Función poligamma

Función meromórfica

Gráficas de las funciones poligamma ψ , ψ ⁽¹⁾ , ψ ⁽²⁾ y ψ ⁽³⁾ de argumentos reales

Gráfico de la función digamma , la primera función poligamma, en el plano complejo desde −2−2i hasta 2+2i con colores creados por la función ComplexPlot3D de Mathematica que muestra un ciclo de cambio de fase alrededor de cada polo y el cero.

En matemáticas , la función poligamma de orden m es una función meromórfica sobre los números complejos definida como la ( m + 1) ésima derivada del logaritmo de la función gamma : ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z):={\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\psi (z)={\frac {\mathrm {d} ^{m+1}}{\mathrm {d} z^{m+1}}}\ln \Gamma (z).}$

De este modo

${\displaystyle \psi ^{(0)}(z)=\psi (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}$

se cumple donde ψ ( z ) es la función digamma y Γ( z ) es la función gamma . Son holomorfas en . En todos los enteros no positivos estas funciones poligamma tienen un polo de orden m + 1 . La función ψ ⁽¹⁾ ( z ) a veces se denomina función trigamma . ${\displaystyle \mathbb {C} \backslash \mathbb {Z} _{\leq 0}}$

Representación integral

Cuando m > 0 y Re z > 0 , la función poligamma es igual a

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ^{(m)}(z)&=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\,\mathrm {d} t\\&=-\int _{0}^{1}{\frac {t^{z-1}}{1-t}}(\ln t)^{m}\,\mathrm {d} t\\&=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\end{aligned}}}$

¿Dónde está la función zeta de Hurwitz ? ${\displaystyle \zeta (s,q)}$

Esto expresa la función poligamma como la transformada de Laplace de ⁠(−1) ^{m + 1} t ^m/1 - e ^{- t}⁠ . Del teorema de Bernstein sobre funciones monótonas se deduceque, para m > 0 y x real y no negativo, (−1) ^{m +1} ψ ^{( m )} ( x ) es una función completamente monótona.

Establecer m = 0 en la fórmula anterior no da una representación integral de la función digamma. La función digamma tiene una representación integral, debido a Gauss, que es similar al caso m = 0 anterior pero que tiene un término adicional .y ^{- t}/a⁠ .

Relación de recurrencia

Satisface la relación de recurrencia

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\,m!}{z^{m+1}}}}$

lo cual –considerado para el argumento de números enteros positivos– conduce a una presentación de la suma de los recíprocos de las potencias de los números naturales:

${\displaystyle {\frac {\psi ^{(m)}(n)}{(-1)^{m+1}\,m!}}=\zeta (1+m)-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{m+1}}}=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k^{m+1}}}\qquad m\geq 1}$

y

${\displaystyle \psi ^{(0)}(n)=-\gamma \ +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}}$

para todo , donde es la constante de Euler–Mascheroni . Al igual que la función log-gamma, las funciones poligamma se pueden generalizar desde el dominio únicamente a números reales positivos debido a su relación de recurrencia y a un valor de función dado, digamos ψ ^{( m )} (1) , excepto en el caso m = 0 donde todavía se necesita la condición adicional de estricta monotonía en . Esta es una consecuencia trivial del teorema de Bohr–Mollerup para la función gamma donde se exige adicionalmente convexidad estrictamente logarítmica en . El caso m = 0 debe tratarse de manera diferente porque ψ ⁽⁰⁾ no es normalizable en el infinito (la suma de los recíprocos no converge). ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

Relación de reflexión

${\displaystyle (-1)^{m}\psi ^{(m)}(1-z)-\psi ^{(m)}(z)=\pi {\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\cot {\pi z}=\pi ^{m+1}{\frac {P_{m}(\cos {\pi z})}{\sin ^{m+1}(\pi z)}}}$

donde P _m es alternativamente un polinomio par o impar de grado | m − 1 | con coeficientes enteros y coeficiente principal (−1) ^m ⌈2 ^{m − 1} ⌉ . Obedecen la ecuación de recursión

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(x)&=x\\P_{m+1}(x)&=-\left((m+1)xP_{m}(x)+\left(1-x^{2}\right)P'_{m}(x)\right).\end{aligned}}}$

Teorema de multiplicación

El teorema de la multiplicación da

${\displaystyle k^{m+1}\psi ^{(m)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\qquad m\geq 1}$

y

${\displaystyle k\psi ^{(0)}(kz)=k\ln {k}+\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(0)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}$

para la función digamma .

Representación en serie

La función poligamma tiene la representación en serie

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}$

que se cumple para valores enteros de m > 0 y cualquier z complejo que no sea un entero negativo. Esta representación se puede escribir de forma más compacta en términos de la función zeta de Hurwitz como

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\,\zeta (m+1,z).}$

Esta relación se puede utilizar, por ejemplo, para calcular los valores especiales ^[1].

${\displaystyle \psi ^{(2n-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)={\frac {4^{2n-1}}{2n}}\left(\pi ^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|+2(2n)!\beta (2n)\right);}$

${\displaystyle \psi ^{(2n-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {4^{2n-1}}{2n}}\left(\pi ^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|-2(2n)!\beta (2n)\right);}$

${\displaystyle \psi ^{(2n)}\left({\frac {1}{4}}\right)=-2^{2n-1}\left(\pi ^{2n+1}|E_{2n}|+2(2n)!(2^{2n+1}-1)\zeta (2n+1)\right);}$

${\displaystyle \psi ^{(2n)}\left({\frac {3}{4}}\right)=2^{2n-1}\left(\pi ^{2n+1}|E_{2n}|-2(2n)!(2^{2n+1}-1)\zeta (2n+1)\right).}$

Alternativamente, se puede entender que la zeta de Hurwitz generaliza la poligamma a un orden arbitrario, no entero.

Se puede permitir una serie más para las funciones poligammas. Como lo indica Schlömilch ,

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}.}$

Esto es un resultado del teorema de factorización de Weierstrass . Por lo tanto, la función gamma ahora puede definirse como:

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{n}}.}$

Ahora, el logaritmo natural de la función gamma es fácilmente representable:

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln(z)+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}-\ln \left(1+{\frac {z}{k}}\right)\right).}$

Finalmente, llegamos a una representación sumatoria para la función poligamma:

${\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{n+1}}{\mathrm {d} z^{n+1}}}\ln \Gamma (z)=-\gamma \delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{(k+z)^{n+1}}}\right)}$

Donde δ _{n 0} es el delta de Kronecker .

También el Lerch trascendente

${\displaystyle \Phi (-1,m+1,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{m+1}}}}$

puede denotarse en términos de función poligamma

${\displaystyle \Phi (-1,m+1,z)={\frac {1}{(-2)^{m+1}m!}}\left(\psi ^{(m)}\left({\frac {z}{2}}\right)-\psi ^{(m)}\left({\frac {z+1}{2}}\right)\right)}$

Serie de Taylor

La serie de Taylor en z = -1 es

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}{\frac {(m+k)!}{k!}}\zeta (m+k+1)z^{k}\qquad m\geq 1}$

y

${\displaystyle \psi ^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)z^{k}}$

que converge para | z | < 1 . Aquí, ζ es la función zeta de Riemann . Esta serie se deriva fácilmente de la serie de Taylor correspondiente para la función zeta de Hurwitz . Esta serie se puede utilizar para derivar varias series zeta racionales .

Expansión asintótica

Estas series no convergentes se pueden utilizar para obtener rápidamente un valor de aproximación con una cierta precisión numérica mínima para argumentos grandes: ^[2]

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)\sim (-1)^{m+1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+m-1)!}{k!}}{\frac {B_{k}}{z^{k+m}}}\qquad m\geq 1}$

y

${\displaystyle \psi ^{(0)}(z)\sim \ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{kz^{k}}}}$

donde hemos elegido B ₁ = ⁠1/2⁠ , es decir, los números de Bernoulli del segundo tipo.

Desigualdades

La cotangente hiperbólica satisface la desigualdad

${\displaystyle {\frac {t}{2}}\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}\geq 1,}$

y esto implica que la función

${\displaystyle {\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}-\left(t^{m-1}+{\frac {t^{m}}{2}}\right)}$

es no negativa para todos los m ≥ 1 y t ≥ 0. De ello se deduce que la transformada de Laplace de esta función es completamente monótona. Por la representación integral anterior, concluimos que

${\displaystyle (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)-\left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\right)}$

es completamente monótona. La desigualdad de convexidad e ^t ≥ 1 + t implica que

${\displaystyle \left(t^{m-1}+t^{m}\right)-{\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}}$

no es negativo para todos los m ≥ 1 y t ≥ 0 , por lo que un argumento de transformación de Laplace similar produce la monotonía completa de

${\displaystyle \left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}\right)-(-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x).}$

Por lo tanto, para todo m ≥ 1 y x > 0 ,

${\displaystyle {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\leq (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)\leq {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}.}$

Como ambos límites son estrictamente positivos para , tenemos: ${\displaystyle x>0}$

• ${\displaystyle \ln \Gamma (x)}$es estrictamente convexo .
• Para , la función digamma, , es estrictamente monótona creciente y estrictamente cóncava . ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle \psi (x)=\psi ^{(0)}(x)}$
• Para impares, las funciones poligammas, , son estrictamente positivas, estrictamente monótonas decrecientes y estrictamente convexas. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \psi ^{(1)},\psi ^{(3)},\psi ^{(5)},\ldots }$
• Incluso las funciones poligamma, , son estrictamente negativas, estrictamente monótonas crecientes y estrictamente cóncavas. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \psi ^{(2)},\psi ^{(4)},\psi ^{(6)},\ldots }$

Esto se puede ver en el primer gráfico de arriba.

Límites y asíntotas del trigamma

Para el caso de la función trigamma ( ) la fórmula de desigualdad final anterior para , se puede reescribir como: ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle {\frac {x+{\frac {1}{2}}}{x^{2}}}\leq \psi ^{(1)}(x)\leq {\frac {x+1}{x^{2}}}}$

para que : . ${\displaystyle x\gg 1}$ ${\displaystyle \psi ^{(1)}(x)\approx {\frac {1}{x}}}$

Véase también

• Factorial
• Función gamma
• Función digamma
• Función trigamma
• Función poligamma generalizada

Referencias

1. Kölbig, KS (1996). "La función poligamma psi^k(x) para x=1/4 y x=3/4". J. Comput. Appl. Math . 75 (1): 43–46. doi : 10.1016/S0377-0427(96)00055-6 .
2. Blümlein, J. (2009). "Relaciones estructurales de sumas armónicas y transformadas de Mellin hasta peso w=5". Comp. Phys. Comm . 180 (11): 2218–2249. arXiv : 0901.3106 . Código Bibliográfico :2009CoPhC.180.2218B. doi :10.1016/j.cpc.2009.07.004.

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). "Sección 6.4". Manual de funciones matemáticas . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.