A partir de n = 1 , comienza la secuencia de números armónicos:
Los números armónicos están relacionados con la media armónica en que el n -ésimo número armónico también es n veces el recíproco de la media armónica de los primeros n enteros positivos.
Cuando el valor de una gran cantidad de artículos tiene una distribución de la ley de Zipf , el valor total de los n artículos más valiosos es proporcional al n -ésimo número armónico. Esto lleva a una variedad de conclusiones sorprendentes sobre la cola larga y la teoría del valor de la red .
El teorema de Bertrand-Chebyshev implica que, excepto en el caso n = 1 , los números armónicos nunca son números enteros. [2]
Usando la sustitución x = 1 − u , otra expresión para H n es
El n -ésimo número armónico es aproximadamente tan grande como el logaritmo natural de n . La razón es que la suma se aproxima mediante la integral
cuyo valor es ln n .
Los números armónicos tienen varias propiedades aritméticas interesantes. Es bien sabido que es un número entero si y sólo si , resultado a menudo atribuido a Taeisinger. [5] De hecho, utilizando la valoración 2-ádica , no es difícil demostrar que el numerador de es un número impar mientras que el denominador de es un número par. Más precisamente,
con algunos números enteros impares y .
Como consecuencia del teorema de Wolstenholme , para cualquier número primo el numerador de es divisible por . Además, Eisenstein [6] demostró que para todo número primo impar se cumple
donde es un cociente de Fermat , con la consecuencia de que divide el numerador de si y sólo si es un primo de Wieferich .
En 1991, Eswarathasan y Levine [7] lo definieron como el conjunto de todos los números enteros positivos cuyo numerador es divisible por un número primo. Demostraron que
para todos los números primos y definieron los primos armónicos como aquellos que tienen exactamente 3 elementos. .
Eswarathasan y Levine también conjeturaron que es un conjunto finito para todos los números primos y que hay infinitos números primos armónicos. Boyd [8] verificó que es finito para todos los números primos hasta excepto 83, 127 y 397; y dio una heurística sugiriendo que la densidad de los primos armónicos en el conjunto de todos los primos debería ser . Sanna [9] demostró que tiene densidad asintótica cero , mientras que Bing-Ling Wu y Yong-Gao Chen [10] demostraron que el número de elementos que no excede es como máximo , para todos .
Los valores propios del problema no local
están dados por , donde por convención , y las funciones propias correspondientes están dadas por los polinomios de Legendre . [12]
Generalizaciones
Números armónicos generalizados
El n- ésimo número armónico generalizado de orden m viene dado por
(En algunas fuentes, esto también puede indicarse con o )
El caso especial m = 0 da El caso especial m = 1 se reduce al número armónico habitual:
El límite de as n → ∞ es finito si m > 1 , con el número armónico generalizado acotado y convergiendo a la función zeta de Riemann
El número natural más pequeño k tal que k n no divide el denominador del número armónico generalizado H ( k , n ) ni el denominador del número armónico generalizado alterno H′ ( k , n ) es, para n = 1, 2, .. .
Algunas integrales de números armónicos generalizados son
y donde A es la constante de Apéry ζ (3), y
Todo número armónico generalizado de orden m se puede escribir como función de números armónicos de orden usando , por ejemplo:
Una función generadora de números armónicos generalizados es
dónde está el polilogaritmo y | z | < 1 . La función generadora dada anteriormente para m = 1 es un caso especial de esta fórmula.
Un argumento fraccionario para números armónicos generalizados se puede presentar de la siguiente manera:
Para cada número entero, sea entero o no, tenemos de funciones poligamma: ¿
dónde está la función zeta de Riemann ? La relación de recurrencia relevante es
Algunos valores especiales son donde G es la constante catalana . En el caso especial de que , obtenemos
¿Dónde está la función zeta de Hurwitz ? Esta relación se utiliza para calcular números armónicos numéricamente.
La siguiente generalización fue analizada por JH Conway y RK Guy en su libro de 1995 The Book of Numbers . [1] : 258 Sea
entonces, el enésimo número hiperarmónico de orden r ( r>0 ) se define recursivamente como
En particular, es el número armónico ordinario .
Números armónicos romanos
Los números armónicos romanos, [13] que llevan el nombre de Steven Roman , fueron introducidos por Daniel Loeb y Gian-Carlo Rota en el contexto de una generalización del cálculo umbral con logaritmos. [14] Hay muchas definiciones posibles, pero una de ellas, para , es y Por supuesto,
De hecho, estos números se definieron de manera más general utilizando números romanos y factoriales romanos, que incluyen valores negativos para . Esta generalización fue útil en su estudio para definir logaritmos armónicos.
Números armónicos para valores reales y complejos.
Las fórmulas dadas anteriormente
son una representación integral y en serie para una función que interpola los números armónicos y, mediante continuación analítica , extiende la definición al plano complejo distinto de los enteros negativos x . De hecho, la función de interpolación está estrechamente relacionada con la función digamma
donde ψ ( x ) es la función digamma y γ es la constante de Euler-Mascheroni . El proceso de integración puede repetirse para obtener
Cuando se busca aproximar H x para un número complejo x , es efectivo calcular primero H m para algún entero grande m . Úselo como una aproximación para el valor de H m + x . Luego use la relación de recursividad H n = H n −1 + 1/ n hacia atrás m veces, para desenrollarla hasta una aproximación de H x . Además, esta aproximación es exacta en el límite cuando m tiende al infinito.
Específicamente, para un entero fijo n , se da el caso de que
Si n no es un número entero, entonces no es posible decir si esta ecuación es verdadera porque todavía no hemos definido (en esta sección) números armónicos para números no enteros. Sin embargo, obtenemos una extensión única de los números armónicos a los no enteros al insistir en que esta ecuación continúe siendo válida cuando el entero arbitrario n se reemplaza por un número complejo arbitrario x .
Al intercambiar el orden de los dos lados de esta ecuación y luego restarlos de H x se obtiene
Esta serie infinita converge para todos los números complejos x excepto los enteros negativos, que fallan porque intentar usar la relación de recursividad H n = H n −1 + 1/ n hacia atrás a través del valor n = 0 implica una división por cero. Según esta construcción, la función que define el número armónico para valores complejos es la única función que satisface simultáneamente (1) H 0 = 0 , (2) H x = H x −1 + 1/ x para todos los números complejos x excepto el enteros no positivos, y (3) lim m →+∞ ( H m + x − H m ) = 0 para todos los valores complejos x .
Esta última fórmula se puede utilizar para demostrar que
donde γ es la constante de Euler-Mascheroni o, más generalmente, para cada n tenemos:
Valores especiales para argumentos fraccionarios.
Existen los siguientes valores analíticos especiales para argumentos fraccionarios entre 0 y 1, dados por la integral
Se pueden generar más valores a partir de la relación de recurrencia
o de la relación de reflexión.
Por ejemplo:
Que se calculan mediante el teorema digamma de Gauss , que esencialmente establece que para enteros positivos p y q con p < q
Relación con la función zeta de Riemann
Algunas derivadas de números armónicos fraccionarios vienen dadas por
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Referencias
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