Hiperfactorial

Número calculado como producto de potencias

En matemáticas , y más específicamente en teoría de números , el hiperfactorial de un entero positivo es el producto de los números de la forma de a . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x^{x}}$ ${\displaystyle 1^{1}}$ ${\displaystyle n^{n}}$

Definición

El hiperfactorial de un entero positivo es el producto de los números . Es decir, ^{[1] [2]} Siguiendo la convención habitual para el producto vacío , el hiperfactorial de 0 es 1. La secuencia de hiperfactoriales, comenzando con , es: ^[1] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1^{1},2^{2},\dots ,n^{n}}$ $${\displaystyle H(n)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot \cdots n^{n}=\prod _{i=1}^{n}i^{i}=n^{n}H(n-1).}$$ ${\displaystyle H(0)=1}$

1, 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (secuencia A002109 en la OEIS )

Interpolación y aproximación

Los hiperfactoriales fueron estudiados a principios del siglo XIX por Hermann Kinkelin ^{[3] [4]} y James Whitbread Lee Glaisher ^{[5] [4]} Como demostró Kinkelin, así como los factoriales pueden ser interpolados continuamente por la función gamma , los hiperfactoriales pueden ser interpolados continuamente por la función K. ^[3 ]

Glaisher proporcionó una fórmula asintótica para los hiperfactoriales, análoga a la fórmula de Stirling para los factoriales: donde es la constante de Glaisher-Kinkelin . ^{[2] [5]} $${\displaystyle H(n)=An^{(6n^{2}+6n+1)/12}e^{-n^{2}/4}\left(1+{\frac {1}{720n^{2}}}-{\frac {1433}{7257600n^{4}}}+\cdots \right)\!,}$$ ${\displaystyle A\approx 1.28243}$

Otras propiedades

De acuerdo con un análogo del teorema de Wilson sobre el comportamiento de los factoriales módulo números primos , cuando es un número primo impar donde es la notación para el factorial doble . ^[4] ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle H(p-1)\equiv (-1)^{(p-1)/2}(p-1)!!{\pmod {p}},}$$ ${\displaystyle !!}$

Los hiperfactoriales dan la secuencia de discriminantes de los polinomios de Hermite en su formulación probabilística. ^[1]

Referencias

1. Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A002109 (Hiperfactoriales: Producto_{k = 1..n} k^k)", La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros , OEIS Foundation
2. Alabdulmohsin, Ibrahim M. (2018), Cálculo de sumabilidad: una teoría integral de sumas finitas fraccionarias , Cham: Springer, págs. 5-6, doi :10.1007/978-3-319-74648-7, ISBN 978-3-319-74647-0, MR  3752675, S2CID  119580816
3. Kinkelin, H. (1860), "Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechung" [Sobre una variación trascendental de la función gamma y su aplicación al cálculo integral], Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 1860 (57): 122–138, doi :10.1515/crll.1860.57.122, S2CID  120627417
4. Aebi, Christian; Cairns, Grant (2015), "Generalizaciones del teorema de Wilson para factores dobles, hiperfactoriales, subfactoriales y superfactoriales", The American Mathematical Monthly , 122 (5): 433–443, doi :10.4169/amer.math.monthly.122.5.433, JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.122.5.433, MR  3352802, S2CID  207521192
5. Glaisher, JWL (1877), "Sobre el producto 11.22.33... nn", Messenger of Mathematics , 7 : 43–47

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Hiperfactorial", MathWorld