Constante de Komornik-Loreti

Constante matemática de los sistemas numéricos

En la teoría matemática de los sistemas de numeración posicional no estándar , la constante de Komornik-Loreti es una constante matemática que representa la base q más pequeña para la cual el número 1 tiene una representación única, llamada su q -desarrollo. La constante recibe su nombre de Vilmos Komornik y Paola Loreti , quienes la definieron en 1998. ^[1]

Definición

Dado un número real q  > 1, la serie

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{-n}}$

se llama q -expansión, o -expansión , del número real positivo x si, para todo , , donde es la función base y no necesita ser un entero. Cualquier número real tal que tenga una expansión tal, como se puede encontrar usando el algoritmo voraz . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq \lfloor q\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor q\rfloor }$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq q\lfloor q\rfloor /(q-1)}$

El caso especial de , , y o a veces se denomina -desarrollo . da el único 2-desarrollo. Sin embargo, para casi todos los , hay un número infinito de -desarrollos diferentes. Sin embargo, lo que es aún más sorprendente es que existen casos excepcionales para los que existe un único -desarrollo. Además, hay un número mínimo conocido como la constante de Komornik-Loreti para el que existe un único -desarrollo. ^[2] ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle a_{0}=0}$ ${\displaystyle a_{n}=0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a_{n}=1}$ ${\displaystyle 1<q<2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\in (1,2)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 1<q<2}$ ${\displaystyle q}$

Valor

La constante de Komornik-Loreti es el valor tal que ${\displaystyle q}$

${\displaystyle 1=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {t_{k}}{q^{k}}}}$

donde es la secuencia de Thue-Morse , es decir, es la paridad del número de 1 en la representación binaria de . Tiene un valor aproximado ${\displaystyle t_{k}}$ ${\displaystyle t_{k}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle q=1.787231650\ldots .\,}$^[3]

La constante es también la única solución real positiva para ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{q^{2^{k}}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{-1}-2.}$

Esta constante es trascendental . ^[4]

Véase también

• Constante de Euler-Mascheroni
• Palabra de Fibonacci
• Secuencia Golay-Rudin-Shapiro
• Constante de Prouhet-Thue-Morse

Referencias

1. Komornik, Vilmos; Loreti, Paola (1998), "Desarrollos únicos en bases no enteras", American Mathematical Monthly , 105 (7): 636–639, doi :10.2307/2589246, JSTOR  2589246, MR  1633077
2. Weissman, Eric W. "q-expansion" De Wolfram MathWorld. Recuperado el 18 de octubre de 2009.
3. Weissman, Eric W. "Constante de Komornik-Loreti". De Wolfram MathWorld. Recuperado el 27 de diciembre de 2010.
4. Allouche, Jean-Paul; Cosnard, Michel (2000), "La constante de Komornik-Loreti es trascendental", American Mathematical Monthly , 107 (5): 448–449, doi :10.2307/2695302, JSTOR  2695302, MR  1763399