Teorema de Lagrange (teoría de grupos)

El orden de un subgrupo de un grupo finito G divide el orden de G

G es el grupo , los enteros módulo 8 bajo la adición. El subgrupo H contiene solo 0 y 4, y es isomorfo a . Hay cuatro clases laterales izquierdas de H: H mismo, 1+H, 2+H y 3+H (escritos usando notación aditiva ya que este es un grupo aditivo ). Juntos dividen todo el grupo G en conjuntos de igual tamaño, no superpuestos. Por lo tanto, el índice [G : H] es 4. ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

En el campo matemático de la teoría de grupos , el teorema de Lagrange establece que si H es un subgrupo de cualquier grupo finito G , entonces | H | es un divisor de | G |, es decir, el orden (número de elementos) de cada subgrupo H divide el orden del grupo G.

El teorema recibe su nombre de Joseph-Louis Lagrange . La siguiente variante establece que para un subgrupo de un grupo finito , no solo es un entero, sino que su valor es el índice , definido como el número de clases laterales izquierdas de en . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle |G|/|H|}$ ${\displaystyle [G:H]}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Teorema de Lagrange  :  Si H es un subgrupo de un grupo G , entonces ${\displaystyle \left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|.}$

Esta variante es válida incluso si es infinito, siempre que , , y se interpreten como números cardinales . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle |G|}$ ${\displaystyle |H|}$ ${\displaystyle [G:H]}$

Prueba

Las clases laterales izquierdas de H en G son las clases de equivalencia de una cierta relación de equivalencia en G : específicamente, llame a x e y en G equivalentes si existe h en H tal que x = yh . Por lo tanto, las clases laterales izquierdas forman una partición de G . Cada clase lateral izquierda aH tiene la misma cardinalidad que H porque define una biyección (la inversa es ). El número de clases laterales izquierdas es el índice [ G  : H ] . Por las tres oraciones anteriores, ${\displaystyle x\mapsto ax}$ ${\displaystyle H\to aH}$ ${\displaystyle y\mapsto a^{-1}y}$

${\displaystyle \left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|.}$

Extensión

El teorema de Lagrange se puede extender a la ecuación de índices entre tres subgrupos de G. ^[1]

Extensión del teorema de Lagrange  :  si H es un subgrupo de G y K es un subgrupo de H , entonces

${\displaystyle [G:K]=[G:H]\,[H:K].}$

Prueba

Sea S un conjunto de clases laterales representativas de K en H , por lo que (unión disjunta), y . Para cualquier , la multiplicación por la izquierda por a es una biyección , por lo que . Por lo tanto, cada clase lateral izquierda de H se descompone en clases laterales izquierdas de K . Como G se descompone en clases laterales izquierdas de H , cada una de las cuales se descompone en clases laterales izquierdas de K , el número total de clases laterales izquierdas de K en G es . ${\displaystyle H=\coprod _{s\in S}sK}$ ${\displaystyle |S|=[H:K]}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle G\to G}$ ${\displaystyle aH=\coprod _{s\in S}asK}$ ${\displaystyle [H:K]}$ ${\displaystyle [G:H]}$ ${\displaystyle [H:K]}$ ${\displaystyle [G:K]}$ ${\displaystyle [G:H][H:K]}$

Si tomamos K = { e } ( e es el elemento identidad de G ), entonces [ G  : { e }] = | G | y [ H  : { e }] = | H | . Por lo tanto, podemos recuperar la ecuación original | G | = [ G  : H ] | H | .

Aplicaciones

Una consecuencia del teorema es que el orden de cualquier elemento a de un grupo finito (es decir, el número entero positivo más pequeño k con a ^k = e , donde e es el elemento identidad del grupo) divide el orden de ese grupo, ya que el orden de a es igual al orden del subgrupo cíclico generado por a . Si el grupo tiene n elementos, se deduce

${\displaystyle \displaystyle a^{n}=e{\mbox{.}}}$

Esto se puede utilizar para demostrar el pequeño teorema de Fermat y su generalización, el teorema de Euler . Estos casos especiales se conocían mucho antes de que se demostrara el teorema general.

El teorema también muestra que cualquier grupo de orden primo es cíclico y simple , ya que el subgrupo generado por cualquier elemento no identidad debe ser el grupo entero en sí.

El teorema de Lagrange también se puede utilizar para demostrar que hay infinitos primos : supongamos que hubiera un primo más grande . Cualquier divisor primo del número de Mersenne satisface (ver aritmética modular ), lo que significa que el orden de en el grupo multiplicativo es . Por el teorema de Lagrange, el orden de debe dividir el orden de , que es . Por lo tanto , divide a , dando , contradiciendo la suposición de que es el primo más grande. ^[2] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2^{p}\equiv 1{\pmod {q}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{*}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{*}}$ ${\displaystyle q-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q-1}$ ${\displaystyle p<q}$ ${\displaystyle p}$

Existencia de subgrupos de un orden determinado

El teorema de Lagrange plantea la cuestión inversa de si todo divisor del orden de un grupo es del orden de algún subgrupo. Esto no se cumple en general: dado un grupo finito G y un divisor d de | G |, no existe necesariamente un subgrupo de G con orden d . El ejemplo más pequeño es A ₄ (el grupo alternado de grado 4), que tiene 12 elementos pero ningún subgrupo de orden 6.

Un grupo "Inverso del Teorema de Lagrange" (CLT) es un grupo finito con la propiedad de que por cada divisor del orden del grupo, existe un subgrupo de ese orden. Se sabe que un grupo CLT debe ser resoluble y que todo grupo supersoluble es un grupo CLT. Sin embargo, existen grupos resolubles que no son CLT (por ejemplo, A ₄ ) y grupos CLT que no son supersolubles (por ejemplo, S ₄ , el grupo simétrico de grado 4).

Existen recíprocos parciales del teorema de Lagrange. Para los grupos generales, el teorema de Cauchy garantiza la existencia de un elemento, y por lo tanto de un subgrupo cíclico, de orden cualquier primo que divida el orden del grupo. El teorema de Sylow extiende esto a la existencia de un subgrupo de orden igual a la potencia máxima de cualquier primo que divida el orden del grupo. Para los grupos resolubles, los teoremas de Hall afirman la existencia de un subgrupo de orden igual a cualquier divisor unitario del orden del grupo (es decir, un divisor coprimo con su cofactor).

Contraejemplo del inverso del teorema de Lagrange

El inverso del teorema de Lagrange establece que si d es un divisor del orden de un grupo G , entonces existe un subgrupo H donde | H | = d .

Examinaremos el grupo alternado A ₄ , el conjunto de permutaciones pares como subgrupo del grupo simétrico S ₄ .

A ₄ = { e , (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4) , (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)} .

| A ₄ | = 12 por lo que los divisores son 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Supongamos por el contrario que existe un subgrupo H en A ₄ con | H | = 6 .

Sea V el subgrupo no cíclico de A ₄ llamado cuatro-grupo de Klein .

V = { mi , (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} .

Sea K = H ⋂ V . Dado que tanto H como V son subgrupos de A ₄ , K también es un subgrupo de A ₄ .

Del teorema de Lagrange se deduce que el orden de K debe dividir tanto a 6 como a 4 , los órdenes de H y V respectivamente. Los únicos dos números enteros positivos que dividen tanto a 6 como a 4 son 1 y 2. Por lo tanto, | K | = 1 o 2 .

Supongamos que | K | = 1 , entonces K = { e } . Si H no comparte ningún elemento con V , entonces los 5 elementos en H además del elemento identidad e deben tener la forma ( abc ) donde a, b, c son elementos distintos en {1, 2, 3, 4} .

Como cualquier elemento de la forma ( abc ) al cuadrado es ( acb ) , y ( abc )( acb ) = e , cualquier elemento de H en la forma ( abc ) debe estar emparejado con su inverso. Específicamente, los 5 elementos restantes de H deben provenir de pares distintos de elementos en A ₄ que no estén en V . Esto es imposible ya que los pares de elementos deben ser pares y no pueden sumar hasta 5 elementos. Por lo tanto, la suposición de que | K | = 1 es incorrecta, por lo que | K | = 2 .

Entonces, K = { e , v } donde v ∈ V , v debe tener la forma ( ab )( cd ) donde a, b, c, d son elementos distintos de {1, 2, 3, 4} . Los otros cuatro elementos en H son ciclos de longitud 3.

Nótese que las clases laterales generadas por un subgrupo de un grupo forman una partición del grupo. Las clases laterales generadas por un subgrupo específico son idénticas entre sí o disjuntas . El índice de un subgrupo en un grupo [ A ₄  : H ] = | A ₄ |/| H | es el número de clases laterales generadas por ese subgrupo. Como | A ₄ | = 12 y | H | = 6 , H generará dos clases laterales izquierdas, una que es igual a H y otra, gH , que tiene una longitud de 6 e incluye todos los elementos en A ₄ no en H .

Dado que solo hay 2 clases laterales distintas generadas por H , entonces H debe ser normal. Por eso, H = gHg ⁻¹ (∀ g ∈ A ₄ ) . En particular, esto es cierto para g = ( abc ) ∈ A ₄ . Dado que H = gHg ⁻¹ , gvg ⁻¹ ∈ H .

Sin pérdida de generalidad, supongamos que a = 1 , b = 2 , c = 3 , d = 4 . Entonces g = (1 2 3) , v = (1 2)(3 4) , g ⁻¹ = (1 3 2) , gv = (1 3 4) , gvg ⁻¹ = (1 4)(2 3) . Transformando de nuevo, obtenemos gvg ⁻¹ = ( a d )( b c ) . Como V contiene todas las transposiciones disjuntas en A ₄ , gvg ⁻¹ ∈ V . Por lo tanto, gvg ⁻¹ ∈ H ⋂ V = K .

Como gvg ⁻¹ ≠ v , hemos demostrado que hay un tercer elemento en K . Pero antes asumimos que | K | = 2 , por lo que tenemos una contradicción.

Por lo tanto, nuestra suposición original de que existe un subgrupo de orden 6 no es verdadera y, en consecuencia, no existe ningún subgrupo de orden 6 en A ₄ y el recíproco del teorema de Lagrange no es necesariamente verdadero. QED

Historia

Lagrange no demostró el teorema en su forma general. En su artículo Réflexions sur la résolution algébrique des équations ^[3] , afirmó que si un polinomio de n variables tiene sus variables permutadas de todas las n ! formas posibles, el número de polinomios diferentes que se obtienen es siempre un factor de n ! (Por ejemplo, si las variables x , y y z se permutan de las 6 formas posibles en el polinomio x + y − z , entonces obtenemos un total de 3 polinomios diferentes: x + y − z , x + z − y e y + z − x . Nótese que 3 es un factor de 6). El número de tales polinomios es el índice en el grupo simétrico S _n del subgrupo H de permutaciones que preservan el polinomio. (Para el ejemplo de x + y − z , el subgrupo H en S ₃ contiene la identidad y la transposición ( xy ) .) Por lo tanto, el tamaño de H divide a n ! . Con el desarrollo posterior de los grupos abstractos, se reconoció que este resultado de Lagrange sobre polinomios se extendía al teorema general sobre grupos finitos que ahora lleva su nombre.

En sus Disquisitiones Arithmeticae de 1801, Carl Friedrich Gauss demostró el teorema de Lagrange para el caso especial de , el grupo multiplicativo de números enteros distintos de cero módulo p , donde p es un primo. ^[4] En 1844, Augustin-Louis Cauchy demostró el teorema de Lagrange para el grupo simétrico S _n . ^[5] ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{*}}$

Camille Jordan finalmente demostró el teorema de Lagrange para el caso de cualquier grupo de permutación en 1861. ^[6]

Notas

1. Bray, Nicolas, "Teorema del grupo de Lagrange", MathWorld
2. Aigner, Martin ; Ziegler, Günter M. (2018), "Capítulo 1", Pruebas de EL LIBRO (Sexta edición revisada y ampliada), Berlín: Springer, págs. 3–8, ISBN 978-3-662-57264-1
3. Lagrange, Joseph-Louis (1771), "Suite des réflexions sur la résolution algébrique des équations. Sección troisieme. De la résolution des équations du cinquieme degré & des degrés ultérieurs". [Serie de reflexiones sobre la solución algebraica de ecuaciones. Tercera sección. Sobre la solución de ecuaciones de quinto grado y grados superiores], Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin : 138–254 ; véanse especialmente las páginas 202-203.
4. Gauss, Carl Friedrich (1801), Disquisitiones Arithmeticae (en latín), Leipzig (Lipsia): G. Fleischer, págs. 41-45, Art. 45-49.
5. Augustin-Louis Cauchy , §VI. — Sur les dérivées d'une ou de plusieurs substitutions, et sur les systèmes de substitutions conjuguées [Sobre los productos de una o varias permutaciones y sobre los sistemas de permutaciones conjugadas] de: "Mémoire sur lesarregles que l'on peut ex avec des lettres données, et sur les permutations ou substitutions à l'aide desquelles on passe d'un arreglo à un autre" [Memoria sobre los arreglos que se pueden formar con letras dadas, y sobre las permutaciones o sustituciones mediante las cuales se pasa de un arreglo a otro] en: Ejercicios de análisis y de física matemática [Ejercicios de análisis y física matemática], vol. 3 (París, Francia: Bachelier, 1844), págs. 183-185.
6. Jordan, Camille (1861), "Mémoire sur le numbre des valeurs des fonctions" [Memoria sobre el número de valores de funciones], Journal de l'École Polytechnique , 22 : 113–194 La generalización de Jordan del teorema de Lagrange aparece en la página 166.

Referencias

• Bray, Henry G. (1968), "Una nota sobre los grupos CLT", Pacific J. Math. , 27 (2): 229–231, doi : 10.2140/pjm.1968.27.229
• Gallian, Joseph (2006), Álgebra abstracta contemporánea (6.ª ed.), Boston: Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-51471-7
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Álgebra abstracta (3.ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-43334-7, Sr.  2286236
• Roth, Richard R. (2001), "Una historia del teorema de Lagrange sobre grupos", Mathematics Magazine , 74 (2): 99–108, doi :10.2307/2690624, JSTOR  2690624