Integral trigonométrica

Gráfico de la función integral seno hiperbólica Shi(z) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

Función especial definida por una integral

Si( x ) (azul) y Ci( x ) (verde) trazados en el mismo gráfico.

Seno integral en el plano complejo, trazado con una variante de coloración de dominio .

Coseno integral en el plano complejo. Observe la rama cortada a lo largo del eje real negativo.

En matemáticas , las integrales trigonométricas son una familia de integrales no elementales que involucran funciones trigonométricas .

Integral seno

Gráfica de Si( x ) para 0 ≤ x ≤ 8 π .

Gráfica de la función integral coseno Ci( z ) en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

Las diferentes definiciones de integral seno son $${\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}$$ $${\displaystyle \operatorname {si} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt~.}$$

Tenga en cuenta que el integrando es la función sinc , y también la función esférica cero de Bessel . Dado que sinc es una función entera par ( holomórfica en todo el plano complejo), Si es entero, impar y la integral en su definición se puede tomar a lo largo de cualquier camino que conecte los puntos finales. ${\displaystyle {\frac {\sin(t)}{t}}}$

Por definición, Si( x ) es la antiderivada de sin x / x cuyo valor es cero en x = 0 , y si( x ) es la antiderivada cuyo valor es cero en x = ∞ . Su diferencia está dada por la integral de Dirichlet , $${\displaystyle \operatorname {Si} (x)-\operatorname {si} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ or }}\quad \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}+\operatorname {si} (x)~.}$$

En el procesamiento de señales , las oscilaciones de la integral sinusoidal causan sobreimpulsos y artefactos de timbre cuando se usa el filtro sinc , y timbres en el dominio de frecuencia si se usa un filtro sinc truncado como filtro de paso bajo .

Relacionado está el fenómeno de Gibbs : si se considera la integral seno como la convolución de la función sinc con la función escalón heaviside , esto corresponde a truncar la serie de Fourier , que es la causa del fenómeno de Gibbs.

Integral de coseno

Gráfica de Ci( x ) para 0 < x ≤ 8 π .

Las diferentes definiciones de integral de coseno son donde γ ≈ 0,57721566... ​​es la constante de Euler-Mascheroni . Algunos textos utilizan ci en lugar de Ci . $${\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt~,}$$ $${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt=\gamma +\ln x-\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,}$$

Ci( x ) es la antiderivada de cos x / x (que desaparece como ). Las dos definiciones están relacionadas por ${\displaystyle x\to \infty }$ $${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Cin} (x)~.}$$

Cin es una función uniforme y completa . Por esa razón, algunos textos tratan a Cin como la función principal y derivan Ci en términos de Cin .

Integral del seno hiperbólico

La integral del seno hiperbólico se define como $${\displaystyle \operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh(t)}{t}}\,dt.}$$

Está relacionado con la integral seno ordinaria por $${\displaystyle \operatorname {Si} (ix)=i\operatorname {Shi} (x).}$$

Integral de coseno hiperbólico

La integral del coseno hiperbólico es

Gráfico de la función integral del coseno hiperbólico Chi(z) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

$${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,}$$¿Dónde está la constante de Euler-Mascheroni ? ${\displaystyle \gamma }$

Tiene la expansión de la serie. $${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln(x)+{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x^{4}}{96}}+{\frac {x^{6}}{4320}}+{\frac {x^{8}}{322560}}+{\frac {x^{10}}{36288000}}+O(x^{12}).}$$

Funciones auxiliares

Las integrales trigonométricas pueden entenderse en términos de las llamadas "funciones auxiliares". Usando estas funciones, las integrales trigonométricas pueden reexpresarse como (cf. Abramowitz & Stegun, p. 232) $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}\,dt&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&\operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)~,\\g(x)&\equiv &\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}\,dt&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}\,dt&=&-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)~.\end{array}}}$$ $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)=-\operatorname {si} (x)&=&f(x)\cos(x)+g(x)\sin(x)~,\qquad {\text{ and }}\\\operatorname {Ci} (x)&=&f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x)~.\\\end{array}}}$$

La espiral de Nielsen

La espiral de Nielsen.

La espiral formada por el gráfico paramétrico de si, ci se conoce como espiral de Nielsen. $${\displaystyle x(t)=a\times \operatorname {ci} (t)}$$ $${\displaystyle y(t)=a\times \operatorname {si} (t)}$$

La espiral está estrechamente relacionada con las integrales de Fresnel y la espiral de Euler . La espiral de Nielsen tiene aplicaciones en el procesamiento de la visión, la construcción de carreteras y vías y otras áreas. ^[1]

Expansión

Se pueden utilizar varias expansiones para la evaluación de integrales trigonométricas, según el rango del argumento.

Serie asintótica (para argumentos amplios)

$${\displaystyle \operatorname {Si} (x)\sim {\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)\sim {\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+{\frac {4!}{x^{4}}}-{\frac {6!}{x^{6}}}\cdots \right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+{\frac {5!}{x^{5}}}-{\frac {7!}{x^{7}}}\cdots \right)~.}$$

Estas series son asintóticas y divergentes, aunque pueden usarse para estimaciones e incluso evaluaciones precisas en ℜ( x ) ≫ 1 .

Serie convergente

$${\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots }$$ $${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots }$$

Estas series son convergentes en cualquier complejo x , aunque para | x | ≫ 1 , la serie convergerá lentamente inicialmente, lo que requerirá muchos términos para una alta precisión.

Derivación de la expansión en serie.

De la expansión del seno en serie de Maclaurin: $${\displaystyle \sin \,x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-{\frac {x^{11}}{11!}}+\cdots }$$

$${\displaystyle {\frac {\sin \,x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{9!}}-{\frac {x^{10}}{11!}}+\cdots }$$

$${\displaystyle \therefore \int {\frac {\sin \,x}{x}}dx=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+{\frac {x^{9}}{9!\cdot 9}}-{\frac {x^{11}}{11!\cdot 11}}+\cdots }$$

Relación con la integral exponencial del argumento imaginario

La función se llama integral exponencial . Está estrechamente relacionado con Si y Ci , $${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,dt\qquad ~{\text{ for }}~\Re (z)\geq 0}$$ $${\displaystyle \operatorname {E} _{1}(ix)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+\operatorname {Si} (x)\right)-\operatorname {Ci} (x)=i\operatorname {si} (x)-\operatorname {ci} (x)\qquad ~{\text{ for }}~x>0~.}$$

Como cada función respectiva es analítica, excepto el corte en valores negativos del argumento, el área de validez de la relación debe extenderse a (Fuera de este rango, en la expresión aparecen términos adicionales que son factores enteros de π ).

Los casos de argumento imaginario de la función integroexponencial generalizada son cuál es la parte real de $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }\cos(ax){\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(-a^{2})^{n}}{(2n)!(2n)^{2}}}~,}$$ $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x}}\,dx=-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-{\frac {\pi }{2}}i\left(\gamma +\ln a\right)+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n}}{n!n^{2}}}~.}$$

Similarmente $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }e^{iax}{\frac {\ln x}{x^{2}}}\,dx=1+ia\left[-{\frac {\pi ^{2}}{24}}+\gamma \left({\frac {\gamma }{2}}+\ln a-1\right)+{\frac {\ln ^{2}a}{2}}-\ln a+1\right]+{\frac {\pi a}{2}}{\Bigl (}\gamma +\ln a-1{\Bigr )}+\sum _{n\geq 1}{\frac {(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^{2}}}~.}$$

Evaluación eficiente

Las aproximaciones de Padé de la serie de Taylor convergente proporcionan una forma eficiente de evaluar funciones para argumentos pequeños. Las siguientes fórmulas, dadas por Rowe et al. (2015), ^[2] tienen una precisión mejor que 10 ⁻¹⁶ para 0 ≤ x ≤ 4 , $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\operatorname {Si} (x)&\approx &x\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1-4.54393409816329991\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+1.15457225751016682\cdot 10^{-3}\cdot x^{4}-1.41018536821330254\cdot 10^{-5}\cdot x^{6}\\~~~+9.43280809438713025\cdot 10^{-8}\cdot x^{8}-3.53201978997168357\cdot 10^{-10}\cdot x^{10}+7.08240282274875911\cdot 10^{-13}\cdot x^{12}\\~~~-6.05338212010422477\cdot 10^{-16}\cdot x^{14}\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.01162145739225565\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+4.99175116169755106\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+1.55654986308745614\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+3.28067571055789734\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+4.5049097575386581\cdot 10^{-13}\cdot x^{10}+3.21107051193712168\cdot 10^{-16}\cdot x^{12}\end{array}}}\right)\\&~&\\\operatorname {Ci} (x)&\approx &\gamma +\ln(x)+\\&&x^{2}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}-0.25+7.51851524438898291\cdot 10^{-3}\cdot x^{2}-1.27528342240267686\cdot 10^{-4}\cdot x^{4}+1.05297363846239184\cdot 10^{-6}\cdot x^{6}\\~~~-4.68889508144848019\cdot 10^{-9}\cdot x^{8}+1.06480802891189243\cdot 10^{-11}\cdot x^{10}-9.93728488857585407\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\\end{array}}{\begin{array}{l}1+1.1592605689110735\cdot 10^{-2}\cdot x^{2}+6.72126800814254432\cdot 10^{-5}\cdot x^{4}+2.55533277086129636\cdot 10^{-7}\cdot x^{6}\\~~~+6.97071295760958946\cdot 10^{-10}\cdot x^{8}+1.38536352772778619\cdot 10^{-12}\cdot x^{10}+1.89106054713059759\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\~~~+1.39759616731376855\cdot 10^{-18}\cdot x^{14}\\\end{array}}}\right)\end{array}}}$$

Las integrales se pueden evaluar indirectamente mediante funciones auxiliares y , que están definidas por ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

Para las funciones racionales de Padé que se dan a continuación son aproximadas y con un error menor que 10 ⁻¹⁶ : ^[2] ${\displaystyle x\geq 4}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&\approx &{\dfrac {1}{x}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+7.44437068161936700618\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.96396372895146869801\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.37750310125431834034\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+1.43073403821274636888\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.33736238870432522765\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+6.40533830574022022911\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+4.20968180571076940208\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.00795182980368574617\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+4.94816688199951963482\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\~~~-4.94701168645415959931\cdot 10^{11}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+7.46437068161927678031\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+1.97865247031583951450\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+2.41535670165126845144\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+1.47478952192985464958\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+4.58595115847765779830\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+7.08501308149515401563\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\~~~+5.06084464593475076774\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.43468549171581016479\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+1.11535493509914254097\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\&&\\g(x)&\approx &{\dfrac {1}{x^{2}}}\cdot \left({\frac {\begin{array}{l}1+8.1359520115168615\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+2.35239181626478200\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.12557570795778731\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.06297595146763354\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+6.83052205423625007\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.09049528450362786\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+7.57664583257834349\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.81004487464664575\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+6.43291613143049485\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\~~~-1.36517137670871689\cdot 10^{12}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{l}1+8.19595201151451564\cdot 10^{2}\cdot x^{-2}+2.40036752835578777\cdot 10^{5}\cdot x^{-4}+3.26026661647090822\cdot 10^{7}\cdot x^{-6}\\~~~+2.23355543278099360\cdot 10^{9}\cdot x^{-8}+7.87465017341829930\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.39866710696414565\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\~~~+1.17164723371736605\cdot 10^{13}\cdot x^{-14}+4.01839087307656620\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+3.99653257887490811\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}}\right)\\\end{array}}}$$

Ver también

• Integral logarítmica
• función tanc
• función tanhc
• función sinhc
• función coshc

Referencias

1. Gris (1993). Geometría diferencial moderna de curvas y superficies . Boca Ratón. pag. 119.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. Rowe, B.; et al. (2015). "GALSIM: el kit de herramientas modular de simulación de imágenes de galaxias". Astronomía y Computación . 10 : 121. arXiv : 1407.7676 . Código Bib : 2015A&C....10..121R. doi :10.1016/j.ascom.2015.02.002. S2CID  62709903.

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 5". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 231.ISBN​ 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.

Otras lecturas

• Mathar, RJ (2009). "Evaluación numérica de la integral oscilatoria sobre exp( i π x )· x ^{1/ x} entre 1 y ∞". Apéndice B. arXiv : 0912.3844 [math.CA].
• Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 6.8.2 - Integrales coseno y seno". Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Sloughter, Dan. "Prueba de la serie de Taylor integral seno" (PDF) . Ecuaciones en diferencias a ecuaciones diferenciales .
• Temme, NM (2010), "Integrales exponenciales, logarítmicas, seno y coseno", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.

enlaces externos

• http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
• "Seno integral", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Coseno integral", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]