Función G de Barnes

Gráfico de la función gamma doble G(z) de Barnes G en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

La función Barnes G a lo largo de parte del eje real

En matemáticas , la función G de Barnes G ( z ) es una función que es una extensión de los superfactoriales a los números complejos . Está relacionado con la función gamma , la función K y la constante de Glaisher-Kinkelin , y lleva el nombre del matemático Ernest William Barnes . ^[1] Puede escribirse en términos de la función doble gamma .

Formalmente, la función Barnes G se define en la siguiente forma de producto de Weierstrass :

${\displaystyle G(1+z)=(2\pi )^{z/2}\exp \left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}$

donde es la constante de Euler-Mascheroni , exp ( x ) = e ^x es la función exponencial y Π denota multiplicación ( notación pi mayúscula ). ${\displaystyle \,\gamma }$

La representación integral, que se puede deducir de la relación con la función gamma doble , es

${\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[{\frac {1-e^{-zt}}{4\sinh ^{2}{\frac {t}{2}}}}+{\frac {z^{2}}{2}}e^{-t}-{\frac {z}{t}}\right]}$

Como función completa , G es de orden dos y de tipo infinito. Esto se puede deducir de la expansión asintótica que se muestra a continuación.

Ecuación funcional y argumentos enteros.

La función Barnes G satisface la ecuación funcional.

${\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)\,G(z)}$

con normalización G (1) = 1. Tenga en cuenta la similitud entre la ecuación funcional de la función G de Barnes y la de la función gamma de Euler :

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).}$

La ecuación funcional implica que G toma los siguientes valores en argumentos enteros :

${\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\text{if }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\text{if }}n=1,2,\dots \end{cases}}}$

(en particular, ) y por lo tanto ${\displaystyle \,G(0)=0,G(1)=1}$

${\displaystyle G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}}$

donde denota la función gamma y K denota la función K. La ecuación funcional define de forma única la función G de Barnes si la condición de convexidad, ${\displaystyle \,\Gamma (x)}$

${\displaystyle (\forall x\geq 1)\,{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}\log(G(x))\geq 0}$

está agregado. ^[2] Además, la función G de Barnes satisface la fórmula de duplicación, ^[3]

${\displaystyle G(x)G\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}G(x+1)=e^{\frac {1}{4}}A^{-3}2^{-2x^{2}+3x-{\frac {11}{12}}}\pi ^{x-{\frac {1}{2}}}G\left(2x\right)}$,

¿Dónde está la constante de Glaisher-Kinkelin ? ${\displaystyle A}$

Caracterización

De manera similar al teorema de Bohr-Mollerup para la función gamma , para una constante , tenemos para ^[4] ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle f(x)=cG(x)}$

${\displaystyle f(x+1)=\Gamma (x)f(x)}$

y para ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x+n)\sim \Gamma (x)^{n}n^{x \choose 2}f(n)}$

como . ${\displaystyle n\to \infty }$

Fórmula de reflexión

La ecuación en diferencias para la función G, junto con la ecuación funcional para la función gamma , se puede utilizar para obtener la siguiente fórmula de reflexión para la función G de Barnes (probada originalmente por Hermann Kinkelin ):

${\displaystyle \log G(1-z)=\log G(1+z)-z\log 2\pi +\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx.}$

La integral log-tangente del lado derecho se puede evaluar en términos de la función de Clausen (de orden 2), como se muestra a continuación:

${\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}$

La prueba de este resultado depende de la siguiente evaluación de la integral cotangente: introduciendo la notación para la integral log-cotangente, y utilizando el hecho de que , una integración por partes da ${\displaystyle \operatorname {Lc} (z)}$ ${\displaystyle \,(d/dx)\log(\sin \pi x)=\pi \cot \pi x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Lc} (z)&=\int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(\sin \pi x)\,dx\\&=z\log(\sin \pi z)-\int _{0}^{z}{\Bigg [}\log(2\sin \pi x)-\log 2{\Bigg ]}\,dx\\&=z\log(2\sin \pi z)-\int _{0}^{z}\log(2\sin \pi x)\,dx.\end{aligned}}}$

Al realizar la sustitución integral se obtiene ${\displaystyle \,y=2\pi x\Rightarrow dx=dy/(2\pi )}$

${\displaystyle z\log(2\sin \pi z)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi z}\log \left(2\sin {\frac {y}{2}}\right)\,dy.}$

La función de Clausen – de segundo orden – tiene la representación integral

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log {\Bigg |}2\sin {\frac {x}{2}}{\Bigg |}\,dx.}$

Sin embargo, dentro del intervalo , se puede omitir el signo del valor absoluto dentro del integrando , ya que dentro del rango la función 'medio seno' en la integral es estrictamente positiva y estrictamente distinta de cero. Comparando esta definición con el resultado anterior para la integral logtangente, se cumple claramente la siguiente relación: ${\displaystyle \,0<\theta <2\pi }$

${\displaystyle \operatorname {Lc} (z)=z\log(2\sin \pi z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z).}$

Así, tras una ligera reordenación de términos, la demostración está completa:

${\displaystyle 2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)=2\pi z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)\,.\,\Box }$

Usando la relación y dividiendo la fórmula de reflexión por un factor de se obtiene la forma equivalente: ${\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)}$ ${\displaystyle \,2\pi }$

${\displaystyle \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)=z\log \left({\frac {\sin \pi z}{\pi }}\right)+\log \Gamma (z)+{\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)}$

Adamchik (2003) ha dado una forma equivalente de la fórmula de reflexión , pero con una demostración diferente. ^[5]

Reemplazar z con ⁠1/2⁠  −  z en la fórmula de reflexión anterior da, después de cierta simplificación, la fórmula equivalente que se muestra a continuación (que involucra polinomios de Bernoulli ):

${\displaystyle \log \left({\frac {G\left({\frac {1}{2}}+z\right)}{G\left({\frac {1}{2}}-z\right)}}\right)=\log \Gamma \left({\frac {1}{2}}-z\right)+B_{1}(z)\log 2\pi +{\frac {1}{2}}\log 2+\pi \int _{0}^{z}B_{1}(x)\tan \pi x\,dx}$

Expansión de la serie de Taylor

Por el teorema de Taylor , y considerando las derivadas logarítmicas de la función de Barnes, se puede obtener la siguiente expansión en serie:

${\displaystyle \log G(1+z)={\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}.}$

Es válido para . Aquí está la función zeta de Riemann : ${\displaystyle \,0<z<1}$ ${\displaystyle \,\zeta (x)}$

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$

Exponenciando ambos lados de la expansión de Taylor se obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(1+z)&=\exp \left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -\left({\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right)+\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]\\&=(2\pi )^{z/2}\exp \left[-{\frac {z+(1+\gamma )z^{2}}{2}}\right]\exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right].\end{aligned}}}$

Comparando esto con la forma del producto de Weierstrass de la función de Barnes se obtiene la siguiente relación:

${\displaystyle \exp \left[\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k+1}}z^{k+1}\right]=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}\exp \left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}}$

Fórmula de multiplicación

Al igual que la función gamma, la función G también tiene una fórmula de multiplicación: ^[6]

${\displaystyle G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right)}$

donde es una constante dada por: ${\displaystyle K(n)}$

${\displaystyle K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.}$

Aquí está la derivada de la función zeta de Riemann y es la constante de Glaisher-Kinkelin . ${\displaystyle \zeta ^{\prime }}$ ${\displaystyle A}$

Valor absoluto

Es cierto que , por tanto . A partir de esta relación y de la forma del producto Weierstrass presentada anteriormente, se puede demostrar que ${\displaystyle G({\overline {z}})={\overline {G(z)}}}$ ${\displaystyle |G(z)|^{2}=G(z)G({\overline {z}})}$

${\displaystyle |G(x+iy)|=|G(x)|\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {1+{\frac {y^{2}}{x^{2}}}}}{\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{(x+k)^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}.}$

Esta relación es válida para arbitrario y . Si es así , entonces la siguiente fórmula es válida: ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0,-1,-2,\dots \}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle |G(iy)|=y\exp \left(y^{2}{\frac {1+\gamma }{2}}\right){\sqrt {\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {y^{2}}{k^{2}}}\right)^{k+1}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{k}}\right)}}}$

para realidad arbitraria y .

Expansión asintótica

El logaritmo de G ( z + 1) tiene la siguiente expansión asintótica, según lo establecido por Barnes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\log G(z+1)={}&{\frac {z^{2}}{2}}\log z-{\frac {3z^{2}}{4}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {1}{12}}\log z\\&{}+\left({\frac {1}{12}}-\log A\right)+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k+2}}{4k\left(k+1\right)z^{2k}}}~+~O\left({\frac {1}{z^{2N+2}}}\right).\end{aligned}}}$

Aquí están los números de Bernoulli y la constante de Glaisher-Kinkelin . (Tenga en cuenta que, de manera algo confusa, en la época de Barnes ^[7] el número de Bernoulli se habría escrito como , pero esta convención ya no está vigente). Esta expansión es válida en cualquier sector que no contenga el eje real negativo con grande. ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{2k}}$ ${\displaystyle (-1)^{k+1}B_{k}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|}$

Relación con la integral log-gamma

El log-gamma paramétrico se puede evaluar en términos de la función G de Barnes: ^[5]

${\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)}$

La prueba es algo indirecta e implica considerar primero la diferencia logarítmica de la función gamma y la función G de Barnes:

${\displaystyle z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)}$

dónde

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)e^{-z/k}\right\}}$

y es la constante de Euler-Mascheroni . ${\displaystyle \,\gamma }$

Tomando el logaritmo de las formas del producto de Weierstrass de la función G de Barnes y la función gamma se obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}&z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)=-z\log \left({\frac {1}{\Gamma (z)}}\right)-\log G(1+z)\\[5pt]={}&{-z}\left[\log z+\gamma z+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z}{k}}{\Bigg \}}\right]\\[5pt]&{}-\left[{\frac {z}{2}}\log 2\pi -{\frac {z}{2}}-{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}k\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)+{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\right]\end{aligned}}}$

Una pequeña simplificación y reordenamiento de los términos da como resultado la expansión de la serie:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\\[5pt]={}&{-z}\log z-{\frac {z}{2}}\log 2\pi +{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-z\log \Gamma (z)+\log G(1+z)\end{aligned}}}$

Finalmente, tome el logaritmo de la forma del producto de Weierstrass de la función gamma e integre en el intervalo para obtener: ${\displaystyle \,[0,\,z]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx=-\int _{0}^{z}\log \left({\frac {1}{\Gamma (x)}}\right)\,dx\\[5pt]={}&{-(z\log z-z)}-{\frac {z^{2}\gamma }{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\Bigg \{}(k+z)\log \left(1+{\frac {z}{k}}\right)-{\frac {z^{2}}{2k}}-z{\Bigg \}}\end{aligned}}}$

La equiparación de las dos evaluaciones completa la prueba:

${\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi +z\log \Gamma (z)-\log G(1+z)}$

Y desde entonces, ${\displaystyle \,G(1+z)=\Gamma (z)\,G(z)}$

${\displaystyle \int _{0}^{z}\log \Gamma (x)\,dx={\frac {z(1-z)}{2}}+{\frac {z}{2}}\log 2\pi -(1-z)\log \Gamma (z)-\log G(z)\,.}$

Referencias

1. EW Barnes, "La teoría de la función G", Quarterly Journ. Puro y Appl. Matemáticas. 31 (1900), 264–314.
2. MF Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL ${\displaystyle (2,\mathbb {Z} )}$ , Astérisque 61 , 235-249 (1979).
3. Parque, Junesang (1996). "Una fórmula de duplicación para la función doble gamma $Gamma_2$". Boletín de la Sociedad Matemática de Corea . 33 (2): 289–294.
4. Marichal, Jean Luc. Una generalización del teorema de Bohr-Mollerup para funciones convexas de orden superior (PDF) . Saltador. pag. 218.
5. Adamchik, Viktor S. (2003). "Contribuciones a la Teoría de la función de Barnes". arXiv : matemáticas/0308086 .
6. I. Vardi, Determinantes de laplacianos y funciones gamma múltiples , SIAM J. Math. Anal. 19 , 493–507 (1988).
7. ET Whittaker y GN Watson , " Un curso de análisis moderno ", CUP.

• Askey, RA; Roy, R. (2010), "Función G de Barnes", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.