número algebraico

Número complejo que es raíz de un polinomio distinto de cero en una variable con coeficientes racionales

La raíz cuadrada de 2 es un número algebraico igual a la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1.

Un número algebraico es un número que es raíz de un polinomio distinto de cero (de grado finito) en una variable con coeficientes enteros (o, equivalentemente, racionales ). Por ejemplo, la proporción áurea , , es un número algebraico, porque es raíz del polinomio x ² − x − 1 . Es decir, es un valor de x para el cual el polinomio se evalúa como cero. Como otro ejemplo, el número complejo es algebraico porque es raíz de x ⁴ + 4 . ${\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}$ ${\displaystyle 1+i}$

Todos los números enteros y racionales son algebraicos, al igual que todas las raíces de números enteros . Los números reales y complejos que no son algebraicos, como π y e , se denominan números trascendentales .

El conjunto de números algebraicos es contablemente infinito y tiene medida cero en la medida de Lebesgue como un subconjunto de los números complejos incontables . En ese sentido, casi todos los números complejos son trascendentales .

Ejemplos

• Todos los números racionales son algebraicos. Cualquier número racional, expresado como el cociente de un número entero a y un número natural (distinto de cero) b , satisface la definición anterior, porque x = ⁠a/b⁠ es la raíz de un polinomio distinto de cero, es decir, bx − a . ^[1]
• Los números irracionales cuadráticos , soluciones irracionales de un polinomio cuadrático ax ² + bx + c con coeficientes enteros a , b y c , son números algebraicos. Si el polinomio cuadrático es mónico ( a = 1 ), las raíces se califican además como números enteros cuadráticos .
  • Los enteros gaussianos , números complejos a + bi para los cuales a y b son números enteros, también son números enteros cuadráticos. Esto se debe a que a + bi y a − bi son las dos raíces de la cuadrática x ² − 2 ax + a ² + b ² .
• Se puede construir un número construible a partir de una unidad de longitud determinada usando una regla y un compás. Incluye todas las raíces irracionales cuadráticas, todos los números racionales y todos los números que pueden formarse a partir de ellos utilizando las operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas. (Al designar direcciones cardinales para +1, −1, + i y − i , los números complejos como los que se consideran construibles). ${\displaystyle 3+i{\sqrt {2}}}$
• Cualquier expresión formada a partir de números algebraicos utilizando cualquier combinación de operaciones aritméticas básicas y extracción de raíces n- ésimas da otro número algebraico.
• Raíces polinomiales que no se pueden expresar en términos de operaciones aritméticas básicas y extracción de raíces n- ésimas (como las raíces de x ⁵ − x + 1 ). Esto sucede con muchos , pero no con todos, los polinomios de grado 5 o superior.
• Valores de funciones trigonométricas de múltiplos racionales de π (excepto cuando no están definidos): por ejemplo, cos ⁠π/7⁠ , porque ⁠3 π/7⁠ , y porque ⁠5 π/7⁠ satisface 8 x ³ − 4 x ² − 4 x + 1 = 0 . Este polinomio es irreducible sobre los racionales y por eso los tres cosenos sonnúmeros algebraicos conjugados . Del mismo modo, broncearse ⁠3 π/dieciséis⁠ , bronceado ⁠7 π/dieciséis⁠ , bronceado ⁠11 π/dieciséis⁠ , y broncearse ⁠15 π/dieciséis⁠ satisfacen el polinomio irreducible x ⁴ − 4 x ³ − 6 x ² + 4 x + 1 = 0 , y también lo son los enteros algebraicos conjugados . Este es el equivalente de los ángulos que, medidos en grados, tienen números racionales. ^[2]
• Algunos números irracionales, pero no todos, son algebraicos:
  • Los números y son algebraicos ya que son raíces de polinomios x ² − 2 y 8 x ³ − 3 , respectivamente. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}}$
  • La proporción áurea φ es algebraica ya que es una raíz del polinomio x ² − x − 1 .
  • Los números π y e no son números algebraicos (ver el teorema de Lindemann-Weierstrass ). ^[3]

Propiedades

Números algebraicos en el plano complejo coloreados por grado (naranja brillante/rojo = 1, verde = 2, azul = 3, amarillo = 4) ^{[ se necesita más explicación ]}

• Si un polinomio con coeficientes racionales se multiplica por el mínimo común denominador , el polinomio resultante con coeficientes enteros tiene las mismas raíces. Esto muestra que un número algebraico se puede definir de manera equivalente como una raíz de un polinomio con coeficientes enteros o racionales.
• Dado un número algebraico, existe un polinomio mónico único con coeficientes racionales de menor grado que tiene el número como raíz. Este polinomio se llama polinomio mínimo . Si su polinomio mínimo tiene grado n , entonces se dice que el número algebraico es de grado n . Por ejemplo, todos los números racionales tienen grado 1, y un número algebraico de grado 2 es un irracional cuadrático .
• Los números algebraicos son densos en los reales . Esto se desprende del hecho de que contienen números racionales, que son densos en los propios reales.
• El conjunto de números algebraicos es contable (enumerable), ^{[4] [5]} y por lo tanto su medida de Lebesgue como subconjunto de los números complejos es 0 (esencialmente, los números algebraicos no ocupan espacio en los números complejos). Es decir, "casi todos" los números reales y complejos son trascendentales.
• Todos los números algebraicos son computables y por tanto definibles y aritméticos .
• Para los números reales a y b , el número complejo a + bi es algebraico si y sólo si tanto a como b son algebraicos. ^[6]

Grado de extensiones simples de los racionales como criterio de algebraicidad

Para cualquier α , la extensión simple de los racionales por α , denotada por , es de grado finito si y sólo si α es un número algebraico. ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )\equiv \{\sum _{i=-{n_{1}}}^{n_{2}}\alpha ^{i}q_{i}|q_{i}\in \mathbb {Q} ,n_{1},n_{2}\in \mathbb {N} \}}$

La condición de grado finito significa que existe un conjunto finito tal que ; es decir, cada miembro de puede escribirse como para algunos números racionales (tenga en cuenta que el conjunto es fijo). ${\displaystyle \{a_{i}|1\leq i\leq k\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )=\sum _{i=1}^{k}a_{i}\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}a_{i}q_{i}}$ ${\displaystyle \{q_{i}|1\leq i\leq k\}}$ ${\displaystyle \{a_{i}\}}$

De hecho, dado que son miembros de , cada uno puede expresarse como sumas de productos de números racionales y potencias de α y, por lo tanto, esta condición es equivalente al requisito de que para algunos finitos , . ${\displaystyle a_{i}-s}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )=\{\sum _{i=-n}^{n}\alpha ^{i}q_{i}|q_{i}\in \mathbb {Q} \}}$

La última condición es equivalente a ser miembro de , siendo expresable como para algunos racionales , entonces o, de manera equivalente, α es una raíz de ; es decir, un número algebraico con un polinomio mínimo de grado no mayor que . ${\displaystyle \alpha ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle \sum _{i=-n}^{n}\alpha ^{i}q_{i}}$ ${\displaystyle \{q_{i}\}}$ ${\displaystyle \alpha ^{2n+1}=\sum _{i=0}^{2n}\alpha ^{i}q_{i-n}}$ ${\displaystyle x^{2n+1}-\sum _{i=0}^{2n}x^{i}q_{i-n}}$ ${\displaystyle 2n+1}$

De manera similar, se puede demostrar que para cualquier conjunto finito de números algebraicos , ... , la extensión del campo tiene un grado finito. ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})}$

Campo

Números algebraicos coloreados por grado (azul = 4, cian = 3, rojo = 2, verde = 1). El círculo unitario es negro. ^{[ Se necesita más explicación ]}

La suma, diferencia, producto y cociente (si el denominador es distinto de cero) de dos números algebraicos es nuevamente algebraico:

Para dos números algebraicos cualesquiera α , β , esto se sigue directamente del hecho de que la extensión simple , por ser , o (para ) , es un subespacio lineal de la extensión del campo de grado finito y, por lo tanto , tiene un grado finito en sí misma, de lo cual se deduce (como se muestra arriba) que es algebraico. ${\displaystyle \mathbb {Q} (\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ${\displaystyle \alpha -\beta }$ ${\displaystyle \alpha \beta }$ ${\displaystyle \beta \neq 0}$ ${\displaystyle \alpha /\beta }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \gamma }$

Una forma alternativa de mostrar esto es de manera constructiva, utilizando la resultante .

Los números algebraicos forman así un campo ^[7] (a veces denotado por , pero que normalmente denota el anillo de Adele ). ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$

cierre algebraico

Cada raíz de una ecuación polinómica cuyos coeficientes son números algebraicos es nuevamente algebraica. Esto se puede reformular diciendo que el cuerpo de los números algebraicos es algebraicamente cerrado . De hecho, es el campo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene los racionales y por eso se llama cierre algebraico de los racionales.

Que el cuerpo de los números algebraicos es algebraicamente cerrado se puede demostrar de la siguiente manera: Sea β una raíz de un polinomio con coeficientes que son números algebraicos , , ... . La extensión del campo tiene entonces un grado finito con respecto a . La extensión simple tiene entonces un grado finito con respecto a (ya que todas las potencias de β pueden expresarse mediante potencias de hasta ). Por tanto, también tiene un grado finito con respecto a . Como es un subespacio lineal de , también debe tener un grado finito con respecto a , por lo que β debe ser un número algebraico. ${\displaystyle \alpha _{0}+\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}...+\alpha _{n}x^{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }\equiv \mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta ^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )=\mathbb {Q} (\beta ,\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\beta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Campos relacionados

Números definidos por radicales

Cualquier número que se pueda obtener a partir de números enteros usando un número finito de sumas , restas , multiplicaciones , divisiones y tomando raíces n (posiblemente complejas) donde n es un número entero positivo es algebraico. Sin embargo, lo contrario no es cierto: hay números algebraicos que no se pueden obtener de esta manera. Estos números son raíces de polinomios de grado 5 o superior, resultado de la teoría de Galois (ver Ecuaciones quínticas y el teorema de Abel-Ruffini ). Por ejemplo, la ecuación:

${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

tiene una raíz real única que no puede expresarse únicamente en términos de radicales y operaciones aritméticas.

Número de forma cerrada

Los números algebraicos son todos los números que pueden definirse explícita o implícitamente en términos de polinomios, comenzando por los números racionales. Se puede generalizar esto a los " números de forma cerrada ", que pueden definirse de varias maneras. En términos más generales, todos los números que pueden definirse explícita o implícitamente en términos de polinomios, exponenciales y logaritmos se denominan " números elementales ", y estos incluyen los números algebraicos, además de algunos números trascendentales. En términos más estrictos, se pueden considerar números definidos explícitamente en términos de polinomios, exponenciales y logaritmos; esto no incluye todos los números algebraicos, pero sí algunos números trascendentales simples como e o ln 2 .

Enteros algebraicos

Números algebraicos coloreados por el coeficiente principal (el rojo significa 1 para un número entero algebraico) ^{[ se necesita más explicación ]}

Un número entero algebraico es un número algebraico que es raíz de un polinomio con coeficientes enteros con coeficiente principal 1 (un polinomio mónico ). Ejemplos de números enteros algebraicos son y Por lo tanto, los números enteros algebraicos constituyen un superconjunto propio de los números enteros , ya que estos últimos son las raíces de polinomios mónicos x − k para todos . En este sentido, los números enteros algebraicos son para los números algebraicos lo que los enteros son para los números racionales . ${\displaystyle 5+13{\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle 2-6i,}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+i{\sqrt {3}}).}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$

La suma, diferencia y producto de números enteros algebraicos son nuevamente números enteros algebraicos, lo que significa que los números enteros algebraicos forman un anillo . El nombre entero algebraico proviene del hecho de que los únicos números racionales que son enteros algebraicos son los números enteros, y porque los enteros algebraicos en cualquier campo numérico son en muchos sentidos análogos a los números enteros. Si K es un campo numérico, su anillo de números enteros es el subanillo de números enteros algebraicos en K , y frecuentemente se denota como O _K. Estos son los ejemplos prototípicos de dominios de Dedekind .

clases especiales

• solución algebraica
• entero gaussiano
• Entero de Eisenstein
• Número irracional cuadrático
• Unidad fundamental
• Raíz de la unidad
• período gaussiano
• Número de Pisot-Vijayaraghavan
• número de salem

Notas

1. Algunos de los siguientes ejemplos provienen de Hardy & Wright (1972, págs. 159–160, 178–179)
2. Garibaldi 2008.
3. Además, el teorema de Liouville se puede utilizar para "producir tantos ejemplos de números trascendentales como queramos", cf. Hardy y Wright (1972, pág. 161 y siguientes)
4. Hardy y Wright 1972, pág. 160, 2008:205.
5. Niven 1956, Teorema 7.5.
6. Niven 1956, Corolario 7.3.
7. Niven 1956, pág. 92.

Referencias

• Artin, Michael (1991), Álgebra , Prentice Hall, ISBN 0-13-004763-5, señor  1129886
• Garibaldi, Skip (junio de 2008), "Algo más de lo que los gobernadores necesitan saber sobre trigonometría", Revista de Matemáticas , 81 (3): 191–200, doi :10.1080/0025570x.2008.11953548, JSTOR  27643106
• Hardy, Godfrey Harold ; Wright, Edward M. (1972), Introducción a la teoría de números (5ª ed.), Oxford: Clarendon, ISBN 0-19-853171-0
• Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990) [1ª ed. 1982], Introducción clásica a la teoría de números moderna (2ª ed.), Berlín: Springer, doi :10.1007/978-1-4757-2103-4, ISBN 0-387-97329-X, señor  1070716
• Lang, Serge (2002) [1ª ed. 1965], Álgebra (3.ª ed.), Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-95385-4, señor  1878556
• Niven, Ivan M. (1956), Números irracionales , Asociación Matemática de América
• Ore, Øystein (1948), La teoría de números y su historia , Nueva York: McGraw-Hill