función gamma

Ampliación de la función factorial.

En matemáticas , la función gamma (representada por Γ , la letra mayúscula gamma del alfabeto griego ) es una extensión comúnmente utilizada de la función factorial para números complejos . La función gamma está definida para todos los números complejos excepto los enteros no positivos. Para cada entero positivo n , $${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,.}$$

Derivada por Daniel Bernoulli , para números complejos con parte real positiva, la función gamma se define mediante una integral impropia convergente :

$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}{\text{ d}}t,\ \qquad \Re (z)>0\,.}$$

La función gamma entonces se define como la continuación analítica de esta función integral a una función meromorfa que es holomorfa en todo el plano complejo excepto cero y los enteros negativos, donde la función tiene polos simples . ^{[ se necesita aclaración ]}

La función gamma no tiene ceros, por lo que la función gamma recíproca ⁠1/Γ( z )⁠ es una función completa . De hecho, la función gamma corresponde a la transformada de Mellin de la función exponencial negativa:

$${\displaystyle \Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z)\,.}$$

Existen otras extensiones de la función factorial, pero la función gamma es la más popular y útil. Es un componente de varias funciones de distribución de probabilidad y, como tal, es aplicable en los campos de la probabilidad y la estadística , así como en la combinatoria .

Motivación

${\displaystyle \Gamma (x+1)}$interpola la función factorial a valores no enteros.

La función gamma puede verse como una solución al problema de interpolación de encontrar una curva suave que conecte los puntos de la secuencia factorial: para todos los valores enteros positivos de . La fórmula simple para el factorial, x ! = 1 × 2 × ⋯ × x solo es válido cuando x es un entero positivo, y ninguna función elemental tiene esta propiedad, pero una buena solución es la función gamma . ^[1] ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle (x,y)=(n,n!)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)=\Gamma (x+1)}$

La función gamma no sólo es fluida sino también analítica (excepto en los números enteros no positivos) y puede definirse de varias maneras explícitas. Sin embargo, no es la única función analítica que extiende el factorial, ya que se puede agregar cualquier función analítica que sea cero en los números enteros positivos, como para un número entero . ^[1] Esta función se conoce como función pseudogamma , siendo la más famosa la función de Hadamard . ^[2] ${\displaystyle k\sin(m\pi x)}$ ${\displaystyle m}$

La función gamma, Γ( z ) en azul, representada junto con Γ( z ) + sin(π z ) en verde. Observe la intersección en números enteros positivos. Ambas son extensiones válidas de los factoriales a una función meromórfica en el plano complejo.

Un requisito más restrictivo es la ecuación funcional que interpola el factorial desplazado  : ^{[3] [4]} ${\displaystyle f(n)=(n{-}1)!}$ $${\displaystyle f(x+1)=xf(x)\ {\text{ for any }}x>0,\qquad f(1)=1.}$$

Pero esto todavía no da una solución única, ya que permite la multiplicación por cualquier función periódica con y , como por ejemplo . Una forma de resolver la ambigüedad es el teorema de Bohr-Mollerup , que muestra que la única función de interpolación sobre los reales positivos es logarítmicamente convexa (superconvexa), ^[5] lo que significa que es convexa (donde está el logaritmo natural ). ^[6] ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle g(x)=g(x+1)}$ ${\displaystyle g(0)=1}$ ${\displaystyle g(x)=e^{k\sin(m\pi x)}}$ ${\displaystyle f(x)=\Gamma (x)}$ ${\displaystyle y=\log f(x)}$ ${\displaystyle \log }$

Definición

Definición principal

La notación se debe a Legendre . ^[1] Si la parte real del número complejo  z es estrictamente positiva ( ), entonces la integral converge absolutamente , y se conoce como integral de Euler de segunda especie . (La integral de Euler de primer tipo es la función beta . ^[1] ) Usando la integración por partes , se ve que: ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Re (z)>0}$ $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$$

Valor absoluto (vertical) y argumento (color) de la función gamma en el plano complejo

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt\\&={\Bigl [}-t^{z}e^{-t}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }zt^{z-1}e^{-t}\,dt\\&=\lim _{t\to \infty }\left(-t^{z}e^{-t}\right)-\left(-0^{z}e^{-0}\right)+z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}}$$

Reconociendo que como ${\displaystyle -t^{z}e^{-t}\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty ,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\\&=z\Gamma (z).\end{aligned}}}$$

Podemos calcular : ${\displaystyle \Gamma (1)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }t^{1-1}e^{-t}\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt\\&=1.\end{aligned}}}$$

Así podemos demostrar que para cualquier entero positivo n por inducción . Específicamente, el caso base es ese y el paso de inducción es que ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$ ${\displaystyle \Gamma (1)=1=0!}$ ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n(n-1)!=n!.}$

La identidad se puede usar (o, dando el mismo resultado, se puede usar la continuación analítica ) para extender de manera única la formulación integral de a una función meromórfica definida para todos los números complejos z , excepto los enteros menores o iguales a cero. ^[1] Es esta versión extendida la que comúnmente se conoce como función gamma. ^[1] ${\textstyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$

Definiciones alternativas

Hay muchas definiciones equivalentes.

La definición de Euler como producto infinito.

Para un número entero fijo , a medida que el número entero aumenta, tenemos que ^[7] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{m}}{(n+m)!}}=1\,.}$$

Si no es un número entero, entonces no es posible decir si esta ecuación es verdadera porque todavía no hemos definido (en esta sección) la función factorial para números no enteros. Sin embargo, obtenemos una extensión única de la función factorial a los números no enteros al insistir en que esta ecuación continúe siendo válida cuando el número entero arbitrario se reemplaza por un número complejo arbitrario . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{z}}{(n+z)!}}=1\,.}$$Multiplicar ambos lados por da este producto infinito , que se debe a Euler, ^[8] converge para todos los números complejos excepto los enteros no positivos, que fallan debido a una división por cero. Intuitivamente, esta fórmula indica que es aproximadamente el resultado de calcular un número entero grande , multiplicar por para aproximar y usar la relación hacia atrás para obtener una aproximación ; y además que esta aproximación se vuelve exacta a medida que aumenta hasta el infinito. ${\displaystyle (z-1)!}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=(z-1)!\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }n!{\frac {z!}{(n+z)!}}(n+1)^{z}\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }(1\cdots n){\frac {1}{(1+z)\cdots (n+z)}}\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdots {\frac {n+1}{n}}\right)^{z}\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{1+{\frac {z}{n}}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}\right].\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+1)^{z}}$ ${\displaystyle \Gamma (n+z+1)}$ ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle n}$

El producto infinito del recíproco es una función entera , convergente para todo número complejo z . $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)/{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}\right]}$$

Definición de Weierstrass

La definición de la función gamma debida a Weierstrass también es válida para todos los números complejos  z excepto los enteros no positivos: donde está la constante de Euler-Mascheroni . ^[1] Este es el producto de Hadamard en una forma reescrita. No se puede exagerar la utilidad de esta definición, ya que aparece en una determinada identidad que involucra a pi. ^{[ cita necesaria ]} $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},}$$ ${\displaystyle \gamma \approx 0.577216}$ ${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$

Propiedades

General

Además de la propiedad fundamental discutida anteriormente: otras ecuaciones funcionales importantes para la función gamma son la fórmula de reflexión de Euler que implica y la fórmula de duplicación de Legendre. $${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z)}$$ $${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }$$ $${\displaystyle \Gamma (z-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-z)\Gamma (1+z)}{\Gamma (n+1-z)}},\qquad n\in \mathbb {Z} }$$ $${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$$

La fórmula de duplicación es un caso especial del teorema de la multiplicación (ver  ^[9] Ec. 5.5.6): $${\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}$$

Una propiedad simple pero útil, que puede verse en la definición del límite, es: $${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .}$$

En particular, con z = a + bi , este producto es $${\displaystyle |\Gamma (a+bi)|^{2}=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}}$$

Si la parte real es un número entero o un semientero, esto se puede expresar de forma finita en forma cerrada : $${\displaystyle {\begin{aligned}|\Gamma (bi)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left(1+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left(1+n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right),\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left|\Gamma \left(-n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \\[-1ex]&\end{aligned}}}$$

Quizás el valor más conocido de la función gamma en un argumento no entero es el que se puede encontrar estableciendo las fórmulas de reflexión o duplicación, usando la relación con la función beta que se proporciona a continuación con , o simplemente haciendo la sustitución en el Definición integral de la función gamma, lo que da como resultado una integral gaussiana . En general, para valores enteros no negativos de tenemos: donde el doble factorial . Consulte Valores particulares de la función gamma para conocer los valores calculados. $${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$$ ${\textstyle z={\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle z_{1}=z_{2}={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle u={\sqrt {z}}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\[8pt]\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}n!}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle (2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots (3)(1)}$

Podría resultar tentador generalizar el resultado de que al buscar una fórmula para otros valores individuales donde sea racional, especialmente porque según el teorema digamma de Gauss , es posible hacerlo para la función digamma estrechamente relacionada en cada valor racional. Sin embargo, no se sabe que estos números sean expresables por sí mismos en términos de funciones elementales. Se ha demostrado que es un número trascendental y algebraicamente independiente de cualquier número entero y de cada una de las fracciones . ^[10] En general, al calcular los valores de la función gamma, debemos conformarnos con aproximaciones numéricas. ${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle \Gamma (r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \Gamma (r)}$ ${\displaystyle \Gamma (n+r)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle r={\frac {1}{6}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{6}}}$

Las derivadas de la función gamma se describen en términos de la función poligamma ,  ψ ⁽⁰⁾ ( z ) : Para un entero positivo  m, la derivada de la función gamma se puede calcular de la siguiente manera: $${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi ^{(0)}(z).}$$

Colores que muestran el argumento de la función gamma en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 6 + 2 i

$${\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)=m!\left(-\gamma +H(m)\right)\,,}$$donde H(m) es el número armónico m y γ es la constante de Euler-Mascheroni .

Para la derivada enésima de la función gamma es: (Esto se puede derivar diferenciando la forma integral de la función gamma con respecto a y usando la técnica de diferenciación bajo el signo integral ). ${\displaystyle \Re (z)>0}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\log t)^{n}\,dt.}$$ ${\displaystyle z}$

Usando la identidad donde es la función zeta de Riemann y es el -ésimo polinomio de Bell , tenemos en particular la expansión en serie de Laurent de la función gamma ^[11] $${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}B_{n}(\gamma ,1!\zeta (2),\ldots ,(n-1)!\zeta (n))}$$ ${\displaystyle \zeta (z)}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\frac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z-{\frac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}$$

Desigualdades

Cuando se restringe a los números reales positivos, la función gamma es una función estrictamente logarítmicamente convexa . Esta propiedad podrá expresarse de cualquiera de las tres formas equivalentes siguientes:

• Para dos números reales positivos cualesquiera y , y para cualquiera , ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ $${\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}$$
• Para dos números reales positivos cualesquiera y , y > ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ $${\displaystyle \left({\frac {\Gamma (x_{2})}{\Gamma (x_{1})}}\right)^{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}>\exp \left({\frac {\Gamma '(x_{1})}{\Gamma (x_{1})}}\right).}$$
• Para cualquier número real positivo , ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \Gamma ''(x)\Gamma (x)>\Gamma '(x)^{2}.}$$

La última de estas afirmaciones es, esencialmente por definición, la misma que la afirmación de que , donde está la función poligamma de orden 1. Para demostrar la convexidad logarítmica de la función gamma, basta observar que tiene una representación en serie que, por positivo real x , consta únicamente de términos positivos. ${\displaystyle \psi ^{(1)}(x)>0}$ ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$ ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$

La convexidad logarítmica y la desigualdad de Jensen juntas implican, para cualquier número real positivo y , ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ $${\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}$$

También existen límites en las proporciones de funciones gamma. La más conocida es la desigualdad de Gautschi , que dice que para cualquier número real positivo x y cualquier s ∈ (0, 1) , $${\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<\left(x+1\right)^{1-s}.}$$

La fórmula de Stirling.

Representación de la función gamma en el plano complejo. Cada punto está coloreado según el argumento de . También se muestra el gráfico de contorno del módulo . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle |\Gamma (z)|}$

Gráfico tridimensional del valor absoluto de la función gamma compleja

El comportamiento de para una variable real positiva creciente viene dado por la fórmula de Stirling donde el símbolo significa convergencia asintótica: la relación de los dos lados converge a 1 en el límite . ^[1] Este crecimiento es más rápido que exponencial, , para cualquier valor fijo de . ${\displaystyle \Gamma (x)}$ $${\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x},}$$ ${\displaystyle \sim }$ ${\textstyle x\to +\infty }$ ${\displaystyle \exp(\beta x)}$ ${\displaystyle \beta }$

Otro límite útil para aproximaciones asintóticas es: ${\displaystyle x\to +\infty }$ $${\displaystyle {\Gamma (x+\alpha )}\sim {\Gamma (x)x^{\alpha }},\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}$$

Al escribir el término de error como un producto infinito, se puede utilizar la fórmula de Stirling para definir la función gamma: ^[12] $${\displaystyle \Gamma \left(x\right)={\sqrt {\frac {2\pi }{x}}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x}\prod _{n=0}^{\infty }e^{-1}\left(1+{\frac {1}{x+n}}\right)^{{\frac {1}{2}}+x+n}}$$

Residuos

El comportamiento de los no positivos es más complejo. La integral de Euler no converge para , pero la función que define en el semiplano complejo positivo tiene una continuación analítica única en el semiplano negativo. Una forma de encontrar esa continuación analítica es utilizar la integral de Euler para argumentos positivos y extender el dominio a números negativos mediante la aplicación repetida de la fórmula de recurrencia, ^[1] eligiendo los que sean positivos. El producto en el denominador es cero cuando es igual a cualquiera de los números enteros . Así, la función gamma debe estar indefinida en esos puntos para evitar la división por cero ; es una función meromórfica con polos simples en los números enteros no positivos. ^[1] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Re (z)\leq 0}$ $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z+n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 0,-1,-2,\ldots }$

Para una función de una variable compleja , en un polo simple , el residuo de viene dado por: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$$

Para el polo simple reescribimos la fórmula de recurrencia como: El numerador en es y el denominador Entonces los residuos de la función gamma en esos puntos son: ^[13] La función gamma es distinta de cero en todas partes a lo largo de la línea real, aunque se acerca arbitrariamente a cero cuando z → −∞ . De hecho, no existe ningún número complejo para el cual y, por tanto, la función gamma recíproca es una función completa , con ceros en . ^[1] ${\displaystyle z=-n,}$ $${\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}$$ ${\displaystyle z=-n,}$ $${\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}$$ $${\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}$$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma (z)=0}$ ${\textstyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}$ ${\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots }$

Mínimos y máximos

En la línea real, la función gamma tiene un mínimo local en z _min ≈ +1.46163 21449 68362 34126 ^[14] donde alcanza el valor Γ( z _min ) ≈ +0.88560 31944 10888 70027 . ^[15] La función gamma se eleva a ambos lados de este mínimo. La solución a Γ( z − 0,5) = Γ( z + 0,5) es z = +1,5 y el valor común es Γ(1) = Γ(2) = +1 . La solución positiva a Γ( z − 1) = Γ( z + 1) es z = φ ≈ +1.618 , la proporción áurea , y el valor común es Γ( φ − 1) = Γ( φ + 1) = φ . ≈ +1,44922 96022 69896 60037 . ^[dieciséis]

La función gamma debe alternar el signo entre sus polos en los números enteros no positivos porque el producto en la recurrencia directa contiene un número impar de factores negativos si el número de polos entre y es impar, y un número par si el número de polos es par. . ^[13] Los valores en los extremos locales de la función gamma a lo largo del eje real entre los números enteros no positivos son: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z+n}$

Γ( −0,50408 30082 64455 40925... ^[17] ) = −3,54464 36111 55005 08912... ,

Γ( −1,57349 84731 62390 45877... ^[18] ) = 2,30240 72583 39680 13582... ,

Γ( −2,61072 08684 44144 65000... ^[19] ) = −0,88813 63584 01241 92009... ,

Γ( −3,63529 33664 36901 09783... ^[20] ) = 0,24512 75398 34366 25043... ,

Γ( −4,65323 77617 43142 44171... ^[21] ) = −0,05277 96395 87319 40076... , etc.

Representaciones integrales

Hay muchas fórmulas, además de la integral de Euler de segundo tipo, que expresan la función gamma como una integral. Por ejemplo, cuando la parte real de z es positiva, ^[22] y ^[23] donde las tres integrales se derivan respectivamente de las sustituciones , ^[24] y ^[25] en la segunda integral de Euler. La última integral en particular deja clara la conexión entre la función gamma en argumentos semienteros y la integral gaussiana : si dejamos, obtenemos . $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{zt-e^{t}}\,dt}$$ $${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt,}$$ $${\displaystyle \Gamma (z)=2\int _{0}^{\infty }t^{2z-1}e^{-t^{2}}\,dt}$$ ${\displaystyle t=e^{-x}}$ ${\displaystyle t=-\log x}$ ${\displaystyle t=x^{2}}$ ${\displaystyle z=1/2}$ ${\textstyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}=2\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt}$

La primera fórmula integral de Binet para la función gamma establece que, cuando la parte real de z es positiva, entonces: ^[26] La integral del lado derecho puede interpretarse como una transformada de Laplace . Eso es, $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}$$ $${\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {\frac {z}{2\pi }}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}$$

La segunda fórmula integral de Binet establece que, nuevamente, cuando la parte real de z es positiva, entonces: ^[27] $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}$$

Sea C un contorno de Hankel , es decir, un camino que comienza y termina en el punto ∞ de la esfera de Riemann , cuyo vector unitario tangente converge a −1 al inicio del camino y a 1 al final, que tiene el devanado número 1 alrededor 0 , y que no cruza [0, ∞) . Fije una rama de tomando una rama cortada a lo largo de [0, ∞) y tomando como real cuando t está en el eje real negativo. Supongamos que z no es un número entero. Entonces la fórmula de Hankel para la función gamma es: ^[28] donde se interpreta como . La fórmula de reflexión conduce a la expresión estrechamente relacionada que vuelve a ser válida siempre que z no sea un número entero. ${\displaystyle \log(-t)}$ ${\displaystyle \log(-t)}$ $${\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,}$$ ${\displaystyle (-t)^{z-1}}$ ${\displaystyle \exp((z-1)\log(-t))}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$$

Representación de fracción continua

La función gamma también se puede representar mediante la suma de dos fracciones continuas : ^{[29] [30]} donde . $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1{\cfrac {z-1}{2+2-z+2{\cfrac {z-2}{2+4-z+3{\cfrac {z-3}{2+6-z+4{\cfrac {z-4}{2+8-z+5{\cfrac {z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}}}}}}}\\&+\ {\cfrac {e^{-1}}{z+0-{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {1}{z+2-{\cfrac {z+1}{z+3+{\cfrac {2}{z+4-{\cfrac {z+2}{z+5+{\cfrac {3}{z+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

Expansión en serie de Fourier

El logaritmo de la función gamma tiene la siguiente expansión en serie de Fourier , que durante mucho tiempo se atribuyó a Ernst Kummer , quien la derivó en 1847. ^{[31] [32]} Sin embargo, Iaroslav Blagouchine descubrió que Carl Johan Malmsten derivó por primera vez esta serie en 1842. ^{[33] [34]} ${\displaystyle 0<z<1:}$ $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\log 2)+(1-z)\log \pi -{\frac {1}{2}}\log \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log n}{n}}\sin(2\pi nz),}$$

La fórmula de Raabe

En 1840, Joseph Ludwig Raabe demostró que , en particular, si entonces $${\displaystyle \int _{a}^{a+1}\operatorname {log\Gamma } (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +a\log a-a,\quad a>0.}$$ ${\displaystyle a=0}$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}\operatorname {log\Gamma } (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\log 2\pi .}$$

Este último se puede derivar tomando el logaritmo en la fórmula de multiplicación anterior, que da una expresión para la suma de Riemann del integrando. Tomando el límite para da la fórmula. ${\displaystyle a\to \infty }$

función pi

Una notación alternativa que fue introducida originalmente por Gauss es la función -, que, en términos de la función gamma, es tal que para todo número entero no negativo . ${\displaystyle \Pi }$ $${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt,}$$ ${\displaystyle \Pi (n)=n!}$ ${\displaystyle n}$

Usando la función pi, la fórmula de reflexión toma la forma donde sinc es la función sinc normalizada , mientras que el teorema de la multiplicación toma la forma $${\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}$$ $${\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .}$$

A veces también encontramos que es una función completa , definida para cada número complejo, al igual que la función gamma recíproca . Eso es completo implica que no tiene polos, por lo que no tiene ceros . $${\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\ ,}$$ ${\displaystyle \pi (z)}$ ${\displaystyle \Pi \left(z\right)}$ ${\displaystyle \Gamma \left(z\right)}$

El volumen de un n -elipsoide con radios r ₁ ,…, r _n se puede expresar como $${\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}$$

Relación con otras funciones

• En la primera integral anterior, que define la función gamma, los límites de integración son fijos. Las funciones gamma incompletas superior e inferior son las funciones que se obtienen al permitir que varíe el límite de integración inferior o superior (respectivamente).
• La función gamma está relacionada con la función beta mediante la fórmula $${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}.}$$
• La derivada logarítmica de la función gamma se llama función digamma ; Las derivadas superiores son las funciones poligamma .
• El análogo de la función gamma sobre un campo finito o un anillo finito son las sumas gaussianas , un tipo de suma exponencial .
• La función gamma recíproca es una función completa y se ha estudiado como un tema específico.
• La función gamma también aparece en una relación importante con la función zeta de Riemann . También aparece en la siguiente fórmula: que es válida sólo para . ${\displaystyle \zeta (z)}$ $${\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).}$$ $${\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},}$$ ${\displaystyle \Re (z)>1}$
  El logaritmo de la función gamma satisface la siguiente fórmula debida a Lerch: donde es la función zeta de Hurwitz , es la función zeta de Riemann y el primo ( ′ ) denota diferenciación en la primera variable. $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\zeta _{H}'(0,z)-\zeta '(0),}$$ ${\displaystyle \zeta _{H}}$ ${\displaystyle \zeta }$
• La función gamma está relacionada con la función exponencial estirada . Por ejemplo, los momentos de esa función son $${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}\,\mathrm {d} t={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \over \beta }\right).}$$

Valores particulares

Incluyendo hasta los primeros 20 dígitos después del punto decimal, algunos valores particulares de la función gamma son: (Estos números se pueden encontrar en la OEIS . ^{[35] [36] [37] [38] [39] [40]} Los Los valores presentados aquí están truncados en lugar de redondeados). La función gamma de valores complejos no está definida para números enteros no positivos, pero en estos casos el valor se puede definir en la esfera de Riemann como ∞ . La función gamma recíproca está bien definida y es analítica en estos valores (y en todo el plano complejo ): $${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!&=&+6\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}$$

Función log-gamma

La función analítica logΓ( z )

Debido a que las funciones gamma y factorial crecen tan rápidamente para argumentos moderadamente grandes, muchos entornos informáticos incluyen una función que devuelve el logaritmo natural de la función gamma (a menudo se le da el nombre lgammaen lngammaentornos de programación o gammalnen hojas de cálculo); esto crece mucho más lentamente y, para cálculos combinatorios, permite sumar y restar registros en lugar de multiplicar y dividir valores muy grandes. A menudo se define como ^[41] $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=-\gamma z-\log z+\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {z}{k}}-\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)\right].}$$

La función digamma , que es la derivada de esta función, también se ve comúnmente. En el contexto de aplicaciones técnicas y físicas, por ejemplo, con la propagación de ondas, la ecuación funcional $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=\operatorname {log\Gamma } (z+1)-\log z}$$

Función gamma logarítmica en el plano complejo desde −2 − 2i hasta 2 + 2i con colores

se utiliza a menudo ya que permite determinar valores de función en una franja de ancho 1 en z de la franja vecina. En particular, comenzando con una buena aproximación para  az con una parte real grande, se puede ir paso a paso hasta la  z deseada . Siguiendo una indicación de Carl Friedrich Gauss , Rocktaeschel (1922) propuso para logΓ( z ) una aproximación para Re( z ) grande : $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)\approx (z-{\tfrac {1}{2}})\log z-z+{\tfrac {1}{2}}\log(2\pi ).}$$

Esto se puede utilizar para aproximar con precisión logΓ( z ) para z con un Re( z ) más pequeño mediante (PEBöhmer, 1939) $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z-m)=\operatorname {log\Gamma } (z)-\sum _{k=1}^{m}\log(z-k).}$$

Se puede obtener una aproximación más precisa utilizando más términos de las expansiones asintóticas de logΓ( z ) y Γ( z ) , que se basan en la aproximación de Stirling. $${\displaystyle \Gamma (z)\sim z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51\,840z^{3}}}-{\frac {571}{2\,488\,320z^{4}}}\right)}$$

como | z | → ∞ en constante | arg( z ) | < π . (Ver secuencias A001163 y A001164 en OEIS ).

En una presentación más "natural": $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z)=z\log z-z-{\tfrac {1}{2}}\log z+{\tfrac {1}{2}}\log 2\pi +{\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}+o\left({\frac {1}{z^{5}}}\right)}$$

como | z | → ∞ en constante | arg( z ) | < π . (Ver secuencias A046968 y A046969 en OEIS ).

Los coeficientes de los términos con k > 1 de z ^{1− k} en la última expansión son simplemente donde los B _k son los números de Bernoulli . $${\displaystyle {\frac {B_{k}}{k(k-1)}}}$$

La función gamma también tiene una Serie de Stirling (derivada por Charles Hermite en 1900) igual a ^[42] $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (1+x)={\frac {x(x-1)}{2!}}\log(2)+{\frac {x(x-1)(x-2)}{3!}}(\log(3)-2\log(2))+\cdots ,\quad \Re (x)>0.}$$

Propiedades

El teorema de Bohr-Mollerup establece que entre todas las funciones que extienden las funciones factoriales a los números reales positivos, sólo la función gamma es log-convexa , es decir, su logaritmo natural es convexo en el eje real positivo. Otra caracterización viene dada por el teorema de Wielandt .

La función gamma es la única función que satisface simultáneamente

1. ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$,
2. ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$para todos los números complejos excepto los enteros no positivos, y, ${\displaystyle z}$
3. para entero n , para todos los números complejos . ^[1] ${\textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+z)}{\Gamma (n)\;n^{z}}}=1}$ ${\displaystyle z}$

En cierto sentido, la función log-gamma es la forma más natural; aclara algunos atributos intrínsecos de la función. Un ejemplo sorprendente es la serie de Taylor de logΓ alrededor de 1: donde ζ ( k ) denota la función zeta de Riemann en k . $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=-\gamma z+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}\,(-z)^{k}\qquad \forall \;|z|<1}$$

Entonces, usando la siguiente propiedad: podemos encontrar una representación integral para la función log-gamma: o, estableciendo z = 1 para obtener una integral para γ , podemos reemplazar el término γ con su integral e incorporarlo a la fórmula anterior, Llegar: $${\displaystyle \zeta (s)\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=-\gamma z+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-1+zt}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt}$$ $${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } (z+1)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-ze^{-t}-1+z}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt\,.}$$

También existen fórmulas especiales para el logaritmo de la función gamma para z racional . Por ejemplo, si y son números enteros con y entonces ^[43] Esta fórmula se utiliza a veces para cálculos numéricos, ya que el integrando disminuye muy rápidamente. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle k\neq n/2\,,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {log\Gamma } \left({\frac {k}{n}}\right)={}&{\frac {\,(n-2k)\log 2\pi \,}{2n}}+{\frac {1}{2}}\left\{\,\log \pi -\log \sin {\frac {\pi k}{n}}\,\right\}+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{r=1}^{n-1}{\frac {\,\gamma +\log r\,}{r}}\cdot \sin {\frac {\,2\pi rk\,}{n}}\\&{}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{-nx}\!\cdot \log x\,}{\,\cosh x-\cos(2\pi k/n)\,}}\,{\mathrm {d} }x.\end{aligned}}}$$

Integración sobre log-gamma

La integral se puede expresar en términos de la función G de Barnes ^{[44] [45]} (ver función G de Barnes para una prueba): donde Re( z ) > −1 . $${\displaystyle \int _{0}^{z}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{z}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+{\frac {z(1-z)}{2}}+z\operatorname {log\Gamma } (z)-\log G(z+1)}$$

También se puede escribir en términos de la función zeta de Hurwitz : ^{[46] [47]} $${\displaystyle \int _{0}^{z}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+{\frac {z(1-z)}{2}}-\zeta '(-1)+\zeta '(-1,z).}$$

Cuando se sigue eso y esto también es una consecuencia de la fórmula de Raabe . O. Espinosa y V. Moll derivaron una fórmula similar para la integral del cuadrado de : ^[48] donde es . ${\displaystyle z=1}$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}\operatorname {log\Gamma } (x)\,dx={\frac {1}{2}}\log(2\pi ),}$$ ${\displaystyle \operatorname {log\Gamma } }$ $${\displaystyle \int _{0}^{1}\log ^{2}\Gamma (x)dx={\frac {\gamma ^{2}}{12}}+{\frac {\pi ^{2}}{48}}+{\frac {1}{3}}\gamma L_{1}+{\frac {4}{3}}L_{1}^{2}-\left(\gamma +2L_{1}\right){\frac {\zeta ^{\prime }(2)}{\pi ^{2}}}+{\frac {\zeta ^{\prime \prime }(2)}{2\pi ^{2}}},}$$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log(2\pi )}$

DH Bailey y sus coautores ^[49] evaluaron cuándo en términos de la función zeta de Tornheim-Witten y sus derivadas. $${\displaystyle L_{n}:=\int _{0}^{1}\log ^{n}\Gamma (x)\,dx}$$ ${\displaystyle n=1,2}$

Además, también se sabe que ^[50] $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{n!}}=1.}$$

Aproximaciones

Comparación gamma (línea azul) con el factorial (puntos azules) y la aproximación de Stirling (línea roja)

Los valores complejos de la función gamma se pueden aproximar utilizando la aproximación de Stirling o la aproximación de Lanczos . Esto es preciso en el sentido de que la relación entre la aproximación y el valor verdadero se acerca a 1 en el límite como | z | va al infinito. $${\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {2\pi }}z^{z-1/2}e^{-z}\quad {\hbox{as }}z\to \infty {\hbox{ in }}\left|\arg(z)\right|<\pi .}$$

La función gamma se puede calcular con una precisión fija aplicando la integración por partes a la integral de Euler. Para cualquier número positivo  x, la función gamma se puede escribir ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)\in [1,2]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}\\&=x^{z}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}.\end{aligned}}}$$

Cuando Re( z ) ∈ [1,2] y , el valor absoluto de la última integral es menor que . Al elegir un valor lo suficientemente grande , esta última expresión se puede hacer más pequeña que cualquier valor deseado . Por lo tanto, la función gamma se puede evaluar con precisión con la serie anterior. ${\displaystyle x\geq 1}$ ${\displaystyle (x+1)e^{-x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2^{-N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

EA Karatsuba construyó un algoritmo rápido para calcular la función gamma de Euler para cualquier argumento algebraico (incluido el racional). ^{[51] [52] [53]}

Para argumentos que son múltiplos enteros de ⁠1/24⁠ , la función gamma también se puede evaluar rápidamente utilizando iteraciones de medias aritméticas-geométricas (ver valores particulares de la función gamma ). ^[54]

Implementaciones prácticas

A diferencia de muchas otras funciones, como la Distribución Normal , no se encuentra fácilmente una implementación obvia, rápida y precisa que sea fácil de implementar para la Función Gamma . Por lo tanto, vale la pena investigar posibles soluciones. En el caso de que la velocidad sea más importante que la precisión, las tablas publicadas se pueden encontrar fácilmente mediante una búsqueda en Internet, como la Biblioteca Wiley en línea. Estas tablas se pueden utilizar con interpolación lineal . Se puede obtener una mayor precisión con el uso de la interpolación cúbica a costa de una mayor sobrecarga computacional. Dado que las tablas generalmente se publican para valores de argumento entre 1 y 2, la propiedad se puede usar para traducir rápida y fácilmente todos los valores reales al rango , de modo que solo sea necesario usar valores tabulados entre 1 y 2. ^[55] ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z)}$ ${\displaystyle z<1}$ ${\displaystyle z>2}$ ${\displaystyle 1\leq z\leq 2}$ ${\displaystyle z}$

Si las tablas de interpolación no son deseables, entonces la aproximación de Lanczos mencionada anteriormente funciona bien para obtener una precisión de 1 a 2 dígitos para valores pequeños y comúnmente utilizados de z. Si la aproximación de Lanczos no es lo suficientemente precisa, se puede utilizar la fórmula de Stirling para la función gamma .

Aplicaciones

Un autor describe la función gamma como "Posiblemente, la función especial más común, o la menos 'especial' de ellas. Las otras funciones trascendentales [...] se llaman 'especiales' porque es posible evitar algunas de ellas al mantenerse alejado de muchas temas matemáticos especializados. Por otro lado, la función gamma Γ( z ) es la más difícil de evitar." ^[56]

Problemas de integración

La función gamma encuentra aplicación en campos tan diversos como la física cuántica , la astrofísica y la dinámica de fluidos . ^[57] La ​​distribución gamma , que se formula en términos de la función gamma, se utiliza en estadística para modelar una amplia gama de procesos; por ejemplo, el tiempo entre ocurrencias de terremotos. ^[58]

La razón principal de la utilidad de la función gamma en tales contextos es la prevalencia de expresiones del tipo que describen procesos que decaen exponencialmente en el tiempo o el espacio. En ocasiones, las integrales de tales expresiones se pueden resolver en términos de la función gamma cuando no existe una solución elemental. Por ejemplo, si f es una función potencia y g es una función lineal, un simple cambio de variables da la evaluación ${\displaystyle f(t)e^{-g(t)}}$ ${\displaystyle u:=a\cdot t}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{b}e^{-at}\,dt={\frac {1}{a^{b}}}\int _{0}^{\infty }u^{b}e^{-u}d\left({\frac {u}{a}}\right)={\frac {\Gamma (b+1)}{a^{b+1}}}.}$$

El hecho de que la integración se realice a lo largo de toda la línea real positiva podría significar que la función gamma describe la acumulación de un proceso dependiente del tiempo que continúa indefinidamente, o que el valor podría ser el total de una distribución en un espacio infinito.

Por supuesto, con frecuencia es útil tomar límites de integración distintos de 0 y ∞ para describir la acumulación de un proceso finito, en cuyo caso la función gamma ordinaria ya no es una solución; la solución entonces se llama función gamma incompleta . (La función gamma ordinaria, obtenida integrando toda la línea real positiva, a veces se denomina función gamma completa para contrastar).

Una categoría importante de funciones que decaen exponencialmente es la de las funciones gaussianas y sus integrales, como la función de error . Existen muchas interrelaciones entre estas funciones y la función gamma; en particular, el factor obtenido al evaluar es el "mismo" que se encuentra en el factor de normalización de la función de error y la distribución normal . $${\displaystyle ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}}}$$ ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}$

Las integrales que hemos comentado hasta ahora involucran funciones trascendentales , pero la función gamma también surge de integrales de funciones puramente algebraicas. En particular, las longitudes de arco de las elipses y de la lemniscata , que son curvas definidas por ecuaciones algebraicas, vienen dadas por integrales elípticas que en casos especiales pueden evaluarse en términos de la función gamma. La función gamma también se puede utilizar para calcular el "volumen" y el "área" de hiperesferas de n dimensiones .

Calcular productos

La capacidad de la función gamma para generalizar productos factoriales conduce inmediatamente a aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas; en combinatoria , y por extensión en áreas como la teoría de la probabilidad y el cálculo de series de potencias . Muchas expresiones que involucran productos de números enteros sucesivos se pueden escribir como alguna combinación de factoriales, siendo quizás el ejemplo más importante el del coeficiente binomial . Por ejemplo, para cualquier número complejo z y n , con | z | < 1 , podemos escribir cuál se parece mucho al coeficiente binomial cuando n es un número entero no negativo, $${\displaystyle (1+z)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+1)}{k!\Gamma (n-k+1)}}z^{k},}$$ $${\displaystyle (1+z)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}z^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}z^{k}.}$$

El ejemplo de los coeficientes binomiales motiva por qué las propiedades de la función gamma cuando se extiende a números negativos son naturales. Un coeficiente binomial indica el número de formas de elegir k elementos de un conjunto de n elementos; Si k > n , por supuesto no hay formas. Si k > n , ( n − k )! es el factorial de un entero negativo y, por tanto, infinito si utilizamos la definición de factoriales de la función gamma: dividir por infinito da el valor esperado de 0.

Podemos reemplazar el factorial por una función gamma para extender cualquier fórmula de este tipo a los números complejos. Generalmente, esto funciona para cualquier producto en el que cada factor sea una función racional de la variable índice, factorizando la función racional en expresiones lineales. Si P y Q son polinomios mónicos de grado myn con raíces respectivas p ₁ , …, p _m y q ₁ , …, q _n , tenemos $${\displaystyle \prod _{i=a}^{b}{\frac {P(i)}{Q(i)}}=\left(\prod _{j=1}^{m}{\frac {\Gamma (b-p_{j}+1)}{\Gamma (a-p_{j})}}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {\Gamma (a-q_{k})}{\Gamma (b-q_{k}+1)}}\right).}$$

Si tenemos una forma de calcular numéricamente la función gamma, es muy sencillo calcular los valores numéricos de dichos productos. El número de funciones gamma en el lado derecho depende sólo del grado de los polinomios, por lo que no importa si b − a es igual a 5 o 10 ⁵ . Al tomar los límites apropiados, también se puede hacer que la ecuación se cumpla incluso cuando el producto de la izquierda contenga ceros o polos.

Al tomar límites, ciertos productos racionales con infinitos factores también pueden evaluarse en términos de la función gamma. Debido al teorema de factorización de Weierstrass , las funciones analíticas se pueden escribir como productos infinitos y, en ocasiones, se pueden representar como productos finitos o cocientes de la función gamma. Ya hemos visto un ejemplo sorprendente: la fórmula de reflexión esencialmente representa la función seno como el producto de dos funciones gamma. A partir de esta fórmula, la función exponencial, así como todas las funciones trigonométricas e hiperbólicas, se pueden expresar en términos de la función gamma.

Se pueden representar más funciones aún, incluida la función hipergeométrica y sus casos especiales, mediante integrales de contorno complejas de productos y cocientes de la función gamma, llamadas integrales de Mellin-Barnes .

Teoría analítica de números

Una aplicación de la función gamma es el estudio de la función zeta de Riemann . Una propiedad fundamental de la función zeta de Riemann es su ecuación funcional : $${\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}.}$$

Esto proporciona, entre otras cosas, una forma explícita para la continuación analítica de la función zeta a una función meromorfa en el plano complejo y conduce a una prueba inmediata de que la función zeta tiene infinitos ceros llamados "triviales" en la recta real. Borwein et al. llama a esta fórmula "uno de los hallazgos más bellos de las matemáticas". ^[59] Otro contendiente para ese título podría ser $${\displaystyle \zeta (s)\;\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}.}$$

Ambas fórmulas fueron derivadas por Bernhard Riemann en su artículo fundamental de 1859 " Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe " ("Sobre el número de primos menores que una magnitud dada"), uno de los hitos en el desarrollo de la teoría analítica de números . Rama de las matemáticas que estudia los números primos utilizando las herramientas del análisis matemático.

Historia

La función gamma ha despertado el interés de algunos de los matemáticos más destacados de todos los tiempos. Su historia, notablemente documentada por Philip J. Davis en un artículo que le valió el Premio Chauvenet en 1963 , refleja muchos de los principales avances ocurridos en las matemáticas desde el siglo XVIII. En palabras de Davis, "cada generación ha encontrado algo interesante que decir sobre la función gamma. Quizás la próxima generación también lo haga". ^[1]

Siglo XVIII: Euler y Stirling

Carta de Daniel Bernoulli a Christian Goldbach , 6 de octubre de 1729

El problema de extender el factorial a argumentos no enteros aparentemente fue considerado por primera vez por Daniel Bernoulli y Christian Goldbach en la década de 1720. En particular, en una carta de Bernoulli a Goldbach fechada el 6 de octubre de 1729, Bernoulli introdujo la representación del producto ^[60] que está bien definida para valores reales de x distintos de los números enteros negativos. $${\displaystyle x!=\lim _{n\to \infty }\left(n+1+{\frac {x}{2}}\right)^{x-1}\prod _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k+x}}}$$

Leonhard Euler dio más tarde dos definiciones diferentes: la primera no era su integral sino un producto infinito bien definido para todos los números complejos n distintos de los enteros negativos, de lo que informó a Goldbach en una carta fechada el 13 de octubre de 1729. Le escribió a Goldbach. nuevamente el 8 de enero de 1730, para anunciar su descubrimiento de la representación integral que es válida cuando la parte real del número complejo n es estrictamente mayor que −1 (es decir, ). Por el cambio de variables t = −ln s , esto se convierte en la familiar integral de Euler. Euler publicó sus resultados en el artículo "De progresivoibus trascendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt" ("Sobre progresiones trascendentales, es decir, aquellas cuyos términos generales no pueden darse algebraicamente"), presentado a la Academia de San Petersburgo el 28 de noviembre de 1729. [ ^61] Euler descubrió además algunas de las propiedades funcionales importantes de la función gamma, incluida la fórmula de reflexión. $${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{n}}{1+{\frac {n}{k}}}}\,,}$$ $${\displaystyle n!=\int _{0}^{1}(-\log s)^{n}\,ds\,,}$$ ${\displaystyle \Re (n)>-1}$

James Stirling , contemporáneo de Euler, también intentó encontrar una expresión continua para el factorial y ideó lo que hoy se conoce como fórmula de Stirling . Aunque la fórmula de Stirling da una buena estimación de n ! , además, para números no enteros, no proporciona el valor exacto. Extensiones de su fórmula que corrigen el error fueron dadas por el propio Stirling y por Jacques Philippe Marie Binet .

Siglo XIX: Gauss, Weierstrass y Legendre

La primera página del artículo de Euler.

Carl Friedrich Gauss reescribió el producto de Euler y utilizó esta fórmula para descubrir nuevas propiedades de la función gamma. Aunque Euler fue un pionero en la teoría de variables complejas, no parece haber considerado el factorial de un número complejo, como lo hizo Gauss por primera vez. ^[62] Gauss también demostró el teorema de multiplicación de la función gamma e investigó la conexión entre la función gamma y las integrales elípticas . $${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{z}m!}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+m)}}}$$

Karl Weierstrass estableció además el papel de la función gamma en el análisis complejo , a partir de otra representación del producto, donde γ es la constante de Euler-Mascheroni . Weierstrass originalmente escribió su producto como uno para ⁠ $${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{k}},}$$1/Γ⁠ , en cuyo caso se toman los ceros de la función en lugar de sus polos. Inspirado por este resultado, demostró lo que se conoce como teorema de factorización de Weierstrass : que cualquier función completa puede escribirse como un producto de sus ceros en el plano complejo; una generalización del teorema fundamental del álgebra .

El nombre función gamma y el símbolo Γ fueron introducidos por Adrien-Marie Legendre alrededor de 1811; Legendre también reescribió la definición integral de Euler en su forma moderna. Aunque el símbolo es una gamma griega en mayúsculas, no existe un estándar aceptado sobre si el nombre de la función debe escribirse "función gamma" o "función gamma" (algunos autores simplemente escriben " Γ -función"). La notación alternativa de "función pi" Π( z ) = z ! debida a Gauss se encuentra a veces en la literatura más antigua, pero la notación de Legendre es dominante en las obras modernas.

Está justificado preguntar por qué distinguimos entre el "factorial ordinario" y la función gamma usando símbolos distintos, y particularmente por qué la función gamma debería normalizarse a Γ( n + 1) = n . en lugar de simplemente usar " Γ( n ) = n ! ". Considere que la notación para exponentes, x ⁿ , se ha generalizado desde números enteros hasta números complejos x ^z sin ningún cambio. La motivación de Legendre para la normalización no parece ser conocida, y ha sido criticada como engorrosa por algunos (el matemático del siglo XX Cornelius Lanczos , por ejemplo, la llamó "desprovista de cualquier racionalidad" y en su lugar usaría z ! ). ^[63] La normalización de Legendre simplifica algunas fórmulas, pero complica otras. Desde un punto de vista moderno, la normalización de Legendre de la función gamma es la integral del carácter aditivo e ^{− x} contra el carácter multiplicativo x ^z con respecto a la medida de Haar en el grupo de Lie R ⁺ . Así, esta normalización deja más claro que la función gamma es un análogo continuo de una suma de Gauss . ^[64] ${\textstyle {\frac {dx}{x}}}$

Siglos XIX y XX: caracterización de la función gamma

Es algo problemático que se hayan dado tantas definiciones para la función gamma. Aunque describen la misma función, no es del todo sencillo demostrar la equivalencia. Stirling nunca demostró que su fórmula extendida corresponda exactamente a la función gamma de Euler; Charles Hermite dio por primera vez una prueba en 1900. ^[65] En lugar de encontrar una prueba especializada para cada fórmula, sería deseable tener un método general para identificar la función gamma.

Una forma de demostrar la equivalencia sería encontrar una ecuación diferencial que caracterice la función gamma. La mayoría de las funciones especiales en matemáticas aplicadas surgen como soluciones de ecuaciones diferenciales, cuyas soluciones son únicas. Sin embargo, la función gamma no parece satisfacer ninguna ecuación diferencial simple. Otto Hölder demostró en 1887 que la función gamma al menos no satisface ninguna ecuación diferencial algebraica al mostrar que una solución a tal ecuación no podría satisfacer la fórmula de recurrencia de la función gamma, convirtiéndola en una función trascendentalmente trascendental . Este resultado se conoce como teorema de Hölder .

Hasta 1922 no se dio una caracterización definitiva y generalmente aplicable de la función gamma. Harald Bohr y Johannes Mollerup demostraron entonces lo que se conoce como teorema de Bohr-Mollerup : que la función gamma es la única solución de la relación de recurrencia factorial que es positiva y logarítmicamente convexa para z positiva y cuyo valor en 1 es 1 (una función es logarítmicamente convexa si su logaritmo es convexo). Otra caracterización viene dada por el teorema de Wielandt .

El teorema de Bohr-Mollerup es útil porque es relativamente fácil demostrar la convexidad logarítmica de cualquiera de las diferentes fórmulas utilizadas para definir la función gamma. Yendo más allá, en lugar de definir la función gamma mediante una fórmula particular, podemos elegir las condiciones del teorema de Bohr-Mollerup como definición y luego elegir cualquier fórmula que nos guste que satisfaga las condiciones como punto de partida para estudiar la función gamma. . Este enfoque fue utilizado por el grupo Bourbaki .

Borwein y Corless ^[66] revisan tres siglos de trabajo sobre la función gamma.

Tablas de referencia y software.

Aunque la función gamma se puede calcular prácticamente tan fácilmente como cualquier función matemáticamente más simple con una computadora moderna (incluso con una calculadora de bolsillo programable), por supuesto, este no siempre fue así. Hasta mediados del siglo XX, los matemáticos dependían de tablas hechas a mano; en el caso de la función gamma, en particular una tabla calculada por Gauss en 1813 y otra calculada por Legendre en 1825. ^[67]

Un gráfico dibujado a mano del valor absoluto de la función gamma compleja, de Tablas de funciones superiores de Jahnke y Emde  [de] .

Las tablas de valores complejos de la función gamma, así como gráficos dibujados a mano, se dieron en Tablas de funciones con fórmulas y curvas de Jahnke y Emde  [de] , publicado por primera vez en Alemania en 1909. Según Michael Berry , "la publicación en J&E de un gráfico tridimensional que muestra los polos de la función gamma en el plano complejo adquirió un estatus casi icónico." ^[68]

De hecho, había poca necesidad práctica de algo más que valores reales de la función gamma hasta la década de 1930, cuando se descubrieron aplicaciones de la función gamma compleja en la física teórica. A medida que las computadoras electrónicas estuvieron disponibles para la producción de tablas en la década de 1950, se publicaron varias tablas extensas para la función gamma compleja para satisfacer la demanda, incluida una tabla con una precisión de 12 decimales de la Oficina Nacional de Estándares de EE. UU . ^[1]

Reproducción de un famoso diagrama complejo de Janhke y Emde (Tablas de funciones con fórmulas y curvas, 4ª ed., Dover, 1945) de la función gamma de −4,5 − 2,5i a 4,5 + 2,5i

Las implementaciones de punto flotante de doble precisión de la función gamma y su logaritmo ahora están disponibles en la mayoría de los software de computación científica y bibliotecas de funciones especiales, por ejemplo TK Solver , Matlab , GNU Octave y la Biblioteca Científica GNU . La función gamma también se agregó a la biblioteca estándar de C ( math.h ). Las implementaciones de precisión arbitraria están disponibles en la mayoría de los sistemas de álgebra informática , como Mathematica y Maple . PARI/GP , MPFR y MPFUN contienen implementaciones gratuitas de precisión arbitraria. En algunas calculadoras de software , por ejemplo, la Calculadora de Windows y la Calculadora de GNOME , la función factorial devuelve Γ( x + 1) cuando la entrada x es un valor no entero. ^{[69] [70]}

Ver también

• factorial ascendente
• Integral de Cahen-Mellin
• Función gamma elíptica
• constante de gauss
• Función pseudogamma
• Función gamma de Hadamard
• Función gamma inversa
• Aproximación de Lanczos
• Función gamma múltiple
• Función gamma multivariante
• función gamma p -ádica
• Pochhammer k -símbolo
• función q -gamma
• El teorema maestro de Ramanujan
• La aproximación de Spouge
• La aproximación de Stirling

Notas

1. Davis, PJ (1959). "La integral de Leonhard Euler: un perfil histórico de la función gamma". Mensual Matemático Estadounidense . 66 (10): 849–869. doi :10.2307/2309786. JSTOR  2309786. Archivado desde el original el 7 de noviembre de 2012 . Consultado el 3 de diciembre de 2016 .
2. "¿Está mal definida la función Gamma? O: Hadamard versus Euler: ¿quién encontró la mejor función Gamma?".
3. Beals, Richard; Wong, Roderick (2010). Funciones especiales: un texto de posgrado. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 28.ISBN​ 978-1-139-49043-6.Extracto de la página 28
4. Ross, arcilla C. (2013). Ecuaciones diferenciales: una introducción a Mathematica (edición ilustrada). Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 293.ISBN​ 978-1-4757-3949-7.Expresión G.2 en la página 293
5. Kingman, JFC (1961). "Una propiedad de convexidad de matrices positivas". La Revista Trimestral de Matemáticas . 12 (1): 283–284. Código Bib : 1961QJMat..12..283K. doi :10.1093/qmath/12.1.283.
6. Weisstein, Eric W. "Teorema de Bohr-Mollerup". MundoMatemático .
7. Davis, Felipe. "La integral de Leonhard Euler: un perfil histórico de la función gamma" (PDF) . maa.org .
8. Bonvini, Marco (9 de octubre de 2010). "La función Gamma" (PDF) . Roma1.infn.it .
9. Askey, RA ; Roy, R. (2010), "Series Expansions", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.
10. Waldschmidt, M. (2006). "Trascendencia de los períodos: el estado del arte" (PDF) . Pura aplicación. Matemáticas. Cuarto . 2 (2): 435–463. doi : 10.4310/pamq.2006.v2.n2.a3 . Archivado (PDF) desde el original el 6 de mayo de 2006.
11. "¿Cómo obtener la expansión de Laurent de la función gamma alrededor de $z=0$?". Intercambio de pilas de matemáticas . Consultado el 17 de agosto de 2022 .
12. Artín, Emil (2015). La función gamma . Dover. pag. 24.
13. Weisstein, Eric W. "Función gamma". MundoMatemático .
14. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A030169 (Expansión decimal del número real x tal que y = Gamma(x) es un mínimo)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
15. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A030171 (Expansión decimal del número real y tal que y = Gamma(x) es un mínimo)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
16. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A178840 (Expansión decimal del factorial de la proporción áurea)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
17. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A175472 (Expansión decimal del valor absoluto de la abscisa del máximo local de la función Gamma en el intervalo [-1,0])". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
18. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A175473 (Expansión decimal del valor absoluto de la abscisa del mínimo local de la función Gamma en el intervalo [-2,-1])". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
19. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A175474 (Expansión decimal del valor absoluto de la abscisa del máximo local de la función Gamma en el intervalo [-3,-2])". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
20. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A256681 (Expansión decimal de la abscisa [negada] del mínimo local de la función Gamma en el intervalo [-4,-3])". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
21. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A256682 (Expansión decimal de la abscisa [negada] del máximo local de la función Gamma en el intervalo [-5,-4])". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
22. Gradshteyn, ES; Ryzhik, IM (2007). Tabla de integrales, series y productos (Séptima ed.). Prensa académica. pag. 893.ISBN​ 978-0-12-373637-6.
23. Whittaker y Watson, 12.2 ejemplo 1.
24. Detlef, Gronau. "¿Por qué la función gamma es así?" (PDF) . Imsc.uni-graz.at .
25. Pascal Sebah, Xavier Gourdon. «Introducción a la Función Gamma» (PDF) . Computación de números . Archivado desde el original (PDF) el 30 de enero de 2023 . Consultado el 30 de enero de 2023 .
26. Whittaker y Watson, 12.31.
27. Whittaker y Watson, 12.32.
28. Whittaker y Watson, 22.12.
29. "Integral exponencial E: representaciones de fracciones continuas (Fórmula 06.34.10.0005)".
30. "Integral exponencial E: representaciones de fracciones continuas (Fórmula 06.34.10.0003)".
31. Bateman, Harry; Erdélyi, Arthur (1955). Funciones trascendentales superiores . McGraw-Hill.
32. Srivastava, HM; Choi, J. (2001). Series Asociadas al Zeta y Funciones Afines . Países Bajos: Kluwer Academic.
33. Blagouchine, Iaroslav V. (2014). "Redescubrimiento de las integrales de Malmsten, su evaluación mediante métodos de integración de contornos y algunos resultados relacionados". Ramanujan J. 35 (1): 21-110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5. S2CID  120943474.
34. Blagouchine, Iaroslav V. (2016). "Erratum y Anexo a "Redescubrimiento de las integrales de Malmsten, su evaluación mediante métodos de integración de contornos y algunos resultados relacionados"". Ramanujan J. 42 ( 3): 777–781. doi :10.1007/s11139-015-9763-z. S2CID  125198685.
35. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A245886 (Expansión decimal de Gamma (-3/2), donde Gamma es la función gamma de Euler)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
36. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A019707 (Expansión decimal de sqrt(Pi)/5)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
37. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A002161 (Expansión decimal de la raíz cuadrada de Pi)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
38. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A019704 (Expansión decimal de sqrt(Pi)/2)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
39. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A245884 (Expansión decimal de Gamma (5/2), donde Gamma es la función gamma de Euler)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
40. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A245885 (Expansión decimal de Gamma (7/2), donde Gamma es la función gamma de Euler)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
41. "Función de registro gamma". Wolfram MathWorld . Consultado el 3 de enero de 2019 .
42. "Integral de Leonhard Euler: un perfil histórico de la función gamma" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 12 de septiembre de 2014 . Consultado el 11 de abril de 2022 .
43. Blagouchine, Iaroslav V. (2015). "Un teorema para la evaluación en forma cerrada de la primera constante de Stieltjes generalizada en argumentos racionales y algunas sumas relacionadas". Revista de teoría de números . 148 : 537–592. arXiv : 1401.3724 . doi :10.1016/j.jnt.2014.08.009.
44. Alexejewsky, WP (1894). "Über eine Classe von Funktionen, die der Gammafunktion analog sind" [Sobre una clase de funciones análogas a la función gamma]. Leipzig Weidmanncshe Buchhandluns . 46 : 268–275.
45. Barnes, EW (1899). "La teoría de la función G ". Cuarto de galón. J. Matemáticas . 31 : 264–314.
46. Adamchik, Víctor S. (1998). "Funciones poligamma de orden negativo". J. Computación. Aplica. Matemáticas . 100 (2): 191–199. doi : 10.1016/S0377-0427(98)00192-7 .
47. Gosper, RW (1997). " en funciones especiales, q -series y temas afines". Mermelada. Matemáticas. Soc . 14 . ${\displaystyle \textstyle \int _{n/4}^{m/6}\log F(z)\,dz}$
48. Espinosa, Olivier; Moll, Víctor H. (2002). "Sobre algunas integrales que involucran la función Hurwitz Zeta: Parte 1". El diario Ramanujan . 6 (2): 159–188. doi :10.1023/A:1015706300169. S2CID  128246166.
49. Bailey, David H.; Borwein, David; Borwein, Jonathan M. (2015). "Sobre las integrales log-gamma de Euler y las funciones zeta de Tornheim-Witten". El diario Ramanujan . 36 (1–2): 43–68. doi :10.1007/s11139-012-9427-1. S2CID  7335291.
50. Amdeberhan, T.; Coffey, Mark W.; Espinosa, Olivier; Koutschan, Christoph; Maná, Dante V.; Moll, Víctor H. (2011). "Integrales de potencias de logamma". Proc. América. Matemáticas. Soc . 139 (2): 535–545. doi : 10.1090/S0002-9939-2010-10589-0 .
51. EA Karatsuba, Evaluación rápida de funciones trascendentales. Problema. inf. Trans. Vol.27, No.4, págs. 339–360 (1991).
52. EA Karatsuba, Sobre un nuevo método para la evaluación rápida de funciones trascendentales. Ruso. Matemáticas. Sobrevivir. Vol.46, n.º 2, págs. 246–247 (1991).
53. EA Karatsuba "Algoritmos rápidos y el método FEE".
54. Borwein, JM; Zucker, IJ (1992). "Evaluación rápida de la función gamma para pequeñas fracciones racionales utilizando integrales elípticas completas de primer tipo". Revista IMA de Análisis Numérico . 12 (4): 519–526. doi :10.1093/IMANUM/12.4.519.
55. Werner, Helmut; Collinge, Robert (1961). "Aproximaciones de Chebyshev a la función gamma". Matemáticas. Computación . 15 (74): 195-197. JSTOR  2004230.
56. Michon, GP "Trigonometría y funciones básicas Archivado el 9 de enero de 2010 en Wayback Machine ". Numérica . Consultado el 5 de mayo de 2007.
57. Chaudry, MA y Zubair, SM (2001). Sobre una clase de funciones gamma incompletas con aplicaciones . pag. 37
58. Arroz, JA (1995). Estadística Matemática y Análisis de Datos (Segunda Edición). pag. 52–53
59. Borwein, J.; Bailey, DH y Girgensohn, R. (2003). Experimentación en Matemáticas . AK Peters. pag. 133.ISBN​ 978-1-56881-136-9.
60. "Interpolando el factorial natural n! o El nacimiento de la función factorial real (1729 - 1826)".
61. El artículo de Euler fue publicado en Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5, 1738, 36–57. Véase E19 - De progresivoibus trascendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt, de The Euler Archive, que incluye una copia escaneada del artículo original.
62. Remmert, R. (2006). Temas clásicos de la teoría de funciones complejas . Traducido por Kay, LD Springer. ISBN 978-0-387-98221-2.
63. Lanczos, C. (1964). "Una aproximación de precisión de la función gamma". J. SIAM Número. Anal. Ser. B . 1 (1): 86. Código bibliográfico : 1964SJNA....1...86L. doi :10.1137/0701008.
64. Ilker Inam; Engin Büyükaşşk (2019). Notas de la Escuela Internacional de Otoño sobre Teoría Computacional de Números. Saltador. pag. 205.ISBN​ 978-3-030-12558-5.Extracto de la página 205
65. Knuth, DE (1997). El arte de la programación informática, volumen 1 (algoritmos fundamentales) . Addison-Wesley.
66. Borwein, Jonathan M .; Corless, Robert M. (2017). "Gamma y Factorial en la Mensual". Mensual Matemático Estadounidense . 125 (5). Asociación Matemática de América: 400–24. arXiv : 1703.05349 . Código Bib : 2017arXiv170305349B. doi :10.1080/00029890.2018.1420983. S2CID  119324101.
67. "¿Cuál es la historia de Gamma_function?". añois.com . Consultado el 5 de noviembre de 2022 .
68. Berry, M. (abril de 2001). "¿Por qué las funciones especiales son especiales?". Física hoy .
69. "microsoft/calculadora". GitHub . Consultado el 25 de diciembre de 2020 .
70. "calculadora de gnomos". GNOME.org . Consultado el 3 de marzo de 2023 .

• Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium "Función Gamma", que tiene la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no la GFDL .

Otras lecturas

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). "Capítulo 6". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Nueva York: Dover.
• Andrews, GE ; Askey, R.; Roy, R. (1999). "Capítulo 1 (Funciones Gamma y Beta)". Funciones especiales . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78988-2.
• Artín, Emil (2006). "La función gamma". En Rosen, Michael (ed.). Exposición de Emil Artin: una selección . Historia de las Matemáticas. vol. 30. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense.
• Askey, R .; Roy, R. (2010), "Función gamma", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.
• Birkhoff, George D. (1913). "Nota sobre la función gamma". Toro. América. Matemáticas. Soc . 20 (1): 1–10. doi : 10.1090/s0002-9904-1913-02429-7 . SEÑOR  1559418.
• Böhmer, PE (1939). Differenzengleichungen und bestimmte Integrale [ Ecuaciones diferenciales e integrales definidas ]. Leipzig: Köhler Verlag.
• Davis, Philip J. (1959). "La integral de Leonhard Euler: un perfil histórico de la función gamma". Mensual Matemático Estadounidense . 66 (10): 849–869. doi :10.2307/2309786. JSTOR  2309786.
• Correo, Emil (1919). "Las funciones gamma generalizadas". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 20 (3): 202–217. doi :10.2307/1967871. JSTOR  1967871 . Consultado el 5 de marzo de 2021 .
• Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 6.1. Función Gamma". Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Rocktäschel, Oregón (1922). Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument [ Métodos para calcular la función gamma para argumentos complejos ]. Dresde: Universidad Técnica de Dresde .
• Temmé, Nico M. (1996). Funciones especiales: introducción a las funciones clásicas de la física matemática . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-11313-3.
• Whittaker, et al ; Watson, GN (1927). Un curso de análisis moderno . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-58807-2.

enlaces externos

• Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST: función gamma
• Pascal Sébah y Xavier Gourdon. Introducción a la Función Gamma . En formatos PostScript y HTML.
• Referencia de C++ para std::tgamma
• Se pueden encontrar ejemplos de problemas relacionados con la función gamma en exampleproblems.com.
• "Función gamma", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Evaluador de funciones gamma Wolfram (precisión arbitraria)
• "Gama". Sitio de funciones de Wolfram .
• Volumen de n-esferas y la función gamma en MathPages