En matemáticas , la función gamma p -ádica Γ p es una función de una variable p -ádica análoga a la función gamma . Fue definida explícitamente por primera vez por Morita (1975), aunque Boyarsky (1980) señaló que Dwork (1964) utilizó implícitamente la misma función. Diamond (1977) definió un análogo p -ádico G p de log Γ. Overholtzer (1952) había dado previamente una definición de un análogo p -ádico diferente de la función gamma, pero su función no tiene propiedades satisfactorias y no se utiliza mucho.
Definición
La función gamma p -ádica es la única función continua de un entero p -ádico x (con valores en ) tal que
para enteros positivos x , donde el producto está restringido a enteros i no divisibles por p . Como los enteros positivos son densos con respecto a la topología p -ádica en , se puede extender de forma única a la totalidad de . Aquí está el anillo de enteros p -ádicos . De la definición se deduce que los valores de son invertibles en ; esto se debe a que estos valores son productos de enteros no divisibles por p , y esta propiedad se mantiene después de la extensión continua a . Por lo tanto . Aquí está el conjunto de enteros p -ádicos invertibles .
Propiedades básicas de la función gamma p-ádica
La función gamma clásica satisface la ecuación funcional para cualquier . Esto tiene un análogo con respecto a la función gamma de Morita:
La fórmula de reflexión de Euler tiene su siguiente contraparte simple en el caso p -ádico:
donde es el primer dígito en la expansión p -ádica de x , a menos que , en cuyo caso en lugar de 0.
Valores especiales
y, en general,
En Morita la función gamma está relacionada con el símbolo de Legendre :
También se puede ver que, por lo tanto , como . [1] : 369
Otros valores especiales interesantes provienen de la fórmula de Gross-Koblitz , que primero se demostró mediante herramientas cohomológicas y luego se demostró utilizando métodos más elementales. [2] Por ejemplo,
donde denota la raíz cuadrada con primer dígito 3, y denota la raíz cuadrada con primer dígito 2. (Tales especificaciones deben hacerse siempre si hablamos de raíces).
Otro ejemplo es
donde es la raíz cuadrada de en congruente con 1 módulo 3. [3]
pag-Fórmula de Raabe ádica
La fórmula de Raabe para la función Gamma clásica dice que
Esto tiene un análogo para el logaritmo de Iwasawa de la función gamma de Morita: [4]
La función techo debe entenderse como el límite p -ádico tal que pasa por números enteros racionales.
Expansión de Mahler
La expansión de Mahler es igualmente importante para las funciones p -ádicas como la expansión de Taylor en el análisis clásico. La expansión de Mahler de la función gamma p -ádica es la siguiente: [1] : 374
donde la secuencia está definida por la siguiente identidad:
Véase también
Referencias
- Boyarsky, Maurizio (1980), "Funciones gamma p-ádicas y cohomología Dwork", Transactions of the American Mathematical Society , 257 (2): 359–369, doi :10.2307/1998301, ISSN 0002-9947, JSTOR 1998301, MR 0552263
- Diamond, Jack (1977), "La función de registro gamma p-ádica y las constantes de Euler p-ádicas", Transactions of the American Mathematical Society , 233 : 321–337, doi : 10.2307/1997840, ISSN 0002-9947, JSTOR 1997840, MR 0498503
- Diamond, Jack (1984), "Funciones gamma p-ádicas y sus aplicaciones", en Chudnovsky, David V .; Chudnovsky, Gregory V.; Cohn, Henry; et al. (eds.), Teoría de números (Nueva York, 1982) , Lecture Notes in Math., vol. 1052, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 168–175, doi :10.1007/BFb0071542, ISBN 978-3-540-12909-7, Sr. 0750664
- Dwork, Bernard (1964), "Sobre la función zeta de una hipersuperficie. II", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 80 (2): 227–299, doi :10.2307/1970392, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970392, MR 0188215
- Morita, Yasuo (1975), "Un análogo p-ádico de la función Γ", Revista de la Facultad de Ciencias. Universidad de Tokio. Sección IA. Matemáticas , 22 (2): 255–266, hdl :2261/6494, ISSN 0040-8980, MR 0424762
- Overholtzer, Gordon (1952), "Funciones suma en el análisis p-ádico elemental", American Journal of Mathematics , 74 (2): 332–346, doi :10.2307/2371998, ISSN 0002-9327, JSTOR 2371998, MR 0048493
- ^ ab Robert, Alain M. (2000). Un curso de análisis p-ádico . Nueva York: Springer-Verlag .
- ^ Robert, Alain M. (2001). "La fórmula de Gross-Koblitz revisada". Rediconti del Seminario Matemático della Università di Padova. La Revista de Matemáticas de la Universidad de Padua . 105 : 157-170. doi :10.1016/j.jnt.2009.08.005. hdl : 2437/90539 . ISSN 0041-8994. SEÑOR 1834987.
- ^ Cohen, H. (2007). Teoría de números . Vol. 2. Nueva York: Springer Science+Business Media . pág. 406.
- ^ Cohen, Henri; Eduardo, Friedman (2008). "Fórmula de Raabe para funciones gamma y zeta p-ádicas". Annales de l'Institut Fourier . 88 (1): 363–376. doi :10.5802/aif.2353. hdl : 10533/139530 . MR 2401225.