Distribución (teoría de números)

En álgebra y teoría de números , una distribución es una función en un sistema de conjuntos finitos en un grupo abeliano que es análoga a una integral: es por tanto el análogo algebraico de una distribución en el sentido de función generalizada .

Los ejemplos originales de distribuciones ocurren, sin nombre, como funciones φ en Q / Z que satisfacen ^[1]

${\displaystyle \sum _{r=0}^{N-1}\phi \left(x+{\frac {r}{N}}\right)=\phi (Nx)\ .}$

Estas distribuciones se denominan distribuciones ordinarias. ^[2] También aparecen en la teoría de integración p -ádica en la teoría de Iwasawa . ^[3]

Sea ... → X _{n +1} → X _n → ... un sistema proyectivo de conjuntos finitos con sobreyecciones, indexados por los números naturales, y sea X su límite proyectivo . Damos a cada X _n la topología discreta , de modo que X es compacto . Sea φ = (φ _n ) una familia de funciones sobre X _n que toman valores en un grupo abeliano V y son compatibles con el sistema proyectivo:

${\displaystyle w(m,n)\sum _{y\mapsto x}\phi (y)=\phi (x)}$

para alguna función de peso w . La familia φ es entonces una distribución en el sistema proyectivo X .

Una función f en X es "localmente constante", o una "función escalonada" si se factoriza a través de algún X _n . Podemos definir una integral de una función escalonada en función de φ como

${\displaystyle \int f\,d\phi =\sum _{x\in X_{n}}f(x)\phi _{n}(x)\ .}$

La definición se extiende a sistemas proyectivos más generales, como los indexados por los números enteros positivos ordenados por divisibilidad. Como caso especial importante, considérese el sistema proyectivo Z / n ‌ Z indexado por números enteros positivos ordenados por divisibilidad. Lo identificamos con el sistema (1/ n ) Z / Z con límite Q / Z .

Para x en R, denotamos con ⟨ x ⟩ la parte fraccionaria de x normalizada a 0 ≤ ⟨ x ⟩ < 1, y con { x } la parte fraccionaria normalizada a 0 < { x } ≤ 1.

Ejemplos

Función zeta de Hurwitz

El teorema de multiplicación de la función zeta de Hurwitz

${\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }(n+a)^{-s}}$

da una relación de distribución

${\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa)\ .}$

Por lo tanto , para un s dado , el mapa es una distribución en Q / Z. ${\displaystyle t\mapsto \zeta (s,\{t\})}$

Distribución de Bernoulli

Recordemos que los polinomios de Bernoulli B _n están definidos por

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose n-k}b_{k}x^{n-k}\ ,}$

para n ≥ 0, donde b _k son los números de Bernoulli , con función generadora

${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\ .}$

Satisfacen la relación de distribución

${\displaystyle B_{k}(x)=n^{k-1}\sum _{a=0}^{n-1}b_{k}\left({\frac {x+a}{n}}\right)\ .}$

Así queda el mapa

${\displaystyle \phi _{n}:{\frac {1}{n}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Q} }$

definido por

${\displaystyle \phi _{n}:x\mapsto n^{k-1}B_{k}(\langle x\rangle )}$

es una distribución. ^[4]

Unidades ciclotómicas

Las unidades ciclotómicas satisfacen relaciones de distribución . Sea a un elemento de Q / Z primo de p y sea g _a exp(2πi a )−1. Entonces, para a ≠ 0, tenemos ^[5]

${\displaystyle \prod _{pb=a}g_{b}=g_{a}\ .}$

Distribución universal

Se consideran las distribuciones en Z con valores en algún grupo abeliano V y se busca la distribución "universal" o más general posible.

Distribuciones de Stickelberger

Sea h una distribución ordinaria en Q / Z que toma valores en un cuerpo F. Sea G ( N ) el grupo multiplicativo de Z / N‌Z , y para cualquier función f en G ( N ) extendemos f a una función en Z / N‌Z tomando f como cero en G ( N ). Definamos un elemento del álgebra de grupos F [ G ( N ) ] por

${\displaystyle g_{N}(r)={\frac {1}{|G(N)|}}\sum _{a\in G(N)}h\left({\left\langle {\frac {ra}{N}}\right\rangle }\right)\sigma _{a}^{-1}\ .}$

Las álgebras de grupo forman un sistema proyectivo con límite X . Entonces las funciones g _N forman una distribución en Q / Z con valores en X , la distribución de Stickelberger asociada a h .

Medidas p-ádicas

Considérese el caso especial en el que el grupo de valores V de una distribución φ en X toma valores en un cuerpo local K , finito sobre Q _p , o más generalmente, en un espacio de Banach p -ádico de dimensión finita W sobre K , con valuación |·|. Llamamos a φ una medida si |φ| está acotado en subconjuntos abiertos compactos de X . ^[6] Sea D el anillo de enteros de K y L una red en W , es decir, un D -submódulo libre de W con K ⊗ L = W . Hasta escalar una medida puede tomarse para tener valores en L .

Operadores y medidas de Hecke

Sea D un entero fijo primo de p y considere Z _D , el límite del sistema Z / p ⁿ D . Considere cualquier función propia del operador de Hecke T ^p con valor propio λ _p primo de p . Describimos un procedimiento para derivar una medida de Z _D .

Fijemos un entero N primo de p y de D. Sea F el D -módulo de todas las funciones sobre números racionales con denominador coprimo con N. Para cualquier primo l que no divida a N definimos el operador de Hecke T _l por

${\displaystyle (T_{l}f)\left({\frac {a}{b}}\right)=f\left({\frac {la}{b}}\right)+\sum _{k=0}^{l-1}f\left({\frac {a+kb}{lb}}\right)-\sum _{k=0}^{l-1}f\left({\frac {k}{l}}\right)\ .}$

Sea f una función propia para T _p con valor propio λ _p en D . La ecuación cuadrática X ²  − λ _p X  +  p  = 0 tiene raíces π ₁ , π ₂ con π ₁ una unidad y π ₂ divisible por p . Definamos una sucesión a ₀  = 2, a ₁ = π ₁ +π ₂ =  λ _p y

${\displaystyle a_{k+2}=\lambda _{p}a_{k+1}-pa_{k}\ ,}$

de modo que

${\displaystyle a_{k}=\pi _{1}^{k}+\pi _{2}^{k}\ .}$

Referencias

1. Kubert y Lang (1981) pág. 1
2. Lang (1990) pág. 53
3. Mazur y Swinnerton-Dyer (1972) pág. 36
4. Lang (1990) pág. 36
5. Lang (1990) pág. 157
6. Mazur y Swinnerton-Dyer (1974) pág. 37

• Kubert, Daniel S .; Lang, Serge (1981). Unidades Modulares . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. vol. 244. Springer-Verlag . ISBN 0-387-90517-0.Zbl 0492.12002  .
• Lang, Serge (1990). Campos ciclotómicos I y II . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 121 (segunda edición combinada). Springer Verlag . ISBN. 3-540-96671-4.Zbl 0704.11038  .
• Mazur, B. ; Swinnerton-Dyer, P. (1974). "Aritmética de las curvas de Weil". Inventiones Mathematicae . 25 : 1–61. doi :10.1007/BF01389997. Zbl  0281.14016.