Periodo (geometría algebraica)

Números expresables como integrales de funciones algebraicas

En geometría algebraica , un período es un número que puede expresarse como una integral de una función algebraica sobre un dominio algebraico . Las sumas y productos de períodos siguen siendo períodos, de modo que los períodos forman un anillo .

Maxim Kontsevich y Don Zagier repasaron los períodos e introdujeron algunas conjeturas sobre ellos. ^[1] También surgen períodos al calcular las integrales que surgen de los diagramas de Feynman , y se ha trabajado intensamente para tratar de comprender las conexiones. ^[2]

Definición

Un número real es un período si tiene la forma

${\displaystyle \int _{P(x,y,z,\ldots )\geq 0}Q(x,y,z,\ldots )\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z\ldots }$

donde es un polinomio y una función racional con coeficientes racionales . Un número complejo es un período si sus partes real e imaginaria son períodos. ^[3] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Una definición alternativa permite que y sean funciones algebraicas ; ^[4] esto parece más general, pero es equivalente. Los coeficientes de las funciones racionales y polinomios también se pueden generalizar a números algebraicos porque los números algebraicos irracionales se pueden expresar en términos de áreas de dominios adecuados. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

En la otra dirección, se puede restringir a ser la función constante o , reemplazando el integrando con una integral de sobre una región definida por un polinomio en variables adicionales. En otras palabras, un período (no negativo) es el volumen de una región definida por una desigualdad polinómica . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Ejemplos

Además de los números algebraicos, se sabe que los siguientes números son períodos:

• El logaritmo natural de cualquier número algebraico positivo a , que es ${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x}$
• π ${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {4}{x^{2}+1}}\ \mathrm {d} x}$
• Integrales elípticas con argumentos racionales.
• Todas las constantes zeta (la función zeta de Riemann de un número entero ) y múltiples valores zeta
• Valores especiales de funciones hipergeométricas en argumentos algebraicos.
• Γ ( p / q ) ^q para números naturales p y q .

Un ejemplo de un número real que no es un período lo da la constante Ω de Chaitin . Cualquier otro número no computable también da un ejemplo de número real que no es un período. Actualmente no existen ejemplos naturales de números computables que se haya demostrado que no son períodos; sin embargo, es posible construir ejemplos artificiales. ^[5] Los candidatos plausibles para números que no son períodos incluyen e , 1/ π y la constante de Euler-Mascheroni γ .

Propiedades y motivación.

Los períodos pretenden cerrar la brecha entre los números algebraicos y los números trascendentales . La clase de números algebraicos es demasiado limitada para incluir muchas constantes matemáticas comunes , mientras que el conjunto de números trascendentales no es contable y sus miembros generalmente no son computables .

El conjunto de todos los períodos es contable y todos los períodos son computables ^[6] y, en particular, definibles .

Conjeturas

Muchas de las constantes que se sabe que son períodos también están dadas por integrales de funciones trascendentales . Kontsevich y Zagier señalan que "parece no haber una regla universal que explique por qué ciertas sumas infinitas o integrales de funciones trascendentales son períodos".

Kontsevich y Zagier conjeturaron que, si un período está dado por dos integrales diferentes, entonces cada integral se puede transformar en la otra usando sólo la linealidad de las integrales (tanto en el integrando como en el dominio), cambios de variables y la ecuación de Newton-Leibniz. fórmula

${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)\,dx=f(b)-f(a)}$

(o, más generalmente, la fórmula de Stokes ).

Una propiedad útil de los números algebraicos es que la igualdad entre dos expresiones algebraicas se puede determinar algorítmicamente. La conjetura de Kontsevich y Zagier implicaría que la igualdad de períodos también es decidible: la desigualdad de reales computables se conoce recursivamente enumerable ; y a la inversa, si dos integrales concuerdan, entonces un algoritmo podría confirmarlo probando todas las formas posibles de transformar una de ellas en la otra.

Se conjetura que el número e de Euler y la constante γ de Euler-Mascheroni no son períodos.

Generalizaciones

Los períodos se pueden extender a períodos exponenciales permitiendo que el integrando sea el producto de una función algebraica y el exponencial de una función algebraica. Esta extensión incluye todas las potencias algebraicas de e , la función gamma de argumentos racionales y los valores de las funciones de Bessel . ${\displaystyle Q}$

Kontsevich y Zagier sugieren que existen "indicios" de que los períodos pueden generalizarse naturalmente aún más, para incluir la constante γ de Euler. Con esta inclusión, "todas las constantes clásicas son períodos en el sentido apropiado".

Ver también

• variedad jacobiana
• Conexión Gauss-Manin
• Motivos mixtos (matemáticas)
• Formalismo tannakiano

Referencias

• Kontsevich, Maxim ; Zagier, Don (2001). "Períodos" (PDF) . En Engquist, Björn; Schmid, Wilfried (eds.). Matemáticas ilimitadas: 2001 y más allá . Berlín, Nueva York: Springer . págs. 771–808. ISBN 9783540669135. SEÑOR  1852188.

• Marcolli, Matilde (2010). "Integrales y motivos de Feynman". Congreso Europeo de Matemáticas . EUR. Matemáticas. Soc. Zúrich. págs. 293–332. arXiv : 0907.0321 .

Notas a pie de página

1. Kontsevich y Zagier 2001.
2. Marcolli 2010.
3. Kontsevich y Zagier 2001, pág. 3.
4. Weisstein, Eric W. "Períodos". WolframMathWorld (Investigación Wolfram) . Consultado el 19 de junio de 2019 .
5. Yoshinaga, Masahiko (3 de mayo de 2008). "Períodos y números reales elementales". arXiv : 0805.0349 [matemáticas.AG].
6. Tienda de campaña, Katrin ; Ziegler, Martín (2010). «Funciones computables de reales» (PDF) . Revista de Matemáticas de Münster . 3 : 43–66.

Otras lecturas

• Belkale, Prakash; Brosnan, Patrick (2003), "Períodos y funciones zeta locales de Igusa", Avisos internacionales de investigación en matemáticas , 2003 (49): 2655–2670, doi : 10.1155/S107379280313142X , ISSN  1073-7928, MR  2012522
• Waldschmidt, Michel (2006), "Trascendencia de los períodos: el estado del arte" (PDF) , Matemáticas puras y aplicadas trimestralmente , 2 (2): 435–463, doi : 10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a3 , ISSN  1558-8599, SEÑOR  2251476

enlaces externos

• PlanetMath: Punto