numero trascendental

En matemáticas, un número no algebraico.

En matemáticas , un número trascendental es un número real o complejo que no es algebraico , es decir, que no es la raíz de un polinomio distinto de cero de grado finito con coeficientes racionales . Los números trascendentales más conocidos son π y e . ^{[1] [2]}

Aunque sólo se conocen unas pocas clases de números trascendentales (en parte porque puede ser extremadamente difícil demostrar que un número dado es trascendental), los números trascendentales no son raros: de hecho, casi todos los números reales y complejos son trascendentales, ya que los números algebraicos forman una conjunto contable , mientras que el conjunto de números reales y el conjunto de números complejos son ambos conjuntos incontables y, por lo tanto, más grandes que cualquier conjunto contable. Todos los números reales trascendentales (también conocidos como números reales trascendentales o números irracionales trascendentales ) son números irracionales , ya que todos los números racionales son algebraicos. ^{[3] [4] [5] [6]} Lo contrario no es cierto: no todos los números irracionales son trascendentales. Por tanto, el conjunto de números reales consta de conjuntos no superpuestos de números reales racionales, algebraicos no racionales y trascendentales. ^[3] Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es un número irracional, pero no es un número trascendental ya que es una raíz de la ecuación polinómica x ² − 2 = 0 . La proporción áurea (denotada como ) es otro número irracional que no es trascendental, ya que es una raíz de la ecuación polinómica x ² − x − 1 = 0 . La cualidad de que un número sea trascendental se llama trascendencia . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \phi }$

Historia

El nombre "trascendental" proviene del latín trānscendere  'escalar más allá, superar', ^[7] y se utilizó por primera vez para el concepto matemático en el artículo de Leibniz de 1682 en el que demostró que sen x no es una función algebraica de x  . ^[8] Euler , en el siglo XVIII, fue probablemente la primera persona en definir los números trascendentales en el sentido moderno. ^[9]

Johann Heinrich Lambert conjeturó que e y π eran números trascendentales en su artículo de 1768 que demostraba que el número π es irracional , y propuso una prueba preliminar de que π es trascendental. ^[10]

Joseph Liouville demostró por primera vez la existencia de números trascendentales en 1844, ^[11] y en 1851 dio los primeros ejemplos decimales como la constante de Liouville.

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{b}&=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!}\\[2pt]&=10^{-1}+10^{-2}+10^{-6}+10^{-24}+10^{-120}+10^{-720}+10^{-5040}+10^{-40320}+\ldots \\[4pt]&=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}000{\textbf {1}}00000000000000000{\textbf {1}}00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ \ldots \end{aligned}}}$$

en el que el n ésimo dígito después del punto decimal es 1 si n es igual a k ! ( k factorial ) para algunos k y 0 en caso contrario. ^[12] En otras palabras, ¡el enésimo dígito de este número es 1 solo si n es uno de los números 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 , etc. Liouville demostró que este número pertenece a una clase de números trascendentales que pueden aproximarse más estrechamente mediante números racionales que cualquier número algebraico irracional, y esta clase de números se llama números de Liouville , nombrados en su honor. Liouville demostró que todos los números de Liouville son trascendentales. ^[13]

El primer número que se demostró trascendental sin haber sido construido específicamente con el propósito de probar la existencia de los números trascendentales fue e , por Charles Hermite en 1873.

En 1874, Georg Cantor demostró que los números algebraicos son contables y los números reales son incontables. También dio un nuevo método para construir números trascendentales. ^[14] Aunque esto ya estaba implícito en su prueba de la numerabilidad de los números algebraicos, Cantor también publicó una construcción que demuestra que hay tantos números trascendentales como números reales. ^[a] El trabajo de Cantor estableció la ubicuidad de los números trascendentales.

En 1882, Ferdinand von Lindemann publicó la primera prueba completa de que π es trascendental. Primero demostró que e ^a es trascendental si a es un número algebraico distinto de cero. Entonces, dado que e ^iπ = −1 es algebraico (ver identidad de Euler ), iπ debe ser trascendental. Pero como i es algebraico, π debe ser trascendental. Este enfoque fue generalizado por Karl Weierstrass a lo que ahora se conoce como teorema de Lindemann-Weierstrass . Que π sea trascendental implica que las construcciones geométricas que involucran compás y regla no pueden producir ciertos resultados, por ejemplo la cuadratura del círculo .

En 1900, David Hilbert planteó una pregunta sobre los números trascendentales, el séptimo problema de Hilbert : si a es un número algebraico que no es cero ni uno, y b es un número algebraico irracional , ¿es a ^b necesariamente trascendental? La respuesta afirmativa la proporcionó en 1934 el teorema de Gelfond-Schneider . Este trabajo fue ampliado por Alan Baker en la década de 1960 en su trabajo sobre límites inferiores para formas lineales en cualquier número de logaritmos (de números algebraicos). ^[dieciséis]

Propiedades

Un número trascendental es un número (posiblemente complejo) que no es raíz de ningún polinomio entero. Todo número real trascendental debe ser también irracional , ya que un número racional es raíz de un polinomio entero de grado uno. ^[17] El conjunto de los números trascendentales es incontablemente infinito . Dado que los polinomios con coeficientes racionales son contables , y dado que cada polinomio tiene un número finito de ceros , los números algebraicos también deben ser contables. Sin embargo, el argumento de la diagonal de Cantor demuestra que los números reales (y, por tanto, también los complejos ) son incontables. Dado que los números reales son la unión de números algebraicos y trascendentales, es imposible que ambos subconjuntos sean contables. Esto hace que los números trascendentales sean incontables.

Ningún número racional es trascendental y todos los números trascendentales reales son irracionales. Los números irracionales contienen todos los números trascendentales reales y un subconjunto de los números algebraicos, incluidos los irracionales cuadráticos y otras formas de irracionales algebraicos.

La aplicación de cualquier función algebraica de una sola variable y no constante a un argumento trascendental produce un valor trascendental. Por ejemplo, al saber que π es trascendental, se puede deducir inmediatamente que números como , , y también son trascendentales. ${\displaystyle 5\pi }$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi -3}{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle ({\sqrt {\pi }}-{\sqrt {3}})^{8}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\pi ^{5}+7}}}$

Sin embargo, una función algebraica de varias variables puede producir un número algebraico cuando se aplica a números trascendentales si estos números no son algebraicamente independientes . Por ejemplo, π y (1 − π ) son trascendentales, pero π + (1 − π ) = 1 obviamente no lo es. Se desconoce si e + π , por ejemplo, es trascendental, aunque al menos uno de e + π y eπ debe ser trascendental. De manera más general, para dos números trascendentales cualesquiera a y b , al menos uno de a + b y ab debe ser trascendental. Para ver esto, considere el polinomio ( x − a )( x − b ) = x ² − ( a + b ) x + ab  . Si ( a + b ) y ab fueran ambos algebraicos, entonces este sería un polinomio con coeficientes algebraicos. Debido a que los números algebraicos forman un cuerpo algebraicamente cerrado , esto implicaría que las raíces del polinomio, a y b , deben ser algebraicas. Pero esto es una contradicción y, por tanto, debe darse el caso de que al menos uno de los coeficientes sea trascendental.

Los números no computables son un subconjunto estricto de los números trascendentales.

Todos los números de Liouville son trascendentales, pero no al revés. Cualquier número de Liouville debe tener cocientes parciales ilimitados en su expansión en fracción continua . Utilizando un argumento de conteo se puede demostrar que existen números trascendentales que tienen cocientes parciales acotados y, por tanto, no son números de Liouville.

Utilizando la expansión en fracción continua explícita de e , se puede demostrar que e no es un número de Liouville (aunque los cocientes parciales en su expansión en fracción continua no están acotados). Kurt Mahler demostró en 1953 que π tampoco es un número de Liouville. Se conjetura que todas las fracciones infinitas continuas con términos acotados, que tienen una estructura "simple" y que no son eventualmente periódicas son trascendentales ^[18] (en otras palabras, las raíces algebraicas irracionales de al menos polinomios de tercer grado no tienen un patrón aparente en sus expansiones de fracciones continuas, ya que eventualmente las fracciones continuas periódicas corresponden a irracionales cuadráticos, ver el problema de Hermite ).

Los números demuestran ser trascendentales

Números que demostraron ser trascendentales:

• e ^a siaesalgebraicoy distinto de cero (según elteorema de Lindemann-Weierstrass).
• π (según el teorema de Lindemann-Weierstrass ).
• e ^π , constante de Gelfond , así como e ^{− π /2} = i ⁱ (según el teorema de Gelfond-Schneider ).
• a ^b donde a es algebraico pero no 0 o 1, y b es algebraico irracional (según el teorema de Gelfond-Schneider), en particular:

${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$, la constante de Gelfond-Schneider (o número de Hilbert)

• sin a , cos a , tan a , csc a , sec a y cot a , y sus contrapartes hiperbólicas , para cualquier número algebraico distinto de cero a , expresado en radianes (según el teorema de Lindemann-Weierstrass).
• El punto fijo de la función coseno (también conocido como número de Dottie d ): la única solución real de la ecuación cos x = x , donde x está en radianes (según el teorema de Lindemann-Weierstrass). ^[19]
• En a si a es algebraico y no es igual a 0 o 1, para cualquier rama de la función logaritmo (según el teorema de Lindemann-Weierstrass), en particular: la constante parabólica universal .
• log _b a si a y b son números enteros positivos, no ambas potencias del mismo número entero, y a no es igual a 1 (según el teorema de Gelfond-Schneider).
• Resultados distintos de cero de arcsin a , arccos a , arctan a , arccsc a , arcsec a , arccot ​​a y sus contrapartes hiperbólicas , para cualquier número algebraico a (según el teorema de Lindemann-Weierstrass).
• La función de Bessel de primer tipo J _ν ( x ) , su primera derivada y el cociente son trascendentales cuando ν es racional y x es algebraico y distinto de cero, ^[20] y todas las raíces distintas de cero de J _ν (x) y J ' _ν (x) son trascendentales cuando ν es racional. ^[21] ${\displaystyle {\tfrac {J'_{\nu }(x)}{J_{\nu }(x)}}}$
• W ( a )siaes algebraico y distinto de cero, para cualquier rama de la función W de Lambert (según el teorema de Lindemann-Weierstrass), en particular:Ωlaconstante omega
• W ( r , a ) si tanto a como el orden r son algebraicos tales que, para cualquier rama de la función generalizada de Lambert W. ^[22] ${\displaystyle a\neq 0}$
• √ x _s , la superraíz cuadrada de cualquier número natural es un número entero o trascendental (según el teorema de Gelfond-Schneider)
• ${\displaystyle \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{3}}\right)\ }$, ^[23] , ^[24] y . ^[24] Los números y también se sabe que son trascendentales. Los números y también son trascendentales. ^[25] ${\displaystyle \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{4}}\right)\ }$ ${\displaystyle \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{6}}\right)\ }$ ${\displaystyle \ \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {2}{3}}\right)\ ,}$ ${\displaystyle \ \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {3}{4}}\right)\ ,}$ ${\displaystyle \ \operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {5}{6}}\right)\ }$ ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\pi }}\operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{4}}\right)^{4}\ }$ ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{\pi }}\operatorname {\Gamma } \left({\tfrac {1}{3}}\right)^{2}\ }$
• Los valores de la función beta de Euler (en la que a , b y son números racionales no enteros). ^[26] ${\displaystyle \mathrm {B} (a,b)}$ ${\displaystyle a+b}$
• 0,64341054629... , constante de Cahen . ^[27]
• ${\displaystyle \pi +\ln(2)+{\sqrt {2}}\ln(3)}$. ^[28] En general, todos los números de la forma son trascendentales, donde son algebraicos para todos y son algebraicos distintos de cero para todos (según el teorema de Baker ). ${\displaystyle \pi +\beta _{1}\ln(a_{1})+\cdots +\beta _{n}\ln(a_{n})}$ ${\displaystyle \beta _{j}}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$

• Las constantes de Champernowne , los números irracionales formados por la concatenación de representaciones de todos los números enteros positivos. ^[29]
• Ω , constante de Chaitin (ya que es un número no computable). ^[30]
• El límite supremo de las secuencias de Specker (ya que son números no computables). ^[31]
• Las llamadas constantes de Fredholm, como ^{[11] [32] [b]}

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }10^{-2^{n}}=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}0{\textbf {1}}000{\textbf {1}}0000000{\textbf {1}}\ldots }$

que también se cumple reemplazando 10 con cualquier número algebraico b > 1 . ^[34]

• ${\displaystyle {\frac {\arctan(x)}{\pi }}}$, para un número racional x tal que . ^[28] ${\displaystyle x\notin \{0,\pm {1}\}}$

• Los valores de la fracción continua de Rogers-Ramanujan donde es algebraico y . ^[35] Los valores lemniscaticos de la función theta (en las mismas condiciones para ) también son trascendentales. ^[36] ${\displaystyle R(q)}$ ${\displaystyle {q}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 0<|q|<1}$ ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$ ${\displaystyle {q}}$
• j ( q )dondees algebraica pero no cuadrática imaginaria (es decir, elconjunto excepcionalde esta función es el campo numérico cuyo grado deextensiónes2). ${\displaystyle {q}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Los valores de la serie infinita con tasa de convergencia rápida definida por Y. Gao y J. Gao, como . ^[37] ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}}{2^{3^{n}}}}}$
• La constante real en la definición de la constante de van der Corput involucrando las integrales de Fresnel . ^[38]
• La constante real en la definición de la constante de Zolotarev-Schur que involucra las funciones integrales elípticas completas . ^[39]
• La constante de Gauss y la constante de lemniscata relacionada . ^[40]
• Cualquier número de la forma (donde , son polinomios en variables y , es algebraico y , es cualquier número entero mayor que 1). ^[41] ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}(\beta ^{r^{n}})}{F_{n}(\beta ^{r^{n}})}}}$ ${\displaystyle E_{n}(z)}$ ${\displaystyle F_{n}(z)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta \neq 0}$ ${\displaystyle r}$

• Números no periódicos construidos artificialmente . ^[42]
• "La constante de Robbins en el problema de selección de líneas tridimensionales ". ^[43]
• La constante de Liouville antes mencionada para cualquier b ∈ (0, 1) algebraico .
• La suma de recíprocos de factoriales exponenciales . ^[28]
• La constante de Prouhet-Thue-Morse ^[44] y la constante de conejo relacionada. ^[45]
• La constante de Komornik-Loreti . ^[46]
• Cualquier número cuyos dígitos con respecto a alguna base fija formen una palabra sturmiana . ^[47]
• La constante de plegado de papel (también denominada "número gaussiano de Liouville"). ^[48]
• Números irracionales construidos que no son simplemente normales en ninguna base. ^[49]
• Para β > 1

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-\left\lfloor \beta ^{k}\right\rfloor };}$

¿ Dónde está la función del suelo ? ^[50] ${\displaystyle \beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor }$

• 3,300330000000000330033... y su recíproco 0,30300000303..., dos números con sólo dos dígitos decimales diferentes cuyas posiciones de dígitos distintos de cero están dadas por la secuencia de Moser-de Bruijn y su doble. ^[51]
• El número , donde Y _α ( x ) y J _α ( x ) son funciones de Bessel y γ es la constante de Euler-Mascheroni . ^{[52] [53]} ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}{\tfrac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$

• Nesterenko demostró en 1996 que y son algebraicamente independientes. ^[25] Esto da como resultado la trascendencia de la constante de Weierstrass ^[54] y el número . ^[55] ${\displaystyle \pi ,e^{\pi }}$ ${\displaystyle \Gamma (1/4)}$ ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}-1}}}$

Posibles números trascendentales

Números que aún no se ha demostrado que sean trascendentales o algebraicos:

• La mayoría de las sumas, productos, potencias, etc. del número π y el número e , por ejemplo, eπ , e + π , π − e , π / e , π ^π , e ^e , π ^e , π ^{√ 2} , e ^{π 2} son no se sabe que sea racional, algebraicamente irracional o trascendental. Una excepción notable es e ^{π √ n} (para cualquier entero positivo n ), que ha demostrado ser trascendental. ^[56] Se ha demostrado que tanto e + π como π / e no satisfacen ninguna ecuación polinómica de grado y coeficientes enteros de tamaño promedio 10 ⁹ . ^[57] ${\displaystyle \leq 8}$
• La constante de Euler-Mascheroni γ : en 2010, M. Ram Murty y N. Saradha encontraron una lista infinita de números que conteníanγ/4de tal manera que todos menos uno de ellos son trascendentales. ^{[58] [59]} En 2012 se demostró que al menos uno de γ y la constante de Euler-Gompertz δ es trascendental. ^[60]
• La constante de Apéry ζ (3) (cuya irracionalidad fue demostrada por Apéry ).
• La constante recíproca de Fibonacci y la constante recíproca de Lucas ^[61] (se ha demostrado que ambas son irracionales).
• La constante de Catalan y los valores de la función beta de Dirichlet en otros números enteros pares, β (4) , β (6) , ... (ni siquiera se ha demostrado que sean irracionales). ^[62]
• La constante de Khinchin tampoco ha demostrado ser irracional.
• La función zeta de Riemann en otros enteros positivos impares, ζ (5) , ζ (7) , ... (no se ha demostrado que sea irracional).
• Tampoco se ha demostrado que las constantes de Feigenbaum δ y α sean irracionales.
• La constante prima gemela y la constante de Mills (tampoco se ha demostrado que sean irracionales).
• La superraíz cúbica de cualquier número natural es un número entero o irracional (según el teorema de Gelfond-Schneider). ^[63] Sin embargo, todavía no está claro si los números irracionales en el último caso son todos trascendentales. ^{[ cita necesaria ]}
• Tampoco se ha demostrado que el segundo y posteriores valores propios del operador Gauss-Kuzmin-Wirsing sean irracionales.
• La constante de Copeland-Erdős , formada al concatenar las representaciones decimales de los números primos.
• La densidad relativa de los números primos regulares : en 1964, Siegel conjeturó que su valor es . ${\displaystyle e^{-1/2}}$
• ${\displaystyle \Gamma (1/5)}$No se ha demostrado que sea irracional. ^[25]
• Diversas constantes cuyo valor no se conoce con gran precisión, como la constante de Landau y la constante de Grothendieck .

Conjeturas relacionadas:

• La conjetura de Schanuel ,
• Conjetura de las cuatro exponenciales .

Bosquejo de una prueba de que e es trascendental

La primera prueba de que la base de los logaritmos naturales, e , es trascendental data de 1873. Seguiremos ahora la estrategia de David Hilbert (1862-1943), quien simplificó la prueba original de Charles Hermite . La idea es la siguiente:

Supongamos, para encontrar una contradicción , que e es algebraico. Entonces existe un conjunto finito de coeficientes enteros c ₀ , c ₁ , ..., c _n que satisfacen la ecuación:

$${\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0~.}$$

Ahora, para un entero positivo k , definimos el siguiente polinomio:

$${\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},}$$

y multiplica ambos lados de la ecuación anterior por

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}\ e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\ ,}$$

para llegar a la ecuación:

$${\displaystyle c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\right)=0~.}$$

Al dividir los respectivos dominios de integración, esta ecuación se puede escribir en la forma

$${\displaystyle P+Q=0}$$

dónde

$${\displaystyle {\begin{aligned}P&=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\right)\\Q&=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\right)\end{aligned}}}$$

Lema 1. Para una elección adecuada de k , es un número entero distinto de cero. ${\displaystyle \ {\tfrac {P}{k!}}\ }$

Prueba. Cada término de P es un número entero multiplicado por una suma de factoriales, que resulta de la relación

$${\displaystyle \ \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x=j!\ }$$

que es válido para cualquier entero positivo j (considere la función Gamma ).

Es distinto de cero porque para cada a que satisfaga 0 < a ≤ n , el integrando en

$${\displaystyle c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x}$$

es e ^−x multiplicado por una suma de términos cuya potencia más baja de x es k + 1 después de sustituir x por x + a en la integral. Entonces esto se convierte en una suma de integrales de la forma

$${\displaystyle \ A_{j-k}\int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\ }$$

Donde A _j−k es un número entero.

con k +1 ≤ j , ¡y por lo tanto es un número entero divisible por ( k +1)! . Después de dividir por k! , obtenemos cero mod k + 1 . Sin embargo, podemos escribir:

$${\displaystyle \ \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x=\int _{0}^{\infty }\left(\left[m(-1)^{n}(n!)\right]^{k+1}e^{-x}x^{k}+\cdots \right)\ \mathrm {d} \ x\ }$$

y por lo tanto

$${\displaystyle {\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\equiv c_{0}\left[\ (-1)^{n}(n!)\ \right]^{k+1}\ \not \equiv \ 0{\pmod {k+1}}~.}$$

Entonces, al dividir cada integral en P por k ! , el inicial no es divisible por k + 1 , pero todos los demás sí lo son, siempre que k + 1 sea primo y mayor que n y | c ₀ | . De ello se deduce que él mismo no es divisible por el primo k + 1 y, por tanto, no puede ser cero. ${\displaystyle {\tfrac {P}{k!}}\ }$

Lema 2. para k suficientemente grande . ${\displaystyle \left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1}$

Prueba. Tenga en cuenta que

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{k}e^{-x}&=x^{k}\left[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)\right]^{k+1}e^{-x}\\&=\left(x(x-1)\cdots (x-n)\right)^{k}\cdot \left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)\\&=u(x)^{k}\cdot v(x)\end{aligned}}}$$

donde u ( x ), v ( x ) son funciones continuas de x para todo x , por lo que están acotadas en el intervalo [0, n ] . Es decir, existen constantes G , H > 0 tales que

$${\displaystyle \ \left|f_{k}e^{-x}\right|\leq |u(x)|^{k}\cdot |v(x)|<G^{k}H\quad {\text{ for }}0\leq x\leq n~.}$$

Entonces cada una de esas integrales que componen Q está acotada, siendo el peor de los casos

$${\displaystyle \left|\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\right|\leq \int _{0}^{n}\left|f_{k}e^{-x}\right|\ \mathrm {d} \ x\leq \int _{0}^{n}G^{k}H\ \mathrm {d} \ x=nG^{k}H~.}$$

Ahora también es posible acotar la suma Q :

$${\displaystyle |Q|<G^{k}\cdot nH\left(|c_{1}|e+|c_{2}|e^{2}+\cdots +|c_{n}|e^{n}\right)=G^{k}\cdot M\ ,}$$

donde M es una constante que no depende de k . Resulta que

$${\displaystyle \ \left|{\frac {Q}{k!}}\right|<M\cdot {\frac {G^{k}}{k!}}\to 0\quad {\text{ as }}k\to \infty \ ,}$$

terminando la prueba de este lema.

Elegir un valor de k que satisfaga ambos lemas conduce a que un número entero distinto de cero sumado a una cantidad extremadamente pequeña sea igual a cero, es imposible. De ello se deduce que la suposición original, de que e puede satisfacer una ecuación polinómica con coeficientes enteros, también es imposible; es decir, e es trascendental. ${\displaystyle \left({\tfrac {P}{k!}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {Q}{k!}}\right)}$

La trascendencia de π

Se puede utilizar una estrategia similar, diferente del enfoque original de Lindemann , para demostrar que el número π es trascendental. Además de la función gamma y algunas estimaciones como en la prueba de e , los datos sobre polinomios simétricos juegan un papel vital en la prueba.

Para obtener información detallada sobre las pruebas de la trascendencia de π y e , consulte las referencias y enlaces externos.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Teoría de números trascendentales , el estudio de cuestiones relacionadas con los números trascendentales
• Elemento trascendental , generalización de números trascendentales en álgebra abstracta
• Teorema de Gelfond-Schneider
• Aproximación diofántica
• Períodos , un conjunto de números (incluidos números trascendentales y algebraicos) que pueden definirse mediante ecuaciones integrales.

Notas

1. La construcción de Cantor construye una correspondencia uno a uno entre el conjunto de números trascendentales y el conjunto de números reales. En este artículo, Cantor sólo aplica su construcción al conjunto de los números irracionales. ^[15]
2. El nombre 'número de Fredholm' está fuera de lugar: Kempner demostró por primera vez que este número es trascendental y la nota de la página 403 afirma que Fredholm nunca estudió este número. ^[33]

Referencias

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2. Shidlovskii, Andrei B. (junio de 2011). Números trascendentales . Walter de Gruyter. pag. 1.ISBN _ 9783110889055.
3. Bunday, BD; Mulholland, H. (20 de mayo de 2014). Matemática Pura para Nivel Avanzado. Butterworth-Heinemann. ISBN 978-1-4831-0613-7. Consultado el 21 de marzo de 2021 .
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13. Liouville 1851
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