Generalización de la función gamma de Euler y la función G de Barnes
En matemáticas, la función gamma múltiple es una generalización de la función gamma de Euler y de la función G de Barnes . La función gamma doble fue estudiada por Barnes (1901). Al final de este artículo mencionó la existencia de múltiples funciones gamma que la generalizan, y las estudió más a fondo en Barnes (1904).
Las funciones gamma dobles están estrechamente relacionadas con la función q-gamma , y las funciones gamma triples están relacionadas con la función gamma elíptica .
Definición
Para , dejar
donde es la función zeta de Barnes . (Esto difiere en una constante de la definición original de Barnes).
Propiedades
Considerada como una función meromórfica de , no tiene ceros. Tiene polos en para números enteros no negativos . Estos polos son simples a menos que algunos de ellos coincidan. Hasta la multiplicación por la exponencial de un polinomio, es la única función meromórfica de orden finito con estos ceros y polos.
En el caso de la función Gamma doble, se conoce el comportamiento asintótico para y el factor principal es [1]
Representación infinita de productos
La función gamma múltiple tiene una representación de producto infinito que hace manifiesto que es meromórfica, y que también hace manifiesto las posiciones de sus polos. En el caso de la función gamma doble, esta representación es [2]
^ ab Alexanian, Shahen; Kuznetsov, Alexey (29 de agosto de 2022). "Sobre la función doble gamma de Barnes". arXiv : 2208.13876v1 [math.NT].
^ ab Spreafico, Mauro (2009). "Sobre las funciones dobles zeta y gamma de Barnes". Journal of Number Theory . 129 (9): 2035–2063. doi : 10.1016/j.jnt.2009.03.005 .
^ Ponsot, B. Avances recientes en la teoría de campos de Liouville (Tesis). arXiv : hep-th/0301193 . Bibcode :2003PhDT.......180P.
Lectura adicional
Barnes, EW (1899), "La génesis de las funciones gamma dobles", Proc. London Math. Soc. , s1-31: 358–381, doi :10.1112/plms/s1-31.1.358
Barnes, EW (1899), "La teoría de la función gamma doble", Actas de la Royal Society de Londres , 66 (424–433): 265–268, doi :10.1098/rspl.1899.0101, ISSN 0370-1662, JSTOR 116064, S2CID 186213903
Barnes, EW (1901), "La teoría de la función gamma doble", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático o físico , 196 (274–286): 265–387, Bibcode :1901RSPTA.196..265B, doi :10.1098/rsta.1901.0006, ISSN 0264-3952, JSTOR 90809
Barnes, EW (1904), "Sobre la teoría de la función gamma múltiple", Trans. Camb. Philos. Soc. , 19 : 374–425
Friedman, Eduardo; Ruijsenaars, Simon (2004), "Funciones Shintani-Barnes zeta y gamma", Avances en Matemáticas , 187 (2): 362–395, doi :10.1016/j.aim.2003.07.020, ISSN 0001-8708, SEÑOR 2078341
Ruijsenaars, SNM (2000), "Sobre las múltiples funciones zeta y gamma de Barnes", Avances en Matemáticas , 156 (1): 107–132, doi : 10.1006/aima.2000.1946 , ISSN 0001-8708, SEÑOR 1800255