constante de euler

Relaciona logaritmos y series armónicas.

Valor constante utilizado en matemáticas.

El área de la región azul converge con la constante de Euler.

La constante de Euler (a veces llamada constante de Euler-Mascheroni ) es una constante matemática , generalmente denotada por la letra griega minúscula gamma ( γ ), definida como la diferencia límite entre la serie armónica y el logaritmo natural , denotada aquí por log :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(-\log n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\[5px]&=\int _{1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}\right)\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}}$$

Aquí, ⌊·⌋ representa la función suelo .

El valor numérico de la constante de Euler, con 50 decimales, es: ^[1]

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 ... 

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Es irracional la constante de Euler? Si es así, ¿es trascendental?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Historia

La constante apareció por primera vez en un artículo de 1734 del matemático suizo Leonhard Euler , titulado De Progressionibus harmonicis observes (Índice de Eneström 43). Euler usó las notaciones C y O para la constante. En 1790, el matemático italiano Lorenzo Mascheroni utilizó las notaciones A y a para la constante. La notación γ no aparece en ninguna parte de los escritos de Euler ni de Mascheroni, y fue elegida más tarde, tal vez debido a la conexión de la constante con la función gamma . ^[2] Por ejemplo, el matemático alemán Carl Anton Bretschneider usó la notación γ en 1835, ^[3] y Augustus De Morgan la usó en un libro de texto publicado en partes desde 1836 hasta 1842. ^[4]

Apariciones

La constante de Euler aparece, entre otros lugares, a continuación (donde '*' significa que esta entrada contiene una ecuación explícita):

• Expresiones que involucran la integral exponencial *
• La transformada de Laplace * del logaritmo natural
• El primer término de la expansión en serie de Laurent para la función zeta de Riemann *, donde es la primera de las constantes de Stieltjes *
• Cálculos de la función digamma.
• Una fórmula de producto para la función gamma.
• La expansión asintótica de la función gamma para argumentos pequeños.
• Una desigualdad para la función totiente de Euler.
• La tasa de crecimiento de la función divisora.
• En regularización dimensional de diagramas de Feynman en teoría cuántica de campos.
• El cálculo de la constante de Meissel-Mertens.
• El tercero de los teoremas de Mertens *
• Solución de segundo tipo a la ecuación de Bessel.
• En la regularización/ renormalización de la serie armónica como valor finito
• La media de la distribución de Gumbel.
• La entropía de la información de las distribuciones de Weibull y Lévy e, implícitamente, de la distribución chi-cuadrado para uno o dos grados de libertad.
• La respuesta al problema del cobrador de cupones *
• En algunas formulaciones de la ley de Zipf
• Una definición de la integral del coseno *
• Límites inferiores a una brecha principal
• Un límite superior de la entropía de Shannon en la teoría de la información cuántica ^[5]
• Modelo de Fisher-Orr para la genética de la adaptación en biología evolutiva ^[6]

Propiedades

No se ha demostrado que el número γ sea algebraico o trascendental . De hecho, ni siquiera se sabe si γ es irracional . Utilizando un análisis de fracción continua , Papanikolaou demostró en 1997 que si γ es racional , su denominador debe ser mayor que 10 ²⁴⁴⁶⁶³ . ^{[7] [8]} La ubicuidad de γ revelada por la gran cantidad de ecuaciones siguientes hace que la irracionalidad de γ sea una importante cuestión abierta en matemáticas. ^[9]

Sin embargo, se han logrado algunos avances. Kurt Mahler demostró en 1968 que el número es trascendental (aquí, y son funciones de Bessel ). ^{[10] [2]} En 2009, Alexander Aptekarev demostró que al menos una de la constante γ de Euler y la constante δ de Euler-Gompertz es irracional; ^[11] Tanguy Rivoal demostró en 2012 que al menos uno de ellos es trascendental. ^{[12] [2]} En 2010, M. Ram Murty y N. Saradha demostraron que como máximo uno de los números de la forma ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}{\frac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$

$${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{a+kq}}\right)-{\frac {\log {(a+nq})}{q}}\right)}$$

con q ≥ 2 y 1 ≤ a < q es algebraico; esta familia incluye el caso especial γ (2,4) =γ/4. ^{[2] [13]} En 2013, M. Ram Murty y A. Zaytseva encontraron una familia diferente que contiene γ , que se basa en sumas de recíprocos de números enteros no divisibles por una lista fija de números primos, con la misma propiedad. ^{[2] [14]}

Relación con la función gamma

γ está relacionado con la función digamma Ψ , y por lo tanto con la derivada de la función gamma Γ , cuando ambas funciones se evalúan en 1. Así:

$${\displaystyle -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).}$$

Esto es igual a los límites:

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma &=\lim _{z\to 0}\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right)\\&=\lim _{z\to 0}\left(\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right).\end{aligned}}}$$

Otros resultados límite son: ^[15]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Un límite relacionado con la función beta (expresado en términos de funciones gamma ) es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\Gamma (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\right)}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)\\&=\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\log {\big (}\Gamma (k+1){\big )}.\end{aligned}}}$$

Relación con la función zeta

γ también se puede expresar como una suma infinita cuyos términos involucran la función zeta de Riemann evaluada en números enteros positivos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\log {\frac {4}{\pi }}+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}}$$

ceros no triviales^[16] ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \gamma =\log 4\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-2}$

Otras series relacionadas con la función zeta incluyen:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\tfrac {3}{2}}-\log 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}{\big (}\zeta (m)-1{\big )}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n-1}{2n}}-\log n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{mn}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\log 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

El término de error en la última ecuación es una función de n que decrece rápidamente . Como resultado, la fórmula es muy adecuada para el cálculo eficiente de la constante con alta precisión.

Otros límites interesantes que igualan la constante de Euler son el límite antisimétrico: ^[17]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)\\&=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)\\&=\lim _{s\to 0}{\frac {\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}}\end{aligned}}}$$

y la siguiente fórmula, establecida en 1898 por de la Vallée-Poussin :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)}$$

donde ⌈ ⌉ son soportes de techo . Esta fórmula indica que al tomar cualquier entero positivo n y dividirlo por cada entero positivo k menor que n , la fracción promedio por la cual el cociente n / k no llega al siguiente entero tiende a γ (en lugar de 0,5) como n tiende a infinidad.

Estrechamente relacionada con esto está la expresión de la serie racional zeta . Al tomar por separado los primeros términos de la serie anterior, se obtiene una estimación del límite de la serie clásica:

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}\right),}$$

donde ζ ( s , k ) es la función zeta de Hurwitz . La suma en esta ecuación involucra los números armónicos , H _n . Ampliando algunos de los términos de la función zeta de Hurwitz se obtiene:

$${\displaystyle H_{n}=\log(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon ,}$$

0 < ε <1/252 nº ⁶.

γ también se puede expresar de la siguiente manera, donde A es la constante de Glaisher-Kinkelin :

$${\displaystyle \gamma =12\,\log(A)-\log(2\pi )+{\frac {6}{\pi ^{2}}}\,\zeta '(2)}$$

γ también se puede expresar de la siguiente manera, lo que se puede demostrar expresando la función zeta como una serie de Laurent :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(-n+\zeta \left({\frac {n+1}{n}}\right)\right)}$$

Relación con números triangulares

Se han derivado numerosas formulaciones que expresan en términos de sumas y logaritmos de números triangulares . ^{[18] [19] [20] [21]} Una de las primeras es una fórmula ^{[22] [23]} para el número armónico ésimo atribuido a Srinivasa Ramanujan donde se relaciona en una serie que considera los poderes de (un Una prueba anterior, menos generalizable ^{[24] [25]} de Ernesto Cesàro da los dos primeros términos de la serie, con un término de error): ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \textstyle \ln 2T_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{T_{k}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{u}-{\frac {1}{2}}\ln 2T_{u}-\sum _{k=1}^{v}{\frac {R(k)}{T_{u}^{k}}}-\Theta _{v}\,{\frac {R(v+1)}{T_{u}^{v+1}}}\end{aligned}}}$

De la aproximación de Stirling ^{[18] [26]} se sigue una serie similar:

${\displaystyle \gamma =\ln 2\pi -\sum _{k=2}^{n}{\frac {\zeta (k)}{T_{k}}}}$

La serie de números triangulares inversos también aparece en el estudio del problema de Basilea ^{[27] [28]} planteado por Pietro Mengoli . Mengoli demostró que , resultado que Jacob Bernoulli utilizó más tarde para estimar el valor de , ubicándolo entre y . Esta identidad aparece en una fórmula utilizada por Bernhard Riemann para calcular raíces de la función zeta , ^[29] donde se expresa en términos de la suma de raíces más la diferencia entre la expansión de Boya y la serie de fracciones unitarias exactas : ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2T_{k}}}=1}$ ${\displaystyle \zeta (2)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2}{2T_{k}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{T_{k}}}=2}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{T_{k}}}}$

${\displaystyle \gamma -\ln 2=\ln 2\pi +\sum _{\rho }{\frac {2}{\rho }}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{T_{k}}}}$

Integrales

γ es igual al valor de un número de integrales definidas :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log x\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\log \left(\log {\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot e^{x}}}\right)dx\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx-\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx\\&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\log x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\,dx,\\&=\int _{0}^{1}H_{x}\,dx,\\&={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }\log \left(1+{\frac {\log \left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)dt\\&=1-\int _{0}^{1}\{1/x\}dx\end{aligned}}}$$

H _xnúmero armónico fraccionarioparte fraccionaria ${\displaystyle \{1/x\}}$ ${\displaystyle 1/x}$

La tercera fórmula de la lista integral se puede demostrar de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}+x-1}{x[e^{x}-1]}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x[e^{x}-1]}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!}}dx\\[2pt]&=\int _{0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{e^{x}-1}}dx\\[2pt]&=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}m!\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}\\[2pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{n}}-\log \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]=\gamma \end{aligned}}}$$

La integral en la segunda línea de la ecuación representa el valor de la función de Debye de +∞ , que es m !  ζ ( metro + 1 ) .

Las integrales definidas en las que aparece γ incluyen:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\log x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\log 2){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log ^{2}x\,dx&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\end{aligned}}}$$

Se puede expresar γ usando un caso especial de la fórmula de Hadjicostas como una integral doble ^{[9] [30]} con series equivalentes:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right).\end{aligned}}}$$

Una comparación interesante de Sondow ^[30] es la doble serie integral y alterna

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {4}{\pi }}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left((-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

Muestra ese registro4/πpuede considerarse como una "constante de Euler alternante".

Las dos constantes también están relacionadas por el par de series ^[31]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}\\\log {\frac {4}{\pi }}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}},\end{aligned}}}$$

donde N ₁ ( n ) y N ₀ ( n ) son el número de unos y ceros, respectivamente, en la expansión de base 2 de n .

También tenemos la integral catalana de 1875 [ ^32]

$${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\right)\,dx.}$$

Expansiones de serie

En general,

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\log(n+\alpha )\right)\equiv \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}(\alpha )}$$

para cualquier α > − n . Sin embargo, la tasa de convergencia de esta expansión depende significativamente de α . En particular, γ _n (1/2) exhibe una convergencia mucho más rápida que la expansión convencional γ _n (0) . ^{[33] [34]} Esto se debe a que

$${\displaystyle {\frac {1}{2(n+1)}}<\gamma _{n}(0)-\gamma <{\frac {1}{2n}},}$$

mientras

$${\displaystyle {\frac {1}{24(n+1)^{2}}}<\gamma _{n}(1/2)-\gamma <{\frac {1}{24n^{2}}}.}$$

Aun así, existen otras expansiones de series que convergen más rápidamente que ésta; Algunos de éstos se discuten a continuación.

Euler demostró que la siguiente serie infinita se aproxima a γ :

$${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-\log \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right).}$$

La serie para γ es equivalente a una serie que Nielsen encontró en 1897: ^{[15] [35]}

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k+1}}.}$$

En 1910, Vacca encontró la serie estrechamente relacionada ^{[36] [37] [38] [39] [40] [15] [41]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}\\[5pt]&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}-{\tfrac {1}{11}}+\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots ,\end{aligned}}}$$

donde log ₂ es el logaritmo en base 2 y ⌊  ⌋ es la función suelo .

En 1926 encontró una segunda serie:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma +\zeta (2)&=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)\\[5pt]&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}{k\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\cdot 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\cdot 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

Del desarrollo de Malmsten - Kummer para el logaritmo de la función gamma ^[42] obtenemos:

$${\displaystyle \gamma =\log \pi -4\log \left(\Gamma ({\tfrac {3}{4}})\right)+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}.}$$

Una expansión importante de la constante de Euler se debe a Fontana y Mascheroni

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|G_{n}|}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{72}}+{\frac {19}{2880}}+{\frac {3}{800}}+\cdots ,}$$

G _ncoeficientes de Gregory^{[15] [41] [43]}k = 1

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{k-1}-\log k+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!|G_{n}|}{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}&&\\&=H_{k-1}-\log k+{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{12k(k+1)}}+{\frac {1}{12k(k+1)(k+2)}}+{\frac {19}{120k(k+1)(k+2)(k+3)}}+\cdots &&\end{aligned}}}$$

convergente para k = 1, 2, ...

Una serie similar con los números de Cauchy de segunda clase C _n es ^{[41] [44]}

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}}{n\,(n+1)!}}=1-{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{72}}-{\frac {1}{32}}-{\frac {251}{14400}}-{\frac {19}{1728}}-\ldots }$$

Blagouchine (2018) encontró una interesante generalización de la serie Fontana-Mascheroni

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n}(a)+\psi _{n}{\Big (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big )}{\Big \}},\quad a>-1}$$

donde ψ _n ( a ) son los polinomios de Bernoulli de segunda especie , que están definidos por la función generadora

$${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{s}}{\log(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s),\qquad |z|<1.}$$

Para cualquier a racional, esta serie contiene únicamente términos racionales. Por ejemplo, en a = 1 , se convierte en ^{[45] [46]}

$${\displaystyle \gamma ={\frac {3}{4}}-{\frac {11}{96}}-{\frac {1}{72}}-{\frac {311}{46080}}-{\frac {5}{1152}}-{\frac {7291}{2322432}}-{\frac {243}{100352}}-\ldots }$$

$${\displaystyle \gamma =-\log(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1}$$

y

$${\displaystyle \gamma =-{\frac {2}{1+2a}}\left\{\log \Gamma (a+1)-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{n}}\right\},\qquad \Re (a)>-1}$$

donde Γ( a ) es la función gamma . ^[43]

Una serie relacionada con el algoritmo de Akiyama-Tanigawa es

$${\displaystyle \gamma =\log(2\pi )-2-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}G_{n}(2)}{n}}=\log(2\pi )-2+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{540}}+{\frac {17}{2880}}+{\frac {41}{12600}}+\ldots }$$

donde G _n (2) son los coeficientes de Gregory de segundo orden. ^[43]

Como una serie de números primos :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\log n-\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p-1}}\right).}$$

Expansiones asintóticas

γ es igual a las siguientes fórmulas asintóticas (donde H _n es el n- ésimo número armónico ):

• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log n-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+\cdots }$( Euler )
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{2}}}+\cdots }\right)}$( Negoi )
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-{\frac {\log n+\log(n+1)}{2}}-{\frac {1}{6n(n+1)}}+{\frac {1}{30n^{2}(n+1)^{2}}}-\cdots }$( Cesáro )

La tercera fórmula también se llama expansión de Ramanujan.

Alabdulmohsin derivó expresiones en forma cerrada para las sumas de errores de estas aproximaciones. ^[44] Demostró que (Teorema A.1):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }\log n+\gamma -H_{n}+{\frac {1}{2n}}&={\frac {\log(2\pi )-1-\gamma }{2}}\\\sum _{n=1}^{\infty }\log {\sqrt {n(n+1)}}+\gamma -H_{n}&={\frac {\log(2\pi )-1}{2}}-\gamma \\\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\Big (}\log n+\gamma -H_{n}{\Big )}&={\frac {\log \pi -\gamma }{2}}\end{aligned}}}$$

Exponencial

La constante e ^γ es importante en la teoría de números. Algunos autores denotan esta cantidad simplemente como γ ′ . e ^γ es igual al siguiente límite , donde p _n es el enésimo número primo :

$${\displaystyle e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}.}$$

Esto reafirma el tercero de los teoremas de Mertens . ^[47] El valor numérico de e ^γ es: ^[48]

1.78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343 ... .

Otros productos infinitos relacionados con e ^γ incluyen:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{1+{\frac {\gamma }{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-1+{\frac {1}{2n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\\{\frac {e^{3+2\gamma }}{2\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-2+{\frac {2}{n}}}\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$$

Estos productos son el resultado de la función Barnes G.

Además,

$${\displaystyle e^{\gamma }={\sqrt {\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}}\cdot {\sqrt[{5}]{\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}}\cdots }$$

donde el n- ésimo factor es la ( n + 1) -ésima raíz de

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.}$$

Este producto infinito, descubierto por primera vez por Ser en 1926, fue redescubierto por Sondow utilizando funciones hipergeométricas . ^[49]

También sostiene que ^[50]

$${\displaystyle {\frac {e^{\frac {\pi }{2}}+e^{-{\frac {\pi }{2}}}}{\pi e^{\gamma }}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(e^{-{\frac {1}{n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}\right)\right).}$$

fracción continua

La expansión fraccionaria continua de γ comienza [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...], ^[51] que no tiene aparente patrón. Se sabe que la fracción continua tiene al menos 475.006 términos, ^[7] y tiene infinitos términos si y sólo si γ es irracional.

Generalizaciones

abm( x ) = γ _{− x}

Las constantes generalizadas de Euler están dadas por

$${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\alpha }}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x^{\alpha }}}\,dx\right),}$$

para 0 < α < 1 , con γ como el caso especial α = 1 . ^[52] Esto puede generalizarse aún más a

$${\displaystyle c_{f}=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}f(k)-\int _{1}^{n}f(x)\,dx\right)}$$

para alguna función decreciente arbitraria f . Por ejemplo,

$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {(\log x)^{n}}{x}}}$$

da lugar a las constantes de Stieltjes , y

$${\displaystyle f_{a}(x)=x^{-a}}$$

da

$${\displaystyle \gamma _{f_{a}}={\frac {(a-1)\zeta (a)-1}{a-1}}}$$

donde nuevamente el limite

$${\displaystyle \gamma =\lim _{a\to 1}\left(\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}\right)}$$

aparece.

Una generalización límite bidimensional es la constante de Masser-Gramain.

Las constantes de Euler-Lehmer vienen dadas por la suma de inversas de números en una clase de módulo común: ^[13]

$${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{x\to \infty }\left(\sum _{0<n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}{\frac {1}{n}}-{\frac {\log x}{q}}\right).}$$

Las propiedades básicas son

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\gamma (0,q)={\frac {\gamma -\log q}{q}},\\&\sum _{a=0}^{q-1}\gamma (a,q)=\gamma ,\\&q\gamma (a,q)=\gamma -\sum _{j=1}^{q-1}e^{-{\frac {2\pi aij}{q}}}\log \left(1-e^{\frac {2\pi ij}{q}}\right),\end{aligned}}}$$

y si el máximo común divisor mcd( a , q ) = d entonces

$${\displaystyle q\gamma (a,q)={\frac {q}{d}}\gamma \left({\frac {a}{d}},{\frac {q}{d}}\right)-\log d.}$$

Dígitos publicados

Euler inicialmente calculó el valor de la constante con 6 decimales. En 1781 lo calculó con 16 decimales. Mascheroni intentó calcular la constante con 32 decimales, pero cometió errores en los decimales 20 a 22 y 31 a 32; a partir del dígito 20, calculó... 181 12090082 39 cuando el valor correcto es... 065 12090082 40 .

Referencias

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Otras lecturas

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enlaces externos

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• Algoritmos rápidos y el método FEE, EA Karatsuba (2005)
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