Grupo topológico

Grupo que es un espacio topológico con acción grupal continua

Los números reales forman un grupo topológico bajo la adición

En matemáticas , los grupos topológicos son la combinación de grupos y espacios topológicos , es decir, son grupos y espacios topológicos al mismo tiempo, de modo que la condición de continuidad para las operaciones de grupo conecta estas dos estructuras entre sí y en consecuencia no son independientes entre sí. ^[1]

Los grupos topológicos se han estudiado ampliamente en el período de 1925 a 1940. Haar y Weil (respectivamente en 1933 y 1940) demostraron que las integrales y las series de Fourier son casos especiales de una clase muy amplia de grupos topológicos. ^[2]

Los grupos topológicos, junto con las acciones de grupo continuas , se utilizan para estudiar simetrías continuas , que tienen muchas aplicaciones, por ejemplo, en física . En el análisis funcional , cada espacio vectorial topológico es un grupo topológico aditivo con la propiedad adicional de que la multiplicación escalar es continua; en consecuencia, muchos resultados de la teoría de grupos topológicos se pueden aplicar al análisis funcional.

Definición formal

Un grupo topológico , G , es un espacio topológico que también es un grupo tal que la operación de grupo (en este caso producto):

⋅ : G × G → G , ( x , y ) ↦ xy

y el mapa de inversión:

⁻¹  : G → G , x ↦ x ⁻¹

son continuas . ^{[nota 1]} Aquí G × G se considera un espacio topológico con la topología de producto . Se dice que dicha topología es compatible con las operaciones de grupo y se denomina topología de grupo .

Comprobando la continuidad

La función producto es continua si y solo si para cualquier x , y ∈ G y cualquier entorno W de xy en G , existen entornos U de x y V de y en G tales que U ⋅ V ⊆ W , donde U ⋅ V  := { u ⋅ v  : u ∈ U , v ∈ V }. La función inversión es continua si y solo si para cualquier x ∈ G y cualquier entorno V de x ⁻¹ en G , existe un entorno U de x en G tal que U ⁻¹ ⊆ V , donde U ⁻¹  := { u ⁻¹  : u ∈ U }.

Para demostrar que una topología es compatible con las operaciones de grupo, basta comprobar que el mapa

G × G → G , ( x , y ) ↦ xy ⁻¹

es continua. Explícitamente, esto significa que para cualquier x , y ∈ G y cualquier entorno W en G de xy ⁻¹ , existen entornos U de x y V de y en G tales que U ⋅ ( V ⁻¹ ) ⊆ W .

Notación aditiva

Esta definición utiliza notación para grupos multiplicativos; el equivalente para grupos aditivos sería que las siguientes dos operaciones son continuas:

+ : G × G → G , ( x , y ) ↦ x + y

− : G → G , x ↦ − x .

La condición de Hausdorff

Aunque no forma parte de esta definición, muchos autores ^[3] requieren que la topología en G sea de Hausdorff . Una razón para esto es que cualquier grupo topológico puede asociarse canónicamente con un grupo topológico de Hausdorff tomando un cociente canónico apropiado; sin embargo, esto a menudo requiere trabajar con el grupo topológico original que no es de Hausdorff. A continuación se analizan otras razones y algunas condiciones equivalentes.

Este artículo no asumirá que los grupos topológicos sean necesariamente de Hausdorff.

Categoría

En el lenguaje de la teoría de categorías , los grupos topológicos pueden definirse de manera concisa como objetos de grupo en la categoría de espacios topológicos , de la misma manera que los grupos ordinarios son objetos de grupo en la categoría de conjuntos . Nótese que los axiomas se dan en términos de las funciones (producto binario, inverso unario e identidad nularia), por lo tanto son definiciones categóricas.

Homomorfismos

Un homomorfismo de grupos topológicos significa un homomorfismo de grupo continuo G → H . Los grupos topológicos, junto con sus homomorfismos, forman una categoría . Un homomorfismo de grupo entre grupos topológicos es continuo si y solo si es continuo en algún punto. ^[4]

Un isomorfismo de grupos topológicos es un isomorfismo de grupo que también es un homeomorfismo de los espacios topológicos subyacentes. Esto es más fuerte que simplemente requerir un isomorfismo de grupo continuo: el inverso también debe ser continuo. Hay ejemplos de grupos topológicos que son isomorfos como grupos ordinarios, pero no como grupos topológicos. De hecho, cualquier grupo topológico no discreto también es un grupo topológico cuando se lo considera con la topología discreta. Los grupos subyacentes son los mismos, pero como grupos topológicos no hay un isomorfismo.

Ejemplos

Todo grupo puede convertirse trivialmente en un grupo topológico considerándolo con la topología discreta ; tales grupos se denominan grupos discretos . En este sentido, la teoría de los grupos topológicos incluye la de los grupos ordinarios. La topología indiscreta (es decir, la topología trivial) también convierte a todo grupo en un grupo topológico.

Los números reales , con la topología usual, forman un grupo topológico bajo la adición. ^El espacio euclidiano n también es un grupo topológico bajo la adición y, de manera más general, todo espacio vectorial topológico forma un grupo topológico (abeliano). Algunos otros ejemplos de grupos topológicos abelianos son el grupo del círculo S ¹ o el toro ( S ¹ ) ⁿ para cualquier número natural n . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los grupos clásicos son ejemplos importantes de grupos topológicos no abelianos. Por ejemplo, el grupo lineal general GL( n , ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de todas las matrices invertibles n -por- n con entradas reales puede verse como un grupo topológico con la topología definida al ver GL( n , ) como un subespacio del espacio euclidiano ^{n × n} . Otro grupo clásico es el grupo ortogonal O( n ) , el grupo de todas las aplicaciones lineales de ⁿ a sí mismo que preservan la longitud de todos los vectores. El grupo ortogonal es compacto como espacio topológico. Gran parte de la geometría euclidiana puede verse como el estudio de la estructura del grupo ortogonal, o el grupo estrechamente relacionado O ( n ) ⋉ ⁿ de isometrías de ⁿ . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los grupos mencionados hasta ahora son todos grupos de Lie , lo que significa que son variedades suaves de tal manera que las operaciones del grupo son suaves , no solo continuas. Los grupos de Lie son los grupos topológicos mejor comprendidos; muchas preguntas sobre los grupos de Lie se pueden convertir en preguntas puramente algebraicas sobre álgebras de Lie y luego resolverlas.

Un ejemplo de un grupo topológico que no es un grupo de Lie es el grupo aditivo de números racionales , con la topología heredada de . Este es un espacio contable y no tiene la topología discreta. Un ejemplo importante para la teoría de números es el grupo _p de números enteros p -ádicos , para un número primo p , es decir, el límite inverso de los grupos finitos / p ⁿ cuando n tiende a infinito. El grupo _p se comporta bien en el sentido de que es compacto (de hecho, homeomorfo al conjunto de Cantor ), pero se diferencia de los grupos de Lie (reales) en que está totalmente desconectado . De manera más general, existe una teoría de grupos de Lie p -ádicos , que incluye grupos compactos como GL( n , _p ) así como grupos localmente compactos como GL( n , _p ) , donde _p es el cuerpo localmente compacto de números p -ádicos . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El grupo _p es un grupo profinito ; es isomorfo a un subgrupo del producto de tal manera que su topología es inducida por la topología del producto, donde a los grupos finitos se les da la topología discreta. Otra gran clase de grupos profinitos importantes en la teoría de números son los grupos absolutos de Galois . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \prod _{n\geq 1}\mathbb {Z} /p^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}}$

Algunos grupos topológicos pueden considerarse grupos de Lie de dimensión infinita ; esta frase se entiende mejor de manera informal, para incluir varias familias diferentes de ejemplos. Por ejemplo, un espacio vectorial topológico , como un espacio de Banach o un espacio de Hilbert , es un grupo topológico abeliano bajo adición. Algunos otros grupos de dimensión infinita que se han estudiado, con distintos grados de éxito, son los grupos de bucles , los grupos de Kac-Moody , los grupos de difeomorfismo , los grupos de homeomorfismo y los grupos de calibración .

En toda álgebra de Banach con identidad multiplicativa, el conjunto de elementos invertibles forma un grupo topológico bajo la multiplicación. Por ejemplo, el grupo de operadores acotados invertibles en un espacio de Hilbert surge de esta manera.

Propiedades

Invariancia de la traducción

La topología de cada grupo topológico esinvariante de traducción , lo que por definición significa que si para cualquiermultiplicación izquierda o derecha por este elemento produce un homeomorfismo En consecuencia, para cualquieryel subconjuntoesabierto(resp.cerrado) ensi y solo si esto es cierto para su traducción izquierday traducción derecha Sies unabase de vecindaddel elemento identidad en un grupo topológicoentonces para todo es una base de vecindad deen^[4] En particular, cualquier topología de grupo en un grupo topológico está completamente determinada por cualquier base de vecindad en el elemento identidad. Sies cualquier subconjunto deyes un subconjunto abierto deentonceses un subconjunto abierto de^[4] ${\displaystyle a\in G,}$ ${\displaystyle G\to G.}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle S\subseteq G,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle aS:=\{as:s\in S\}}$ ${\displaystyle Sa:=\{sa:s\in S\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x{\mathcal {N}}:=\{xN:N\in {\mathcal {N}}\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle SU:=\{su:s\in S,u\in U\}}$ ${\displaystyle G.}$

Barrios simétricos

La operación de inversión en un grupo topológico es un homeomorfismo de sí mismo. ${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Se dice que un subconjunto es simétrico si donde La clausura de cada conjunto simétrico en un grupo topológico conmutativo es simétrica. ^[4] Si S es cualquier subconjunto de un grupo topológico conmutativo G , entonces los siguientes conjuntos también son simétricos: S ⁻¹ ∩ S , S ⁻¹ ∪ S y S ⁻¹ S . ^[4] ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle S^{-1}=S,}$ ${\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.}$

Para cualquier vecindad N en un grupo topológico conmutativo G del elemento identidad, existe una vecindad simétrica M del elemento identidad tal que M ⁻¹ M ⊆ N , donde nótese que M ⁻¹ M es necesariamente una vecindad simétrica del elemento identidad. ^[4] Por lo tanto, cada grupo topológico tiene una base de vecindad en el elemento identidad que consiste en conjuntos simétricos.

Si G es un grupo conmutativo localmente compacto , entonces para cualquier vecindad N en G del elemento identidad, existe una vecindad relativamente compacta simétrica M del elemento identidad tal que cl M ⊆ N (donde cl M también es simétrico). ^[4]

Espacio uniforme

Cada grupo topológico puede ser visto como un espacio uniforme de dos maneras: la uniformidad izquierda convierte todas las multiplicaciones izquierdas en mapas uniformemente continuos mientras que la uniformidad derecha convierte todas las multiplicaciones derechas en mapas uniformemente continuos. ^[5] Si G no es abeliano, entonces estos dos no necesitan coincidir. Las estructuras uniformes permiten hablar sobre nociones como completitud , continuidad uniforme y convergencia uniforme en grupos topológicos.

Propiedades de separación

Si U es un subconjunto abierto de un grupo topológico conmutativo G y U contiene un conjunto compacto K , entonces existe un vecindario N del elemento identidad tal que KN ⊆ U . ^[4]

Como espacio uniforme, todo grupo topológico conmutativo es completamente regular . En consecuencia, para un grupo topológico multiplicativo G con elemento identidad 1, son equivalentes: ^[4]

1. G es un espacio T _{0 (} Kolmogorov );
2. G es un espacio T2 ( _Hausdorff ) ;
3. G es un T _{3 1 ⁄ 2} ( Tychonoff );
4. { 1 } está cerrado en G ;
5. { 1 } :=∩N ∈ 𝒩 N , donde 𝒩 es una base de vecindad del elemento identidad en G ;
6. para cualquier tal que exista un vecindario U en G del elemento identidad tal que ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle x\neq 1,}$ ${\displaystyle x\not \in U.}$

Un subgrupo de un grupo topológico conmutativo es discreto si y sólo si tiene un punto aislado . ^[4]

Si G no es Hausdorff, entonces se puede obtener un grupo de Hausdorff pasando al grupo cociente G / K , donde K es el cierre de la identidad. ^[6] Esto es equivalente a tomar el cociente de Kolmogorov de G .

Metrizabilidad

Sea G un grupo topológico. Como en cualquier espacio topológico, decimos que G es metrizable si y solo si existe una métrica d en G , que induce la misma topología en . Una métrica d en G se llama ${\displaystyle G}$

• invariante a la izquierda (resp. invariante a la derecha ) si y solo si (resp. ) para todos (equivalentemente, es invariante a la izquierda solo en caso de que la función sea una isometría de a sí misma para cada ). ${\displaystyle d(ax_{1},ax_{2})=d(x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle d(x_{1}a,x_{2}a)=d(x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle a,x_{1},x_{2}\in G}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x\mapsto ax}$ ${\displaystyle (G,d)}$ ${\displaystyle a\in G}$
• adecuado si y sólo si todas las bolas abiertas, para , son precompactas. ${\displaystyle B(r)=\{g\in G\mid d(g,1)<r\}}$ ${\displaystyle r>0}$

El teorema de Birkhoff-Kakutani (llamado así por los matemáticos Garrett Birkhoff y Shizuo Kakutani ) establece que las siguientes tres condiciones en un grupo topológico G son equivalentes: ^[7]

1. G es ( Hausdorff y) primer contable (equivalentemente: el elemento identidad 1 está cerrado en G , y hay una base contable de vecindades para 1 en G ).
2. G es metrizable (como espacio topológico).
3. Hay una métrica invariante a la izquierda en G que induce la topología dada en G.
4. Hay una métrica invariante por la derecha en G que induce la topología dada en G.

Además, los siguientes son equivalentes para cualquier grupo topológico G :

1. G es un segundo espacio localmente compacto (Hausdorff) contable.
2. G es un espacio polaco , localmente compacto (Hausdorff).
3. G es propiamente metrizable (como espacio topológico).
4. Hay una métrica propia, invariante por la izquierda, en G que induce la topología dada en G.

Nota: Al igual que en el resto del artículo, aquí asumimos una topología de Hausdorff. Las implicaciones 4 3 2 1 se cumplen en cualquier espacio topológico. En particular, 3 2 se cumple, ya que en particular cualquier espacio propiamente metrisable es una unión numerable de subconjuntos compactos metrisables y, por lo tanto, separables ( cf. propiedades de los espacios métricos compactos ). La implicación no trivial 1 4 fue demostrada por primera vez por Raimond Struble en 1974. ^[8] Un enfoque alternativo fue realizado por Uffe Haagerup y Agata Przybyszewska en 2006, ^[9] cuya idea es la siguiente: Uno se basa en la construcción de una métrica invariante por la izquierda, , como en el caso de los primeros espacios numerables . Por compacidad local, las bolas cerradas de radios suficientemente pequeños son compactas, y al normalizar podemos suponer que esto es así para el radio 1. Al cerrar la bola abierta, U , de radio 1 bajo multiplicación se obtiene un subgrupo abierto y cerrado , H , de G , en el que la métrica es propia. Como H es abierto y G es el segundo contable , el subgrupo tiene como máximo un número contable de clases laterales. Ahora se utiliza esta secuencia de clases laterales y la métrica en H para construir una métrica propia en G . ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle d_{0}}$

Subgrupos

Cada subgrupo de un grupo topológico es en sí mismo un grupo topológico cuando se da la topología del subespacio . Cada subgrupo abierto H también es cerrado en G , ya que el complemento de H es el conjunto abierto dado por la unión de conjuntos abiertos gH para g ∈ G \ H . Si H es un subgrupo de G entonces la clausura de H es también un subgrupo. Del mismo modo, si H es un subgrupo normal de G , la clausura de H es normal en G .

Cocientes y subgrupos normales

Si H es un subgrupo de G , el conjunto de clases laterales izquierdas G / H con la topología cociente se llama espacio homogéneo para G . La función cociente siempre es abierta . Por ejemplo, para un entero positivo n , la esfera S ⁿ es un espacio homogéneo para el grupo de rotación SO( n +1) en ^{n +1} , con S ⁿ = SO( n +1)/SO( n ) . Un espacio homogéneo G / H es de Hausdorff si y solo si H es cerrado en G . ^[10] En parte por esta razón, es natural concentrarse en subgrupos cerrados al estudiar grupos topológicos. ${\displaystyle q:G\to G/H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Si H es un subgrupo normal de G , entonces el grupo cociente G / H se convierte en un grupo topológico cuando se da la topología del cociente. Es Hausdorff si y solo si H es cerrado en G . Por ejemplo, el grupo cociente es isomorfo al grupo circular S ¹ . ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

En cualquier grupo topológico, el componente identidad (es decir, el componente conexo que contiene el elemento identidad) es un subgrupo normal cerrado. Si C es el componente identidad y a es cualquier punto de G , entonces la clase lateral izquierda aC es el componente de G que contiene a . Por lo tanto, la colección de todas las clases laterales izquierdas (o clases laterales derechas) de C en G es igual a la colección de todos los componentes de G . De ello se deduce que el grupo cociente G / C está totalmente desconectado . ^[11]

Cierre y compacidad

En cualquier grupo topológico conmutativo, el producto (asumiendo que el grupo es multiplicativo) KC de un conjunto compacto K y un conjunto cerrado C es un conjunto cerrado. ^[4] Además, para cualquier subconjunto R y S de G , (cl R )(cl S ) ⊆ cl ( RS ) . ^[4]

Si H es un subgrupo de un grupo topológico conmutativo G y si N es un vecindario en G del elemento identidad tal que H ∩ cl N es cerrado, entonces H es cerrado. ^[4] Todo subgrupo discreto de un grupo topológico conmutativo de Hausdorff es cerrado. ^[4]

Teoremas de isomorfismo

Los teoremas de isomorfismo de la teoría de grupos ordinaria no siempre son ciertos en el contexto topológico. Esto se debe a que un homomorfismo biyectivo no necesariamente debe ser un isomorfismo de grupos topológicos.

Por ejemplo, una versión nativa del primer teorema de isomorfismo es falsa para los grupos topológicos: si es un morfismo de grupos topológicos (es decir, un homomorfismo continuo), no es necesariamente cierto que el homomorfismo inducido sea un isomorfismo de grupos topológicos; será un homomorfismo continuo biyectivo, pero no necesariamente será un homeomorfismo. En otras palabras, no admitirá necesariamente una inversa en la categoría de grupos topológicos. ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}:G/\ker f\to \mathrm {Im} (f)}$

Existe una versión del primer teorema de isomorfismo para grupos topológicos, que puede enunciarse de la siguiente manera: si es un homomorfismo continuo, entonces el homomorfismo inducido de G /ker( f ) a im( f ) es un isomorfismo si y sólo si la función f está abierta sobre su imagen. ^[12] ${\displaystyle f:G\to H}$

Sin embargo, el tercer teorema de isomorfismo es cierto más o menos textualmente para los grupos topológicos, como se puede comprobar fácilmente.

El quinto problema de Hilbert

Existen varios resultados sólidos sobre la relación entre los grupos topológicos y los grupos de Lie. En primer lugar, todo homomorfismo continuo de los grupos de Lie es suave. De ello se deduce que un grupo topológico tiene una estructura única de grupo de Lie si existe uno. Además, el teorema de Cartan dice que todo subgrupo cerrado de un grupo de Lie es un subgrupo de Lie, en particular una subvariedad suave . ${\displaystyle G\to H}$

El quinto problema de Hilbert preguntaba si un grupo topológico G que es una variedad topológica debe ser un grupo de Lie. En otras palabras, ¿ tiene G la estructura de una variedad suave, lo que hace que las operaciones del grupo sean suaves? Como lo demostraron Andrew Gleason , Deane Montgomery y Leo Zippin , la respuesta a este problema es sí. ^[13] De hecho, G tiene una estructura analítica real . Usando la estructura suave, uno puede definir el álgebra de Lie de G , un objeto del álgebra lineal que determina ungrupo conexo G hasta cubrir espacios . Como resultado, la solución al quinto problema de Hilbert reduce la clasificación de grupos topológicos que son variedades topológicas a un problema algebraico, aunque un problema complicado en general.

El teorema también tiene consecuencias para clases más amplias de grupos topológicos. Primero, cada grupo compacto (entendido como Hausdorff) es un límite inverso de grupos de Lie compactos. (Un caso importante es un límite inverso de grupos finitos, llamado grupo profinito . Por ejemplo, el grupo _p de números enteros p -ádicos y el grupo de Galois absoluto de un cuerpo son grupos profinitos.) Además, cada grupo localmente compacto conexo es un límite inverso de grupos de Lie conexos. ^[14] En el otro extremo, un grupo localmente compacto totalmente desconectado siempre contiene un subgrupo abierto compacto, que es necesariamente un grupo profinito. ^[15] (Por ejemplo, el grupo localmente compacto GL( n , _p ) contiene el subgrupo abierto compacto GL( n , _p ) , que es el límite inverso de los grupos finitos GL( n , / p ^r ) cuando r ' tiende al infinito.) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Representaciones de grupos compactos o localmente compactos

Una acción de un grupo topológico G sobre un espacio topológico X es una acción de grupo de G sobre X tal que la función correspondiente G × X → X es continua. Asimismo, una representación de un grupo topológico G sobre un espacio vectorial topológico real o complejo V es una acción continua de G sobre V tal que para cada g ∈ G , la función v ↦ gv de V sobre sí misma es lineal.

Las acciones grupales y la teoría de la representación se entienden particularmente bien para los grupos compactos, generalizando lo que sucede para los grupos finitos . Por ejemplo, cada representación de dimensión finita (real o compleja) de un grupo compacto es una suma directa de representaciones irreducibles . Una representación unitaria de dimensión infinita de un grupo compacto se puede descomponer como una suma directa de representaciones irreducibles en el espacio de Hilbert, que son todas de dimensión finita; esto es parte del teorema de Peter-Weyl . ^[16] Por ejemplo, la teoría de las series de Fourier describe la descomposición de la representación unitaria del grupo circular S ¹ en el espacio de Hilbert complejo L ² ( S ¹ ) . Las representaciones irreducibles de S ¹ son todas unidimensionales, de la forma z ↦ z ⁿ para números enteros n (donde S ¹ se considera un subgrupo del grupo multiplicativo *). Cada una de estas representaciones ocurre con multiplicidad 1 en L ² ( S ¹ ) . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Se han clasificado las representaciones irreducibles de todos los grupos de Lie compactos y conexos. En particular, el carácter de cada representación irreducible viene dado por la fórmula de carácter de Weyl .

De manera más general, los grupos localmente compactos tienen una rica teoría de análisis armónico , porque admiten una noción natural de medida e integral , dada por la medida de Haar . Cada representación unitaria de un grupo localmente compacto puede describirse como una integral directa de representaciones unitarias irreducibles. (La descomposición es esencialmente única si G es de Tipo I , que incluye los ejemplos más importantes como los grupos abelianos y los grupos de Lie semisimples . ^[17] ) Un ejemplo básico es la transformada de Fourier , que descompone la acción del grupo aditivo en el espacio de Hilbert L ² ( ) como una integral directa de las representaciones unitarias irreducibles de . Las representaciones unitarias irreducibles de son todas unidimensionales, de la forma x ↦ e ^{2π iax} para a ∈ . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Las representaciones unitarias irreducibles de un grupo localmente compacto pueden ser de dimensión infinita. Un objetivo principal de la teoría de la representación, relacionado con la clasificación de Langlands de representaciones admisibles , es encontrar el dual unitario (el espacio de todas las representaciones unitarias irreducibles) para los grupos de Lie semisimples. El dual unitario se conoce en muchos casos, como SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , pero no en todos.

Para un grupo abeliano localmente compacto G , toda representación unitaria irreducible tiene dimensión 1. En este caso, el dual unitario es un grupo, de hecho otro grupo abeliano localmente compacto. La dualidad de Pontryagin establece que para un grupo abeliano localmente compacto G , el dual de es el grupo original G . Por ejemplo, el grupo dual de los números enteros es el grupo circular S ¹ , mientras que el grupo de los números reales es isomorfo a su propio dual. ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Todo grupo localmente compacto G tiene un buen suministro de representaciones unitarias irreducibles; por ejemplo, suficientes representaciones para distinguir los puntos de G ( teorema de Gelfand-Raikov ). Por el contrario, la teoría de representaciones para grupos topológicos que no son localmente compactos hasta ahora se ha desarrollado solo en situaciones especiales, y puede que no sea razonable esperar una teoría general. Por ejemplo, hay muchos grupos abelianos de Banach-Lie para los que toda representación en el espacio de Hilbert es trivial. ^[18]

Teoría de homotopía de grupos topológicos

Los grupos topológicos son especiales entre todos los espacios topológicos, incluso en términos de su tipo de homotopía . Un punto básico es que un grupo topológico G determina un espacio topológico conexo por caminos, el espacio de clasificación BG (que clasifica los fibrados G principales sobre los espacios topológicos, bajo hipótesis suaves). El grupo G es isomorfo en la categoría de homotopía al espacio de bucles de BG ; eso implica varias restricciones en el tipo de homotopía de G. [ ^19] Algunas de estas restricciones se mantienen en el contexto más amplio de los H-espacios .

Por ejemplo, el grupo fundamental de un grupo topológico G es abeliano. (De manera más general, el producto de Whitehead sobre los grupos de homotopía de G es cero.) Además, para cualquier cuerpo k , el anillo de cohomología H *( G , k ) tiene la estructura de un álgebra de Hopf . En vista de los teoremas de estructura sobre álgebras de Hopf de Heinz Hopf y Armand Borel , esto impone fuertes restricciones sobre los posibles anillos de cohomología de los grupos topológicos. En particular, si G es un grupo topológico conexo por caminos cuyo anillo de cohomología racional H *( G , ) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ es de dimensión finita en cada grado, entonces este anillo debe ser un álgebra conmutativa graduada libre sobre , es decir, el producto tensorial de un anillo polinomial sobre generadores de grado par con un álgebra exterior sobre generadores de grado impar. ^[20] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

En particular, para un grupo de Lie conexo G , el anillo de cohomología racional de G es un álgebra exterior sobre generadores de grado impar. Además, un grupo de Lie conexo G tiene un subgrupo compacto maximalista K , que es único hasta la conjugación, y la inclusión de K en G es una equivalencia de homotopía . Por lo tanto, la descripción de los tipos de homotopía de los grupos de Lie se reduce al caso de los grupos de Lie compactos. Por ejemplo, el subgrupo compacto maximalista de SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ es el grupo circular SO(2) , y el espacio homogéneo SL(2, )/SO(2) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ puede identificarse con el plano hiperbólico . Dado que el plano hiperbólico es contráctil , la inclusión del grupo circular en SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ es una equivalencia de homotopía.

Finalmente, los grupos de Lie compactos conexos han sido clasificados por Wilhelm Killing , Élie Cartan y Hermann Weyl . Como resultado, existe una descripción esencialmente completa de los posibles tipos de homotopía de los grupos de Lie. Por ejemplo, un grupo de Lie compacto conexo de dimensión como máximo 3 es un toro, el grupo SU(2) ( difeomorfo a la 3-esfera S ³ ), o su grupo cociente SU(2)/{±1} ≅ SO(3) (difeomorfo a RP 3 ).

Grupo topológico completo

Se puede encontrar información sobre la convergencia de redes y filtros, como definiciones y propiedades, en el artículo sobre filtros en topología .

Uniformidad canónica en un grupo topológico conmutativo

En este artículo se asumirá de ahora en adelante que cualquier grupo topológico que consideremos es un grupo topológico conmutativo aditivo con elemento identidad. ${\displaystyle 0.}$

La diagonal de es el conjunto y para cualquier que contenga el entorno canónico o las vecindades canónicas alrededor es el conjunto ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \Delta _{X}:=\{(x,x):x\in X\}}$$ ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \Delta _{X}(N):=\{(x,y)\in X\times X:x-y\in N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]=\Delta _{X}+(N\times \{0\})}$$

Para un grupo topológico, la uniformidad canónica ^[21] es la estructura uniforme inducida por el conjunto de todos los entornos canónicos como rangos sobre todos los vecindarios de in ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta (N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

Es decir, es el cierre ascendente del siguiente prefiltro sobre donde este prefiltro forma lo que se conoce como base de séquitos de la uniformidad canónica. ${\displaystyle X\times X,}$ $${\displaystyle \left\{\Delta (N):N{\text{ is a neighborhood of }}0{\text{ in }}X\right\}}$$

Para un grupo aditivo conmutativo, un sistema fundamental de entornos se denomina uniformidad invariante a la traducción si para cada si y solo si para todos Una uniformidad se denomina invariante a la traducción si tiene una base de entornos que es invariante a la traducción. ^[22] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle (x,y)\in B}$ ${\displaystyle (x+z,y+z)\in B}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

• La uniformidad canónica en cualquier grupo topológico conmutativo es invariante a la traducción.
• La misma uniformidad canónica resultaría al utilizar una base de vecindad del origen en lugar del filtro de todas las vecindades del origen.
• Cada entorno contiene la diagonal porque ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}:=\Delta _{X}(\{0\})=\{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle 0\in N.}$
• Si es simétrico (es decir, ), entonces es simétrico (lo que significa que ) y ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle -N=N}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)^{\operatorname {op} }=\Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)=\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]=\Delta _{X}+(N\times N).}$
• La topología inducida por la uniformidad canónica es la misma que la topología que comenzó con (es decir, es ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$

Prefiltros y redes Cauchy

La teoría general de espacios uniformes tiene su propia definición de "prefiltro de Cauchy" y "red de Cauchy". La uniformidad canónica de estos se reduce a la definición que se describe a continuación. ${\displaystyle X,}$

Supóngase que es una red en y es una red en Convierta en un conjunto dirigido declarando si y solo si Entonces ^[23] denota el producto red . Si entonces la imagen de esta red bajo la función de adición denota la suma de estas dos redes: y de manera similar su diferencia se define como la imagen del producto red bajo la función de sustracción: ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle I\times J}$ ${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}$ ${\displaystyle i\leq i_{2}{\text{ and }}j\leq j_{2}.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }:=\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$ ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ $${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }:=\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$ $${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }:=\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.}$$

Una red en un grupo topológico aditivo se denomina red de Cauchy si ^[24] o, equivalentemente, si para cada vecindad de en existe alguna tal que para todos los índices ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0{\text{ in }}X}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle i_{0}\in I}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$ ${\displaystyle i,j\geq i_{0}.}$

Una secuencia de Cauchy es una red de Cauchy que es una secuencia.

Si es un subconjunto de un grupo aditivo y es un conjunto que contiene entonces se dice que es un conjunto -pequeño o pequeño de orden si ^[25] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B-B\subseteq N.}$

Un prefiltro en un grupo topológico aditivo se denomina prefiltro de Cauchy si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$en donde hay un prefiltro. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}:=\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$
2. ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$¿ En dónde es un prefiltro equivalente a? ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}.}$
3. Porque cada vecindad de en contiene algún conjunto -pequeño (es decir, existe alguno tal que ). ^[25] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B-B\subseteq N}$

y si es conmutativa entonces también: ${\displaystyle X}$

4. Para cada vecindad de en existe algún y algún tal que ^[25] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\subseteq x+N.}$

• Es suficiente comprobar cualquiera de las condiciones anteriores para cualquier base de vecindad dada en ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

Supongamos que es un prefiltro en un grupo topológico conmutativo y Entonces en si y sólo si y es Cauchy. ^[23] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Grupo topológico conmutativo completo

Recuerde que para cualquier prefiltro , un es necesariamente un subconjunto de ; es decir, ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

Un subconjunto de un grupo topológico se denomina subconjunto completo si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

1. Cada prefiltro de Cauchy converge al menos a un punto de ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
   • Si es Hausdorff entonces cada prefiltro en convergerá como máximo a un punto de Pero si no es Hausdorff entonces un prefiltro puede converger a múltiples puntos en Lo mismo es cierto para las redes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Toda red de Cauchy converge al menos a un punto de ; ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
3. Cada filtro de Cauchy converge al menos a un punto de ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
4. ${\displaystyle S}$es un espacio uniforme completo (según la definición de topología de conjuntos de puntos de " espacio uniforme completo ") cuando está dotado de la uniformidad inducida en él por la uniformidad canónica de ; ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

Un subconjunto se denomina subconjunto secuencialmente completo si cada secuencia de Cauchy en (o equivalentemente, cada filtro/prefiltro de Cauchy elemental en ) converge al menos a un punto de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

• Es importante destacar que se permite la convergencia fuera de ${\displaystyle S}$ : Si no es Hausdorff y si cada prefiltro de Cauchy en converge a algún punto de entonces será completo incluso si algunos o todos los prefiltros de Cauchy en también convergen a puntos en el complemento. En resumen, no hay ningún requisito de que estos prefiltros de Cauchy en converjan solo a puntos en Lo mismo puede decirse de la convergencia de las redes de Cauchy en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S.}$
  • En consecuencia, si un grupo topológico conmutativo no es Hausdorff , entonces cada subconjunto de la clausura de digamos es completo (ya que es claramente compacto y cada conjunto compacto es necesariamente completo). Así, en particular, si (por ejemplo, si a es un conjunto singleton como ) entonces sería completo aunque cada red de Cauchy en (y cada prefiltro de Cauchy en ), converge a cada punto en (incluidos aquellos puntos en que no están en ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\},}$ ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} \{0\},}$ ${\displaystyle S\neq \varnothing }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle S}$
  • Este ejemplo también muestra que los subconjuntos completos (de hecho, incluso los subconjuntos compactos) de un espacio no Hausdorff pueden no ser cerrados (por ejemplo, si entonces es cerrado si y solo si ). ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {cl} \{0\}}$

Un grupo topológico conmutativo se denomina grupo completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es completo como un subconjunto de sí mismo.
2. Toda red de Cauchy converge al menos a un punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
3. Existe un vecindario de en que también es un subconjunto completo de ^[25] ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • Esto implica que cada grupo topológico conmutativo localmente compacto es completo.
4. Cuando se le dota de su uniformidad canónica, se convierte en un espacio uniforme completo . ${\displaystyle X}$
   • En la teoría general de espacios uniformes , un espacio uniforme se denomina espacio uniforme completo si cada filtro de Cauchy converge en algún punto de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X.}$

Un grupo topológico se denomina secuencialmente completo si es un subconjunto secuencialmente completo de sí mismo.

Base de vecindad : Supongamos que es una compleción de un grupo topológico conmutativo con y que es una base de vecindad del origen en Entonces la familia de conjuntos es una base de vecindad en el origen en ^[23] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\subseteq C}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle \left\{\operatorname {cl} _{C}N:N\in {\mathcal {N}}\right\}}$$ ${\displaystyle C.}$

Continuidad uniforme

Sean y grupos topológicos, y una función. Entonces es uniformemente continua si para cada entorno del origen en existe un entorno del origen en tal que para todo si entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D\subseteq X,}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x,y\in D,}$ ${\displaystyle y-x\in U}$ ${\displaystyle f(y)-f(x)\in V.}$

Generalizaciones

Se pueden obtener varias generalizaciones de grupos topológicos debilitando las condiciones de continuidad: ^[26]

• Un grupo semitopológico es un grupo G con una topología tal que para cada c ∈ G las dos funciones G → G definidas por x ↦ xc y x ↦ cx son continuas.
• Un grupo cuasitopológico es un grupo semitopológico en el que la función que asigna elementos a sus inversos también es continua.
• Un grupo paratopológico es un grupo con una topología tal que la operación del grupo es continua.

Véase también

• Grupo algebraico  – Variedad algebraica con estructura de grupo
• Campo completo  : estructura algebraica que es completa en relación con una métrica.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Grupo compacto  – Grupo topológico con topología compacta
• Espacio vectorial topológico completo  : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán a un punto
• Grupo de Lie  : Grupo que también es una variedad diferenciable con operaciones de grupo que son suaves.
• Campo localmente compacto
• Grupo localmente compacto  : grupo topológico para el cual la topología subyacente es localmente compacta y de Hausdorff, de modo que se puede definir la medida de HaarPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Grupo cuántico localmente compacto  : un enfoque C*-algebraico relativamente nuevo para los grupos cuánticosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Grupo profinito  – Grupo topológico que en cierto sentido se forma a partir de un sistema de grupos finitos.
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Grupo abeliano topológico  : grupo topológico cuyo grupo es abeliano.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Campo topológico  – Estructura algebraica con adición, multiplicación y divisiónPages displaying short descriptions of redirect targets
• Módulo topológico
• Anillo topológico  : anillo en el que las operaciones del anillo son continuas.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Semigrupo topológico  – semigrupo con funcionamiento continuoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad

Notas

1. ie Continuo significa que para cualquier conjunto abierto U ⊆ G , f ⁻¹ ( U ) es abierto en el dominio dom f de f .

Citas

1. Pontrjagin 1946, pág. 52.
2. Hewitt y Ross 1979, pág. 1.
3. Armstrong 1997, pág. 73; Bredon 1997, pág. 51
4. Narici y Beckenstein 2011, págs. 19-45.
5. Bourbaki 1998, sección III.3.
6. Bourbaki 1998, sección III.2.7.
7. Montgomery y Zippin 1955, sección 1.22.
8. Struble, Raimond A. (1974). "Métricas en grupos localmente compactos". Compositio Mathematica . 28 (3): 217–222.
9. Haagerup, Uffe; Przybyszewska, Agata (2006), Métricas adecuadas en grupos localmente compactos y acciones isométricas afines adecuadas en , CiteSeerX 10.1.1.236.827 
10. Bourbaki 1998, sección III.2.5.
11. Bourbaki 1998, sección I.11.5.
12. Bourbaki 1998, sección III.2.8.
13. Montgomery y Zippin 1955, sección 4.10.
14. Montgomery y Zippin 1955, sección 4.6.
15. Bourbaki 1998, sección III.4.6.
16. Hewitt y Ross 1970, Teorema 27.40.
17. Mackey 1976, sección 2.4.
18. Banaszczyk 1983.
19. Hatcher 2001, Teorema 4.66.
20. Hatcher 2001, Teorema 3C.4.
21. Edwards 1995, pág. 61.
22. Schaefer y Wolff 1999, págs. 12-19.
23. Narici y Beckenstein 2011, págs. 47–66.
24. Narici y Beckenstein 2011, pág. 48.
25. Narici y Beckenstein 2011, págs. 48–51.
26. Arhangel'skii y Tkachenko 2008, p. 12.

Referencias

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