Factorial

Producto de números del 1 al n

En matemáticas , el factorial de un número entero ${\displaystyle n}$ no negativo , denotado por , ${\displaystyle n!}$ es el producto de todos los números enteros positivos menores o iguales a . ${\displaystyle n}$El factorial de ${\displaystyle n}$ también es igual al producto de con el siguiente factorial más pequeño: ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}n!&=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \cdots \times 3\times 2\times 1\\&=n\times (n-1)!\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle 5!=5\times 4!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120.}$$

producto vacío^[1]

Los factoriales han sido descubiertos en varias culturas antiguas, especialmente en las matemáticas indias en las obras canónicas de la literatura jainista y por los místicos judíos en el libro talmúdico Sefer Yetzirah . La operación factorial se encuentra en muchas áreas de las matemáticas, especialmente en combinatoria , donde su uso más básico cuenta las posibles secuencias distintas (las permutaciones ) de objetos distintos: hay . En el análisis matemático , los factoriales se utilizan en series de potencias para la función exponencial y otras funciones, y también tienen aplicaciones en álgebra , teoría de números , teoría de la probabilidad e informática . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$

Gran parte de las matemáticas de la función factorial se desarrollaron a finales del siglo XVIII y principios del XIX.La aproximación de Stirling proporciona una aproximación precisa al factorial de números grandes, mostrando que crece más rápidamente que el crecimiento exponencial . La fórmula de Legendre describe los exponentes de los números primos en una factorización prima de los factoriales y se puede utilizar para contar los ceros finales de los factoriales. Daniel Bernoulli y Leonhard Euler interpolaron la función factorial a una función continua de números complejos , excepto en los números enteros negativos, la función gamma (compensada) .

Muchas otras funciones y secuencias numéricas notables están estrechamente relacionadas con los factoriales, incluidos los coeficientes binomiales , los factoriales dobles , los factoriales descendentes , los primoriales y los subfactoriales . Las implementaciones de la función factorial se utilizan comúnmente como ejemplo de diferentes estilos de programación informática y se incluyen en calculadoras científicas y bibliotecas de software de informática científica. Aunque calcular directamente factoriales grandes utilizando la fórmula del producto o la recurrencia no es eficiente, se conocen algoritmos más rápidos, que igualan dentro de un factor constante el tiempo para algoritmos de multiplicación rápida para números con el mismo número de dígitos.

Historia

El concepto de factoriales ha surgido de forma independiente en muchas culturas:

• En las matemáticas indias , una de las primeras descripciones conocidas de factoriales proviene del Anuyogadvāra-sūtra, ^[2] una de las obras canónicas de la literatura jainista , a la que se le han asignado fechas que varían del 300 a. C. al 400 d. C. ^[3] Separa el orden ordenado e invertido de un conjunto de artículos de los otros pedidos ("mixtos"), evaluando el número de pedidos mixtos restando dos de la fórmula habitual del producto para el factorial. La regla del producto para las permutaciones también fue descrita por el monje jainista Jinabhadra del siglo VI d.C. ^[2] Los eruditos hindúes han estado usando fórmulas factoriales desde al menos 1150, cuando Bhāskara II mencionó los factoriales en su obra Līlāvatī , en relación con un problema de cuántas maneras Vishnu podía sostener sus cuatro objetos característicos (una caracola , un disco , una maza , y flor de loto ) en sus cuatro manos, y un problema similar para un dios de diez manos. ^[4]
• En las matemáticas del Medio Oriente, el libro místico hebreo de la creación Sefer Yetzirah , del período talmúdico (200 a 500 d.C.), enumera factoriales hasta 7. como parte de una investigación sobre la cantidad de palabras que se pueden formar a partir del alfabeto hebreo . ^{[5] [6]} Los factoriales también fueron estudiados por razones similares por el gramático árabe del siglo VIII Al-Khalil ibn Ahmad al-Farahidi . ^[5] El matemático árabe Ibn al-Haytham (también conocido como Alhazen, c. 965 – c. 1040) fue el primero en formular el teorema de Wilson que conecta los factoriales con los números primos . ^[7]
• En Europa, aunque las matemáticas griegas incluían algo de combinatoria, y Platón utilizó 5.040 (un factorial) como población de una comunidad ideal, en parte debido a sus propiedades de divisibilidad, ^[8] no hay evidencia directa del estudio de los factoriales en la antigua Grecia. En cambio, el primer trabajo sobre factoriales en Europa fue el de eruditos judíos como Shabbethai Donnolo , que explica el pasaje del Sefer Yetzirah. ^[9] En 1677, el autor británico Fabian Stedman describió la aplicación de factoriales para cambiar el timbre , un arte musical que implica el repique de varias campanas afinadas. ^{[10] [11]}

Desde finales del siglo XV en adelante, los factoriales se convirtieron en objeto de estudio de los matemáticos occidentales. En un tratado de 1494, el matemático italiano Luca Pacioli calculó factoriales hasta 11!, en relación con un problema de disposición de la mesa del comedor. ^[12] Christopher Clavius ​​analizó los factoriales en un comentario de 1603 sobre el trabajo de Johannes de Sacrobosco , y en la década de 1640, el erudito francés Marin Mersenne publicó grandes (pero no del todo correctas) tablas de factoriales, ¡hasta 64!, basadas en el trabajo de Clavio. ^[13] La serie de potencias para la función exponencial , con los recíprocos de factoriales para sus coeficientes, fue formulada por primera vez en 1676 por Isaac Newton en una carta a Gottfried Wilhelm Leibniz . ^[14] Otros trabajos importantes de las primeras matemáticas europeas sobre factoriales incluyen una amplia cobertura en un tratado de 1685 de John Wallis , un estudio de sus valores aproximados para valores grandes de Abraham de Moivre en 1721, una carta de 1729 de James Stirling a de Moivre indicando lo que se conoció como aproximación de Stirling , y trabajo al mismo tiempo de Daniel Bernoulli y Leonhard Euler formulando la extensión continua de la función factorial a la función gamma . ^[15] Adrien-Marie Legendre incluyó la fórmula de Legendre , que describe los exponentes en la factorización de factoriales en potencias primas , en un texto de 1808 sobre teoría de números . ^[dieciséis] ${\displaystyle n}$

La notación factorial fue introducida por el matemático francés Christian Kramp en 1808. ^[17] También se han utilizado muchas otras notaciones. Otra notación posterior , en la que el argumento del factorial estaba medio encerrado por los lados izquierdo e inferior de un cuadro, fue popular durante algún tiempo en Gran Bretaña y Estados Unidos, pero cayó en desuso, tal vez porque es difícil de componer. ^[17] La ​​palabra "factorial" (originalmente francés: factorielle ) fue utilizada por primera vez en 1800 por Louis François Antoine Arbogast , ^[18] en el primer trabajo sobre la fórmula de Faà di Bruno , ^[19] pero refiriéndose a un concepto más general de productos. de progresiones aritméticas . Los "factores" a los que se refiere este nombre son los términos de la fórmula del producto para el factorial. ^[20] ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle \vert \!{\underline {\,n}}}$

Definición

La función factorial de un número entero positivo se define por el producto de todos los números enteros positivos no mayores que ^[1] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n.}$$

notación de producto^[1]

$${\displaystyle n!=\prod _{i=1}^{n}i.}$$

Si se cambia la fórmula de este producto para mantener todos los términos excepto el último, se definiría un producto de la misma forma, para un factorial más pequeño. Esto conduce a una relación de recurrencia , según la cual cada valor de la función factorial se puede obtener multiplicando el valor anterior por : ^[21] ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle n!=n\cdot (n-1)!.}$$

. ${\displaystyle 5!=5\cdot 4!=5\cdot 24=120}$

factorial de cero

El factorial de ${\displaystyle 0}$ es , ${\displaystyle 1}$ o en símbolos, . Hay varias motivaciones para esta definición: ${\displaystyle 0!=1}$

• Porque , la definición de como producto implica el producto de ningún número en absoluto, por lo que es un ejemplo de la convención más amplia de que el producto vacío , un producto sin factores, es igual a la identidad multiplicativa. ^[22] ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle n!}$
• Hay exactamente una permutación de objetos cero: sin nada que permutar, la única reordenación es no hacer nada. ^[21]
• Esta convención hace que muchas identidades en combinatoria sean válidas para todas las elecciones válidas de sus parámetros. Por ejemplo, el número de formas de elegir todos los elementos de un conjunto de es una identidad de coeficiente binomial que solo sería válida con . ^[23] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle {\tbinom {n}{n}}={\tfrac {n!}{n!0!}}=1,}$ ${\displaystyle 0!=1}$
• Con , la relación de recurrencia del factorial sigue siendo válida en . Por lo tanto, con esta convención, un cálculo recursivo del factorial necesita tener solo el valor de cero como caso base , simplificando el cálculo y evitando la necesidad de casos especiales adicionales. ^[24] ${\displaystyle 0!=1}$ ${\displaystyle n=1}$
• La configuración permite la expresión compacta de muchas fórmulas, como la función exponencial , como una serie de potencias : ^[14] ${\displaystyle 0!=1}$ ${\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$
• Esta elección coincide con la función gamma , y ​​la función gamma debe tener este valor para ser una función continua . ^[25] ${\displaystyle 0!=\Gamma (0+1)=1}$

Aplicaciones

Los primeros usos de la función factorial implican contar permutaciones : existen diferentes formas de organizar objetos distintos en una secuencia. ^[26] Los factoriales aparecen de forma más amplia en muchas fórmulas de combinatoria , para dar cuenta de diferentes ordenamientos de objetos. Por ejemplo, los coeficientes binomiales cuentan las combinaciones de elementos (subconjuntos de elementos) de un conjunto con elementos y se pueden calcular a partir de factoriales usando la fórmula ^[27] ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}$$

números de Stirling de primer tipode ${\displaystyle n}$^[28]de desarreglosnúmero entero más cercano a . ^[29] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!/e}$

En álgebra , los factoriales surgen a través del teorema del binomio , que utiliza coeficientes binomiales para expandir potencias de sumas. ^[30] También aparecen en los coeficientes utilizados para relacionar ciertas familias de polinomios entre sí, por ejemplo en las identidades de Newton para polinomios simétricos . ^[31] Su uso para contar permutaciones también se puede reformular algebraicamente: los factoriales son los órdenes de grupos simétricos finitos . ^[32] En cálculo , los factoriales aparecen en la fórmula de Faà di Bruno para encadenar derivadas superiores. ^[19] En el análisis matemático , los factoriales aparecen con frecuencia en los denominadores de series de potencias , más notablemente en las series de la función exponencial , ^[14]

$${\displaystyle e^{x}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}},}$$

series de Taylortrigonométricashiperbólicasderivada enésima de . ^[33]combinatoria analíticafunción generadora exponencialclase combinatoriatamaño^[34] ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle i}$

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}n_{i}}{i!}}.}$$

En teoría de números , la propiedad más destacada de los factoriales es la divisibilidad de entre todos los números enteros positivos hasta , descrita con mayor precisión para factores primos mediante la fórmula de Legendre . De ello se deduce que se pueden encontrar números primos arbitrariamente grandes como factores primos de los números , lo que lleva a una prueba del teorema de Euclides de que el número de primos es infinito. ^[35] Cuando es en sí mismo primo, se le llama primo factorial ; ^[36] de manera relacionada, el problema de Brocard , también planteado por Srinivasa Ramanujan , se refiere a la existencia de números cuadrados de la forma . ^[37] Por el contrario, todos los números deben ser compuestos, lo que demuestra la existencia de brechas de primos arbitrariamente grandes . ^[38] Una prueba elemental del postulado de Bertrand sobre la existencia de un primo en cualquier intervalo de la forma , uno de los primeros resultados de Paul Erdős , se basó en las propiedades de divisibilidad de los factoriales. ^{[39] [40]} El sistema numérico factorial es una notación de base mixta para números en los que los valores posicionales de cada dígito son factoriales. ^[41] ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!\pm 1}$ ${\displaystyle n!\pm 1}$ ${\displaystyle n!+1}$ ${\displaystyle n!+2,n!+3,\dots n!+n}$ ${\displaystyle [n,2n]}$

Los factoriales se utilizan ampliamente en la teoría de la probabilidad , por ejemplo en la distribución de Poisson ^[42] y en las probabilidades de permutaciones aleatorias . ^[43] En informática , más allá de aparecer en el análisis de búsquedas de fuerza bruta sobre permutaciones, ^[44] los factoriales surgen en el límite inferior del número de comparaciones necesarias para ordenar por comparación un conjunto de elementos, ^[45] y en el Análisis de tablas hash encadenadas , donde la distribución de claves por celda se puede aproximar con precisión mediante una distribución de Poisson. ^[46] Además, los factoriales aparecen naturalmente en fórmulas de la física cuántica y estadística , donde a menudo se consideran todas las permutaciones posibles de un conjunto de partículas. En mecánica estadística , los cálculos de entropía como la fórmula de entropía de Boltzmann o la ecuación de Sackur-Tetrode deben corregir el recuento de microestados dividiendo por los factoriales de los números de cada tipo de partícula indistinguible para evitar la paradoja de Gibbs . La física cuántica proporciona la razón subyacente por la que estas correcciones son necesarias. ^[47] ${\displaystyle \log _{2}n!=n\log _{2}n-O(n)}$ ${\displaystyle n}$

Propiedades

Crecimiento y aproximación

Comparación del factorial, la aproximación de Stirling y la aproximación más simple , en escala doblemente logarítmica ${\displaystyle (n/e)^{n}}$

Error relativo en una serie de Stirling truncada frente al número de términos

En función de , ${\displaystyle n}$ el factorial tiene un crecimiento más rápido que el exponencial , pero crece más lentamente que una función exponencial doble . ^[48] ​​Su tasa de crecimiento es similar a , ${\displaystyle n^{n}}$ pero más lenta en un factor exponencial. Una forma de aproximarse a este resultado es tomando el logaritmo natural del factorial, que convierte su fórmula de producto en una suma, y ​​luego estimando la suma mediante una integral:

$${\displaystyle \ln n!=\sum _{x=1}^{n}\ln x\approx \int _{1}^{n}\ln x\,dx=n\ln n-n+1.}$$

. ^[49]regla del trapezoidea . producto de Wallisla aproximación de Stirling^[50] ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle (n/e)^{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\,.}$$

límiteserie asintótica^[51] ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right).}$$

^[51]

$${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \left({\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-{\frac {1}{1680n^{7}}}+\cdots \right).}$$

Srinivasa RamanujanBill Gosper^[51]

El logaritmo binario del factorial, utilizado para analizar la clasificación por comparación , se puede estimar con mucha precisión mediante la aproximación de Stirling. En la siguiente fórmula, el término invoca la notación O grande . ^[45] ${\displaystyle O(1)}$

$${\displaystyle \log _{2}n!=n\log _{2}n-(\log _{2}e)n+{\frac {1}{2}}\log _{2}n+O(1).}$$

Divisibilidad y dígitos

La fórmula del producto del factorial implica que es divisible por todos los números primos que sean como máximo , y no por números primos mayores. ^[52] La fórmula de Legendre proporciona información más precisa sobre su divisibilidad , que da el exponente de cada primo en la factorización prima de como ^{[53] [54]} ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n!}$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor ={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}.}$$

de la base de ,valoración p^[54]coeficientes binomialesel teorema de Kummer^[55]potencias primasparticiones multiplicativas de los factoriales^[56] ${\displaystyle s_{p}(n)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$

El caso especial de la fórmula de Legendre para da el número de ceros finales en la representación decimal de los factoriales. ^[57] Según esta fórmula, el número de ceros se puede obtener restando los dígitos de base 5 de y dividiendo el resultado por cuatro. ^[58] La fórmula de Legendre implica que el exponente del número primo es siempre mayor que el exponente de , por lo que cada factor de cinco se puede combinar con un factor de dos para producir uno de estos ceros finales. ^[57] Los primeros dígitos de los factoriales se distribuyen según la ley de Benford . ^[59] Cada secuencia de dígitos, en cualquier base, es la secuencia de dígitos iniciales de algún número factorial en esa base. ^[60] ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle p=5}$

Otro resultado sobre la divisibilidad de factoriales, el teorema de Wilson , establece que es divisible por si y sólo si es un número primo . ^[52] Para cualquier número entero dado , la función de Kempner está dada por el más pequeño por el cual se divide . ^[61] Para casi todos los números (todos excepto un subconjunto de excepciones con densidad asintótica cero), coincide con el factor primo más grande de . ^[62] ${\displaystyle (n-1)!+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle x}$

El producto de dos factoriales, siempre divide uniformemente a . ^[63] Hay infinitos factoriales que son iguales al producto de otros factoriales: si es en sí mismo cualquier producto de factoriales, entonces es igual a ese mismo producto multiplicado por un factorial más, . Los únicos ejemplos conocidos de factoriales que son productos de otros factoriales pero que no tienen esta forma "trivial" son , y . ^[64] De la conjetura abc se desprendería que sólo hay un número finito de ejemplos no triviales. ^{[sesenta y cinco]} ${\displaystyle m!\cdot n!}$ ${\displaystyle (m+n)!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle (n-1)!}$ ${\displaystyle 9!=7!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 2!}$ ${\displaystyle 10!=7!\cdot 6!=7!\cdot 5!\cdot 3!}$ ${\displaystyle 16!=14!\cdot 5!\cdot 2!}$

El máximo común divisor de los valores de un polinomio primitivo de grado sobre los números enteros divide uniformemente . ^[63] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d!}$

Interpolación continua y generalización no entera.

La función gamma (desplazada una unidad hacia la izquierda para que coincida con los factoriales) interpola continuamente los valores factoriales a no enteros.

Valores absolutos de la función gamma compleja, que muestran polos en números enteros no positivos

Hay infinitas formas de extender los factoriales a una función continua . ^[66] El más utilizado de ellos ^[67] utiliza la función gamma , que puede definirse para números reales positivos como la integral

$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx.}$$

${\displaystyle n}$

$${\displaystyle n!=\Gamma (n+1),}$$

ecuación funcional ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Gamma (x)}$ ${\displaystyle \Gamma (x-1)}$

$${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)\Gamma (n-1),}$$

relación de recurrencia^[66]

La misma integral converge de manera más general para cualquier número complejo cuya parte real sea positiva. Se puede extender a los puntos no enteros en el resto del plano complejo resolviendo la fórmula de reflexión de Euler. ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}}.}$$

división por cerofunción analíticacontinuación analíticapolos simples^[67]teorema de Bohr-Molleruplog-convexaHelmut Wielandtfunciones holomorfas^{[68 ]} ${\displaystyle \sin \pi z}$

Otras funciones complejas que interpolan los valores factoriales incluyen la función gamma de Hadamard , que es una función completa sobre todos los números complejos, incluidos los enteros no positivos. ^{[69] [70]} En los números p -ádicos , no es posible interpolar continuamente la función factorial directamente, porque los factoriales de números enteros grandes (un subconjunto denso de los p -ádicos) convergen a cero según la fórmula de Legendre, lo que obliga cualquier función continua que esté cerca de sus valores será cero en todas partes. En cambio, la función gamma p -ádica proporciona una interpolación continua de una forma modificada del factorial, omitiendo los factores del factorial que son divisibles por p . ^[71]

La función digamma es la derivada logarítmica de la función gamma. Así como la función gamma proporciona una interpolación continua de los factoriales, compensados ​​en uno, la función digamma proporciona una interpolación continua de los números armónicos , compensados ​​por la constante de Euler-Mascheroni . ^[72]

Cálculo

TI SR-50A , una calculadora de 1975 con clave factorial (tercera fila, centro derecha)

La función factorial es una característica común en las calculadoras científicas . ^[73] También se incluye en bibliotecas de programación científica como el módulo de funciones matemáticas de Python ^[74] y la biblioteca Boost C++ . ^[75] Si la eficiencia no es una preocupación, calcular factoriales es trivial: simplemente multiplique sucesivamente una variable inicializada por ${\displaystyle 1}$ números enteros hasta . ${\displaystyle n}$La simplicidad de este cálculo lo convierte en un ejemplo común en el uso de diferentes estilos y métodos de programación informática. ^[76]

El cálculo de se puede expresar en pseudocódigo usando la iteración ^[77] como ${\displaystyle n!}$

definir factorial ( n ): f  : = 1 para i  := 1, 2, 3, ..., n : f :  = f * devuelvo f

o utilizando la recursividad ^[78] en función de su relación de recurrencia como

definir factorial ( n ): si ( n = 0) devuelve 1 devolver n * factorial( n − 1)

Otros métodos adecuados para su cálculo incluyen la memorización , ^[79] programación dinámica , ^[80] y programación funcional . ^[81] La complejidad computacional de estos algoritmos se puede analizar utilizando el modelo de computación de máquina de acceso aleatorio de costo unitario , en el que cada operación aritmética toma un tiempo constante y cada número usa una cantidad constante de espacio de almacenamiento. En este modelo, estos métodos pueden calcularse en el tiempo y la versión iterativa utiliza el espacio . A menos que esté optimizada para la recursividad de cola , la versión recursiva ocupa espacio lineal para almacenar su pila de llamadas . ^[82] Sin embargo, este modelo de cálculo sólo es adecuado cuando es lo suficientemente pequeño como para permitir caber en una palabra de máquina . ^[83] Los valores 12! y 20! son los factoriales más grandes que se pueden almacenar en, respectivamente, enteros de 32 bits ^[84] y 64 bits . ^[85] El punto flotante puede representar factoriales más grandes, pero aproximadamente en lugar de exactamente, y aún así se desbordará para factoriales mayores que . ^[84] ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle 170!}$

El cálculo exacto de factoriales más grandes implica aritmética de precisión arbitraria , debido al rápido crecimiento y al desbordamiento de enteros . El tiempo de cálculo se puede analizar en función del número de dígitos o bits del resultado. ^[85] Según la fórmula de Stirling, tiene bits. ^[86] El algoritmo de Schönhage-Strassen puede producir un producto de bits en el tiempo , y se conocen algoritmos de multiplicación más rápidos que requieren tiempo . ^[87] Sin embargo, calcular el factorial implica productos repetidos, en lugar de una única multiplicación, por lo que estos límites de tiempo no se aplican directamente. En este contexto, calcular multiplicando los números del 1 al en secuencia es ineficiente porque implica multiplicaciones, una fracción constante de las cuales toma tiempo cada una, lo que da el tiempo total . Un mejor enfoque es realizar las multiplicaciones como un algoritmo de divide y vencerás que multiplica una secuencia de números dividiéndola en dos subsecuencias de números, multiplica cada subsecuencia y combina los resultados con una última multiplicación. Este enfoque del factorial requiere tiempo total : un logaritmo proviene del número de bits en el factorial, un segundo proviene del algoritmo de multiplicación y un tercero proviene del divide y vencerás. ^[88] ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle b=O(n\log n)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle O(b\log b\log \log b)}$ ${\displaystyle O(b\log b)}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$ ${\displaystyle O(n^{2}\log ^{2}n)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i/2}$ ${\displaystyle O(n\log ^{3}n)}$

Se obtiene una eficiencia aún mejor calculando n ! desde su factorización prima, basada en el principio de que la exponenciación elevando al cuadrado es más rápida que expandir un exponente a un producto. ^{[86] [89]} Un algoritmo para esto de Arnold Schönhage comienza encontrando la lista de los primos hasta , por ${\displaystyle n}$ ejemplo usando el tamiz de Eratóstenes , y usa la fórmula de Legendre para calcular el exponente de cada primo. Luego calcula el producto de las potencias primas con estos exponentes, usando un algoritmo recursivo, de la siguiente manera:

• Usa divide y vencerás para calcular el producto de los números primos cuyos exponentes son impares
• Divide todos los exponentes por dos (redondeando hacia abajo a un número entero), calcula recursivamente el producto de las potencias primas con estos exponentes más pequeños y eleva al cuadrado el resultado.
• Multiplica juntos los resultados de los dos pasos anteriores.

El producto de todos los números primos hasta es un número de bits, según el teorema de los números primos , por lo que el tiempo para el primer paso es , con un logaritmo proveniente del divide y vencerás y otro del algoritmo de multiplicación. En las llamadas recursivas al algoritmo, se puede invocar nuevamente el teorema de los números primos para demostrar que el número de bits en los productos correspondientes disminuye en un factor constante en cada nivel de recursividad, por lo que el tiempo total para estos pasos en todos los niveles de recursividad se suma en una serie geométrica a . El tiempo para elevar al cuadrado en el segundo paso y multiplicar en el tercer paso es nuevamente , porque cada uno es una única multiplicación de un número con bits. Nuevamente, en cada nivel de recursividad, los números involucrados tienen una fracción constante de tantos bits (porque, de lo contrario, elevarlos al cuadrado repetidamente produciría un resultado final demasiado grande), por lo que nuevamente las cantidades de tiempo para estos pasos en las llamadas recursivas se suman en una serie geométrica para . En consecuencia, todo el algoritmo lleva un tiempo proporcional a una única multiplicación con el mismo número de bits en su resultado. ^[89] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$ ${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$ ${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$ ${\displaystyle O(n\log n)}$ ${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$ ${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$

Secuencias y funciones relacionadas

Varias otras secuencias de números enteros son similares o están relacionadas con los factoriales:

factorial alterno

El factorial alterno es el valor absoluto de la suma alterna de los primeros factoriales, . Estos han sido estudiados principalmente en relación con su primalidad; sólo un número finito de ellos pueden ser primos, pero no se conoce una lista completa de primos de esta forma. ^[90] ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}(-1)^{n-i}i!}$

factorial de bhargava

Los factoriales de Bhargava son una familia de secuencias de números enteros definidas por Manjul Bhargava con propiedades teóricas de números similares a las de los factoriales, incluidos los propios factoriales como un caso especial. ^[63]

factorial doble

El producto de todos los números enteros impares hasta algún entero positivo impar se ${\displaystyle n}$ llama factorial doble de y ${\displaystyle n}$ se denota por . ^[91] Es decir, ${\displaystyle n!!}$

$${\displaystyle (2k-1)!!=\prod _{i=1}^{k}(2i-1)={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}.}$$

Por ejemplo 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945 . Los factoriales dobles se utilizan en integrales trigonométricas , ^[92] en expresiones para la función gamma en semienteros y volúmenes de hiperesferas , ^[93] y para contar árboles binarios y coincidencias perfectas . ^{[91] [94]}

factorial exponencial

Así como los números triangulares suman los números desde hasta y los factoriales toman su producto, el factorial exponencial exponencia. El factorial exponencial se define recursivamente como . Por ejemplo, el factorial exponencial de 4 es ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{0}=1,\ a_{n}=n^{a_{n-1}}}$

$${\displaystyle 4^{3^{2^{1}}}=262144.}$$

Estos números crecen mucho más rápidamente que los factoriales regulares. ^[95]

Factorial descendente

Las notaciones o a veces se utilizan para representar el producto de los números enteros contando hasta e incluyendo , igual a . Esto también se conoce como factorial descendente o factorial regresivo, y la notación es un símbolo de Pochhammer. ^[96] Los factoriales descendentes cuentan el número de secuencias diferentes de elementos distintos que se pueden extraer de un universo de elementos. ^[97] Ocurren como coeficientes en las derivadas superiores de polinomios, ^[98] y en los momentos factoriales de variables aleatorias . ^[99] ${\displaystyle (x)_{n}}$ ${\displaystyle x^{\underline {n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x!/(x-n)!}$ ${\displaystyle (x)_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

hiperfactoriales

El hiperfactorial de es el producto . Estos números forman los discriminantes de los polinomios de Hermite . ^[100] Pueden interpolarse continuamente mediante la función K , ^[101] y obedecer a análogos de la fórmula de Stirling ^[102] y el teorema de Wilson. ^[103] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1^{1}\cdot 2^{2}\cdots n^{n}}$

Números de Jordania-Pólya

Los números de Jordan-Pólya son producto de factoriales y permiten repeticiones. Cada árbol tiene un grupo de simetría cuyo número de simetrías es un número de Jordan-Pólya, y cada número de Jordan-Pólya cuenta las simetrías de algún árbol. ^[104]

primordial

El primorial es el producto de números primos menores o iguales a ; esta construcción les da algunas propiedades de divisibilidad similares a las de los factoriales, ^[36] pero a diferencia de los factoriales, no tienen cuadrados . ^[105] Al igual que con los números primos factoriales , los investigadores han estudiado los números primos primoriales . ^[36] ${\displaystyle n\#}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!\pm 1}$ ${\displaystyle n\#\pm 1}$

subfactorial

El subfactorial arroja el número de trastornos de un conjunto de objetos. A veces se denota y es igual al número entero más cercano a . ^[29] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle !n}$ ${\displaystyle n!/e}$

superfactorial

El superfactorial de es el producto de los primeros factoriales. Los superfactoriales se interpolan continuamente mediante la función G de Barnes . ^[106] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Referencias

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enlaces externos

• Portal aritmético
• Portal de matemáticas

• Secuencia OEIS A000142 (Números factoriales)
• "Factorial". Enciclopedia de Matemáticas . Prensa EMS . 2001 [1994].
• Weisstein, Eric W. "Factorial". MundoMatemático .