase también

• Prueba de Wiles del último teorema de Fermat

Enlaces externos

• Conjetura de modularidad de Serre ^[usurpada] Conferencia de 50 minutos dictada por Ken Ribet el 25 de octubre de 2007 (diapositivas en formato PDF, otra versión de diapositivas en formato PDF)
• Lecciones sobre las conjeturas de Serre