El álgebra conmutativa , conocida primero como teoría ideal , es la rama del álgebra que estudia los anillos conmutativos , sus ideales y los módulos sobre dichos anillos. Tanto la geometría algebraica como la teoría algebraica de números se basan en el álgebra conmutativa. Ejemplos destacados de anillos conmutativos incluyen anillos polinomiales ; anillos de números enteros algebraicos , incluidos los números enteros ordinarios ; y enteros p -ádicos . [1]
El álgebra conmutativa es la principal herramienta técnica de la geometría algebraica , y muchos resultados y conceptos del álgebra conmutativa están fuertemente relacionados con conceptos geométricos.
El estudio de anillos que no son necesariamente conmutativos se conoce como álgebra no conmutativa ; incluye la teoría de anillos , la teoría de la representación y la teoría de las álgebras de Banach .
El álgebra conmutativa es esencialmente el estudio de los anillos que aparecen en la teoría algebraica de números y en la geometría algebraica .
Se han desarrollado varios conceptos de álgebras conmutativas en relación con la teoría algebraica de números, como los anillos de Dedekind (la principal clase de anillos conmutativos que aparecen en la teoría algebraica de números), extensiones integrales y anillos de valoración .
Los anillos polinomiales en varios indeterminados sobre un campo son ejemplos de anillos conmutativos. Dado que la geometría algebraica es fundamentalmente el estudio de los ceros comunes de estos anillos, muchos resultados y conceptos de la geometría algebraica tienen contrapartes en el álgebra conmutativa, y sus nombres recuerdan a menudo su origen geomérico; por ejemplo " dimensión Krull ", " localización de un anillo ", " anillo local ", " anillo regular ".
Una variedad algebraica afín corresponde a un ideal primo en un anillo polinómico, y los puntos de dicha variedad afín corresponden a los ideales máximos que contienen este ideal primo. La topología de Zariski , definida originalmente sobre una variedad algebraica, se ha extendido a los conjuntos de los ideales primos de cualquier anillo conmutativo; Para esta topología, los conjuntos cerrados son los conjuntos de ideales primos que contienen un ideal dado.
El espectro de un anillo es un espacio anillado formado por los ideales primos equipados con la topología de Zariski y las localizaciones del anillo en los conjuntos abiertos de una base de esta topología. Este es el punto de partida de la teoría de esquemas , una generalización de la geometría algebraica introducida por Grothendieck , que se basa fuertemente en el álgebra conmutativa y ha inducido, a su vez, muchos desarrollos del álgebra conmutativa.
El tema, primero conocido como teoría ideal , comenzó con el trabajo de Richard Dedekind sobre los ideales , basado a su vez en el trabajo anterior de Ernst Kummer y Leopold Kronecker . Más tarde, David Hilbert introdujo el término anillo para generalizar el término anterior anillo numérico . Hilbert introdujo un enfoque más abstracto para reemplazar los métodos más concretos y orientados computacionalmente basados en cosas como el análisis complejo y la teoría invariante clásica . A su vez, Hilbert influyó fuertemente en Emmy Noether , quien reformuló muchos resultados anteriores en términos de una condición de cadena ascendente , ahora conocida como condición noetheriana. Otro hito importante fue el trabajo del alumno de Hilbert, Emanuel Lasker , quien introdujo los ideales primarios y demostró la primera versión del teorema de Lasker-Noether .
La principal figura responsable del nacimiento del álgebra conmutativa como materia madura fue Wolfgang Krull , quien introdujo las nociones fundamentales de localización y compleción de un anillo, así como la de anillos locales regulares . Estableció el concepto de la dimensión Krull de un anillo, primero para los anillos noetherianos antes de expandir su teoría para cubrir los anillos de valoración general y los anillos de Krull . Hasta el día de hoy, el teorema ideal principal de Krull se considera ampliamente el teorema fundamental más importante del álgebra conmutativa. Estos resultados allanaron el camino para la introducción del álgebra conmutativa en la geometría algebraica, una idea que revolucionaría esta última materia.
Gran parte del desarrollo moderno del álgebra conmutativa enfatiza los módulos . Ambos ideales de un anillo R y R -álgebras son casos especiales de R -módulos, por lo que la teoría de módulos abarca tanto la teoría ideal como la teoría de extensiones de anillos . Aunque ya era incipiente en el trabajo de Kronecker , el enfoque moderno del álgebra conmutativa utilizando la teoría de módulos suele atribuirse a Krull y Noether .
Un anillo noetheriano , que lleva el nombre de Emmy Noether , es un anillo en el que cada ideal se genera de forma finita ; es decir, todos los elementos de cualquier ideal pueden escribirse como combinaciones lineales de un conjunto finito de elementos, con coeficientes en el anillo.
Muchos anillos conmutativos comúnmente considerados son noetherianos, en particular, cada campo , el anillo del número entero y cada anillo polinómico en uno o varios indeterminados sobre ellos. El hecho de que los anillos polinomiales sobre un campo sean noetherianos se denomina teorema de la base de Hilbert .
Además, muchas construcciones circulares conservan la propiedad noetheriana. En particular, si un anillo conmutativo R es noetheriano, lo mismo ocurre con cada anillo polinomial sobre él y con cada anillo cociente , localización o terminación del anillo.
La importancia de la propiedad noetheriana radica en su ubicuidad y también en el hecho de que muchos teoremas importantes del álgebra conmutativa requieren que los anillos involucrados sean noetherianos. Este es el caso, en particular, del teorema de Lasker-Noether , el teorema de la intersección de Krull y el de Nakayama. lema .
Además, si un anillo es noetheriano, entonces satisface la condición de cadena descendente en ideales primos , lo que implica que cada anillo local noetheriano tiene una dimensión de Krull finita .
Se dice que un Q ideal de un anillo es primario si Q es propio y siempre que xy ∈ Q , ya sea x ∈ Q o y n ∈ Q para algún entero positivo n . En Z , los ideales primarios son precisamente los ideales de la forma ( p e ) donde p es primo y e es un entero positivo. Así, una descomposición primaria de ( n ) corresponde a representar ( n ) como la intersección de un número finito de ideales primarios.
El teorema de Lasker-Noether , presentado aquí, puede verse como una cierta generalización del teorema fundamental de la aritmética:
Teorema de Lasker-Noether : Sea R un anillo noetheriano conmutativo y sea I un ideal de R. Entonces puedo escribirme como la intersección de un número finito de ideales primarios con distintos radicales ; eso es:
con Q i primario para todo i y Rad( Q i ) ≠ Rad( Q j ) para i ≠ j . Además, si:
es la descomposición de I con Rad( P i ) ≠ Rad( P j ) para i ≠ j , y ambas descomposiciones de I son irredundantes (lo que significa que no hay un subconjunto adecuado de { Q 1 , ..., Q t } o { P 1 , ..., P k } produce una intersección igual a I ), t = k y (después de posiblemente renumerar el Qi ) Rad( Qi ) = Rad( Pi ) para todo i .
Para cualquier descomposición primaria de I , el conjunto de todos los radicales, es decir, el conjunto {Rad( Q 1 ), ..., Rad( Q t )} sigue siendo el mismo según el teorema de Lasker-Noether. De hecho, resulta que (para un anillo noetheriano) el conjunto es precisamente el asesino del módulo R / I ; es decir, el conjunto de todos los aniquiladores de R / I (vistos como un módulo sobre R ) que son primos.
La localización es una forma formal de introducir los "denominadores" en un anillo o módulo determinado. Es decir, introduce un nuevo anillo/módulo a partir de uno existente de modo que esté formado por fracciones
donde los denominadores s varían en un subconjunto dado S de R . El ejemplo arquetípico es la construcción del anillo Q de números racionales a partir del anillo Z de números enteros.
Una finalización es cualquiera de varios functores relacionados en anillos y módulos que dan como resultado anillos y módulos topológicos completos . La terminación es similar a la localización y juntas se encuentran entre las herramientas más básicas para analizar anillos conmutativos . Los anillos conmutativos completos tienen una estructura más simple que los generales y se les aplica el lema de Hensel .
La topología de Zariski define una topología en el espectro de un anillo (el conjunto de ideales primos). [2] En esta formulación, los conjuntos cerrados de Zariski se consideran los conjuntos
donde A es un anillo conmutativo fijo y I es un ideal. Esto se define en analogía con la topología clásica de Zariski, donde los conjuntos cerrados en espacio afín son aquellos definidos por ecuaciones polinómicas. Para ver la conexión con la imagen clásica, observe que para cualquier conjunto S de polinomios (sobre un campo algebraicamente cerrado), se deduce del Nullstellensatz de Hilbert que los puntos de V ( S ) (en el sentido antiguo) son exactamente las tuplas ( a 1 , ..., a n ) tal que el ideal ( x 1 - a 1 , ..., x n - a n ) contiene S ; además, estos son ideales máximos y según el Nullstellensatz "débil", un ideal de cualquier anillo de coordenadas afín es máximo si y sólo si es de esta forma. Por tanto, V ( S ) es " lo mismo que" los ideales máximos que contienen S. La innovación de Grothendieck al definir Spec fue reemplazar los ideales máximos con todos los ideales primordiales; En esta formulación es natural generalizar simplemente esta observación a la definición de un conjunto cerrado en el espectro de un anillo.
El álgebra conmutativa (en forma de anillos polinómicos y sus cocientes, utilizados en la definición de variedades algebraicas ) siempre ha sido parte de la geometría algebraica . Sin embargo, a finales de la década de 1950, las variedades algebraicas fueron incluidas en el concepto de esquema de Alexander Grothendieck . Sus objetos locales son esquemas afines o espectros primos, que son espacios localmente anillados, que forman una categoría que es antiequivalente (dual) a la categoría de anillos unitales conmutativos, extendiendo la dualidad entre la categoría de variedades algebraicas afines sobre un campo k , y la categoría de k -álgebras reducidas generadas finitamente . El pegado se realiza según la topología de Zariski; uno puede pegar dentro de la categoría de espacios localmente anillados, pero también, usando la incrustación de Yoneda, dentro de la categoría más abstracta de prehaces de conjuntos sobre la categoría de esquemas afines. La topología de Zariski en el sentido de la teoría de conjuntos se reemplaza entonces por una topología de Zariski en el sentido de la topología de Grothendieck . Grothendieck introdujo las topologías de Grothendieck teniendo en mente ejemplos más exóticos pero geométricamente más finos y más sensibles que la cruda topología de Zariski, a saber, la topología étale , y las dos topologías planas de Grothendieck: fppf y fpqc. Hoy en día se han destacado algunos otros ejemplos, incluida la topología de Nisnevich . Además, las gavillas se pueden generalizar a pilas en el sentido de Grothendieck, generalmente con algunas condiciones de representabilidad adicionales, lo que lleva a pilas de Artin y, aún más finamente, pilas de Deligne-Mumford , ambas a menudo llamadas pilas algebraicas.
