En matemáticas , la función piso es la función que toma como entrada un número real x y da como salida el mayor entero menor o igual a x , denotado ⌊ x ⌋ o piso ( x ) . De manera similar, la función techo asigna x al entero más pequeño mayor o igual a x , denotado ⌈ x ⌉ o ceil( x ) . [1]
Por ejemplo, para piso: ⌊2.4⌋ = 2 , ⌊−2.4⌋ = −3 , y para techo: ⌈2.4⌉ = 3 y ⌈−2.4⌉ = −2 .
El piso de x también se llama parte integral , parte entera , entero mayor o entero de x , e históricamente se denota [ x ] (entre otras notaciones). [2] Sin embargo, el mismo término, parte entera , también se utiliza para el truncamiento hacia cero, que difiere de la función suelo para números negativos.
Para n un número entero, ⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = n .
Aunque piso( x+1 ) y techo( x ) producen gráficas que parecen exactamente iguales, no son iguales cuando el valor de x es un entero exacto. Por ejemplo, cuando x =2,0001; ⌊2.0001+1⌋ = ⌈2.0001⌉ = 3 . Sin embargo, si x =2, entonces ⌊2+1⌋ = 3 , mientras que ⌈2⌉ = 2 .
Notación
La parte integral o parte entera de un número ( partie entière en el original) fue definida por primera vez en 1798 por Adrien-Marie Legendre en su prueba de la fórmula de Legendre .
Carl Friedrich Gauss introdujo la notación entre corchetes [ x ] en su tercera prueba de reciprocidad cuadrática (1808). [3] Este siguió siendo el estándar [4] en matemáticas hasta que Kenneth E. Iverson introdujo, en su libro de 1962 A Programming Language , los nombres "suelo" y "techo" y las notaciones correspondientes ⌊ x ⌋ y ⌈ x ⌉ . [5] [6] (Iverson usó corchetes para un propósito diferente, la notación entre corchetes de Iverson ). Ambas notaciones ahora se usan en matemáticas, aunque en este artículo se seguirá la notación de Iverson.
En algunas fuentes, se utilizan corchetes en negrita o dobles ⟦ x ⟧ para el piso y corchetes invertidos ⟧ x ⟦ o ] x [ para el techo. [7] [8]
En el sistema de composición tipográfica LaTeX , estos símbolos se pueden especificar con los comandos y en modo matemático. LaTeX admite UTF-8 desde 2018, por lo que los caracteres Unicode ahora se pueden usar directamente. [10] Las versiones más grandes son y .\lceil, \rceil, \lfloor, \rfloor\left\lceil, \right\rceil, \left\lfloor,\right\rfloor
Definición y propiedades
Dados los números reales x e y , los números enteros m y n y el conjunto de números enteros , piso y techo pueden definirse mediante las ecuaciones
Dado que hay exactamente un número entero en un intervalo semiabierto de longitud uno, para cualquier número real x , hay enteros únicos m y n que satisfacen la ecuación
donde y también puede tomarse como la definición de piso y techo.
Equivalencias
Estas fórmulas se pueden utilizar para simplificar expresiones que involucran pisos y techos. [11]
En el lenguaje de la teoría del orden , la función suelo es un mapeo residual , es decir, parte de una conexión de Galois : es el adjunto superior de la función que incrusta los números enteros en los reales.
Estas fórmulas muestran cómo agregar un número entero n a los argumentos afecta las funciones:
Lo anterior nunca es cierto si n no es un número entero; sin embargo, para cada x e y , se cumplen las siguientes desigualdades:
Lo siguiente se puede utilizar para convertir pisos en techos y viceversa ( m positivo) [15]
Para todos los m y n enteros estrictamente positivos: [16]
que, para m y n positivos y coprimos , se reduce a
y de manera similar para las funciones techo y parte fraccionaria (aún para m y n positivos y coprimos ),
Dado que el lado derecho del caso general es simétrico en m y n , esto implica que
De manera más general, si m y n son positivos,
A esto a veces se le llama ley de reciprocidad. [17]
La división por números enteros positivos da lugar a una propiedad interesante y a veces útil. Asumiendo ,
Similarmente,
En efecto,
teniendo en cuenta que
la segunda equivalencia que involucra la función techo se puede demostrar de manera similar.
Divisiones anidadas
Para números enteros positivos n y números reales arbitrarios m , x : [18]
Continuidad y expansiones en serie.
Ninguna de las funciones analizadas en este artículo es continua , pero todas son lineales por partes : las funciones , y tienen discontinuidades en los números enteros.
Dado que ninguna de las funciones analizadas en este artículo es continua, ninguna de ellas tiene una expansión en serie de potencias . Dado que el piso y el techo no son periódicos, no tienen expansiones en series de Fourier uniformemente convergentes. La función de parte fraccionaria tiene una expansión en serie de Fourier [19]
para x que no es un número entero.
En los puntos de discontinuidad, una serie de Fourier converge a un valor que es el promedio de sus límites a la izquierda y a la derecha, a diferencia de las funciones piso, techo y parte fraccionaria: para y fijo y x múltiplo de y, la serie de Fourier dada converge a y /2, en lugar de a x mod y = 0. En los puntos de continuidad la serie converge al valor verdadero.
Al usar la fórmula, x
no es un número entero.
Aplicaciones
operador mod
Para un número entero x y un entero positivo y , la operación de módulo , denotada por x mod y , da el valor del resto cuando x se divide por y . Esta definición se puede extender a x e y reales , y ≠ 0, mediante la fórmula
Luego se deduce de la definición de función del suelo que esta operación ampliada satisface muchas propiedades naturales. En particular, x mod y siempre está entre 0 e y , es decir,
El segundo paso es utilizar un argumento geométrico para demostrar que
La combinación de estas fórmulas da reciprocidad cuadrática en la forma
Hay fórmulas que usan piso para expresar el carácter cuadrático de números pequeños mod primos impares p : [22]
redondeo
Para un número real arbitrario , el redondeo al entero más cercano con desempate hacia el infinito positivo viene dado por ; el redondeo hacia el infinito negativo se da como .
Si el desempate está lejos de 0, entonces la función de redondeo es (ver función de signo ), y el redondeo hacia par se puede expresar con la expresión más engorrosa , que es la expresión anterior para redondear hacia el infinito positivo menos un indicador de integralidad para .
Redondear un número real al valor entero más cercano forma un tipo de cuantificador muy básico : uno uniforme . Un cuantificador uniforme típico ( en la mitad de la banda de rodadura ) con un tamaño de paso de cuantificación igual a algún valor se puede expresar como
,
Número de dígitos
El número de dígitos en base b de un entero positivo k es
Número de cadenas sin caracteres repetidos
El número de posibles cadenas de longitud arbitraria que no utilizan ningún carácter dos veces viene dado por [23] [ se necesita mejor fuente ]
dónde:
n > 0 es el número de letras del alfabeto (por ejemplo, 26 en inglés )
el factorial descendente denota el número de cadenas de longitud k que no utilizan ningún carácter dos veces.
Para n = 26, esto da como resultado 1096259850353149530222034277.
Factores de factoriales
Sea n un número entero positivo y p un número primo positivo. El exponente de la potencia más alta de p que divide a n ! viene dado por una versión de la fórmula de Legendre [24]
¿Dónde está la forma de escribir n en base p ? Esta es una suma finita, ya que los pisos son cero cuando p k > n .
Existen fórmulas para la constante de Euler γ = 0,57721 56649... que involucran el piso y el techo, por ejemplo [26]
y
Función zeta de Riemann (ζ)
La función de parte fraccionaria también aparece en representaciones integrales de la función zeta de Riemann . Es sencillo demostrar (usando integración por partes) [27] que si es cualquier función con derivada continua en el intervalo cerrado [ a , b ],
Suponiendo que la parte real de s sea mayor que 1 y dejando que a y b sean números enteros, y dejando que b se acerque al infinito, se obtiene
Esta fórmula es válida para todos los s con parte real mayor que −1 (excepto s = 1, donde hay un polo) y combinada con la expansión de Fourier para { x } se puede usar para extender la función zeta a todo el plano complejo. y demostrar su ecuación funcional. [28]
Para s = σ + it en la franja crítica 0 < σ < 1,
En 1947, van der Pol utilizó esta representación para construir una computadora analógica para encontrar raíces de la función zeta. [29]
Fórmulas para números primos.
La función suelo aparece en varias fórmulas que caracterizan a los números primos. Por ejemplo, dado que es igual a 1 si m divide a n , y a 0 en caso contrario, se deduce que un entero positivo n es primo si y sólo si [30]
También se pueden dar fórmulas para producir los números primos. Por ejemplo, sea p n el n -ésimo primo, y para cualquier número entero r > 1, defina el número real α por la suma
Entonces [31]
Un resultado similar es que existe un número θ = 1.3064... ( constante de Mills ) con la propiedad de que
son todos primos. [32]
También existe un número ω = 1,9287800... con la propiedad de que
son todos primos. [32]
Sea π ( x ) el número de primos menores o iguales que x . Es una deducción sencilla del teorema de Wilson que [33]
Además, si n ≥ 2, [34]
Ninguna de las fórmulas de esta sección tiene ningún uso práctico. [35] [36]
Problemas resueltos
Ramanujan presentó estos problemas al Journal of the Indian Mathematical Society . [37]
Si n es un entero positivo, demuestre que
Se han demostrado algunas generalizaciones a las identidades de funciones del piso anterior. [38]
problema sin resolver
El estudio del problema de Waring ha llevado a un problema sin resolver:
¿Hay algún número entero positivo k ≥ 6 tal que [39]
Mahler ha demostrado que sólo puede haber un número finito de tales k ; no se conoce ninguno. [40]
Implementaciones informáticas
En la mayoría de los lenguajes de programación, el método más simple para convertir un número de punto flotante en un número entero no es el piso o el techo, sino el truncamiento. La razón de esto es histórica, ya que las primeras máquinas usaban complemento a uno y el truncamiento era más sencillo de implementar (el piso es más simple en complemento a dos ). FORTRAN se definió para requerir este comportamiento y, por lo tanto, casi todos los procesadores implementan la conversión de esta manera. Algunos consideran que se trata de una decisión de diseño histórica desafortunada que ha provocado errores en el manejo de compensaciones negativas y gráficos en el lado negativo del origen. [ cita necesaria ]
Un desplazamiento aritmético a la derecha de un entero con signo es lo mismo que . La división por una potencia de 2 a menudo se escribe como un desplazamiento hacia la derecha, no para optimización como podría suponerse, sino porque se requiere el mínimo de resultados negativos. Asumir que tales cambios son "optimización prematura" y reemplazarlos con división puede dañar el software. [ cita necesaria ]
Muchos lenguajes de programación (incluidos C , C++ , [41] [42] C# , [43] [44] Java , [45] [46] PHP , [47] [48] R , [49] y Python [50] ) Proporcionan funciones estándar para suelo y techo, normalmente llamadas floory ceilo menos comúnmente ceiling. [51] El lenguaje que APL utiliza ⌊xpara palabra. El lenguaje de programación J , una continuación de APL que está diseñado para utilizar símbolos de teclado estándar, se utiliza <.para suelo y >.techo. [52] Usos de ALGOLentier para suelos.
En Microsoft Excel, la función INTredondea hacia abajo en lugar de hacia cero, [53] mientras que FLOORredondea hacia cero, lo contrario de lo que hacen "int" y "floor" en otros idiomas. Desde 2010 FLOORse ha cambiado a error si el número es negativo. [54] El formato de archivo OpenDocument , tal como lo utilizan OpenOffice.org , Libreoffice y otros, INT[55] y FLOORambos funcionan y FLOORtienen un tercer argumento para reproducir el comportamiento anterior de Excel. [56]
^
1) Luke Heaton, Una breve historia del pensamiento matemático , 2015, ISBN 1472117158 (np) 2) Albert A. Blank et al. , Cálculo: Cálculo diferencial , 1968, p. 259 3) John W. Warris, Horst Stocker, Manual de matemáticas y ciencia computacional , 1998, ISBN 0387947469 , p. 151
^ Lemmermeyer, págs.10, 23.
^ por ejemplo, Cassels, Hardy & Wright y Ribenboim utilizan la notación de Gauss. Graham, Knuth & Patashnik y Crandall & Pomerance utilizan Iverson's.
^ Iverson, pág. 12.
^ Higham, pag. 25.
^ Mathwords: función de suelo.
^ Mathwords: función de techo
^ Graham, Knuth y Patashnik, pág. 70.
^ "LaTeX News, número 28" (PDF; 379 KB) . El proyecto Látex. Abril de 2018 . Consultado el 27 de julio de 2024 .
^ Graham, Knuth y Patashink, cap. 3
^ Graham, Knuth y Patashnik, pág. 73
^ Graham, Knuth y Patashnik, pág. 85
^ Graham, Knuth y Patashnik, pág. 85 y ej. 3.15
^ Graham, Knuth y Patashnik, ej. 3.12
^ Graham, Knuth y Patashnik, pág. 94.
^ Graham, Knuth y Patashnik, pág. 94
^ Graham, Knuth y Patashnik, pág. 71, aplique el teorema 3.10 con x/m como entrada y la división por n como función
^ Marisma de Titch, pag. 15, ecuación. 2.1.7
^ Lemmermeyer, § 1.4, ej. 1,32–1,33
^ Hardy y Wright, §§ 6.11–6.13
^ Lemmermeyer, pag. 25
^ Secuencia OEIS A000522 (Número total de arreglos de un conjunto con n elementos: a(n) = Sum_{k=0..n} n!/k!.) (Ver Fórmulas).
^ Hardy y Wright, Th. 416
^ Graham, Knuth y Patashnik, págs. 77–78
^ Estas fórmulas son del artículo de Wikipedia Constante de Euler , que tiene muchas más.
^ Marisma de Titch, pag. 13
^ Titchmarsh, páginas 14-15
^ Crandall y Pomerance, pag. 391
^ Crandall y Pomerance, ej. 1.3, pág. 46. El límite superior infinito de la suma se puede reemplazar con n . Una condición equivalente es n > 1 es primo si y sólo si .
^ Hardy y Wright, § 22.3
^ ab Ribenboim, pág. 186
^ Ribenboim, pag. 181
^ Crandall y Pomerance, ej. 1.4, pág. 46
^ Ribenboim, pag. 180 dice que "A pesar del nulo valor práctico de las fórmulas... [ellas] pueden tener cierta relevancia para los lógicos que desean comprender claramente cómo se pueden deducir varias partes de la aritmética a partir de diferentes axiomatizaciones..."
^ Hardy y Wright, págs. 344—345 "Cualquiera de estas fórmulas (o cualquiera similar) alcanzaría un estado diferente si el valor exacto del número α... pudiera expresarse independientemente de los números primos. No parece probable de esto, pero no se puede descartar como completamente imposible."
^ Ramanujan, pregunta 723, artículos p. 332
^ Somu, Sai Teja; Kukla, Andrzej (2022). "Sobre algunas generalizaciones de las identidades de funciones de piso de Ramanujan" (PDF) . Enteros . 22 . arXiv : 2109.03680 .
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^ Mahler, Kurt (1957). "Sobre las partes fraccionarias de las potencias de un número racional II". Matemática . 4 (2): 122-124. doi :10.1112/S0025579300001170.
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^ "Documentación/Instrucciones/Calc: función PISO" . Consultado el 29 de octubre de 2021 .
Referencias
JWS Cassels (1957), Introducción a la aproximación diofántica , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, vol. 45, Prensa de la Universidad de Cambridge
Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001), Números primos: una perspectiva computacional, Nueva York: Springer , ISBN 0-387-94777-9
Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Matemáticas concretas , Reading Ma.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
Ribenboim, Paulo (1996), El nuevo libro de registros de números primos , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
Michael Sullivan. Precálculo , 8.ª edición, p. 86
Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986), La teoría de la función Zeta de Riemann (2ª ed.), Oxford: Oxford UP, ISBN 0-19-853369-1
enlaces externos
Wikimedia Commons tiene medios relacionados con las funciones de suelo y techo .
Štefan Porubský, "Funciones de redondeo de enteros", Portal de información interactivo sobre matemáticas algorítmicas , Instituto de Ciencias de la Computación de la Academia Checa de Ciencias, Praga, República Checa, consultado el 24 de octubre de 2008