Superfactorial

Producto de números factoriales consecutivos

En matemáticas , y más específicamente en teoría de números , el superfactorial de un entero positivo es el producto de los primeros factoriales . Son un caso especial de los números de Jordan-Pólya , que son productos de conjuntos arbitrarios de factoriales. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Definición

El superfactorial n puede definirse como: ^[1] Siguiendo la convención habitual para el producto vacío , el superfactorial de 0 es 1. La secuencia de superfactoriales, comenzando con , es: ^[1] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathit {sf}}(n)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {sf}}(n)&=1!\cdot 2!\cdot \cdots n!=\prod _{i=1}^{n}i!=n!\cdot {\mathit {sf}}(n-1)\\&=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot \cdots n=\prod _{i=1}^{n}i^{n+1-i}.\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\mathit {sf}}(0)=1}$

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, 5056584744960000, ... (secuencia A000178 en la OEIS )

Propiedades

Así como los factoriales pueden ser interpolados continuamente por la función gamma , los superfactoriales pueden ser interpolados continuamente por la función G de Barnes . ^[2]

De acuerdo con un análogo del teorema de Wilson sobre el comportamiento de los factoriales módulo números primos , cuando es un número primo impar donde es la notación para el factorial doble . ^[3] ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\mathit {sf}}(p-1)\equiv (p-1)!!{\pmod {p}},}$$ ${\displaystyle !!}$

Para cada entero , el número es un número cuadrado . Esto se puede expresar diciendo que, en la fórmula para como producto de factoriales, omitir uno de los factoriales (el del medio, ) da como resultado un producto cuadrado. ^[4] Además, si se dan números enteros, el producto de sus diferencias por pares siempre es un múltiplo de , y es igual al superfactorial cuando los números dados son consecutivos. ^[1] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathit {sf}}(4k)/(2k)!}$ ${\displaystyle {\mathit {sf}}(4k)}$ ${\displaystyle (2k)!}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle {\mathit {sf}}(n)}$

Referencias

1. Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A000178 (Superfactoriales: producto de los primeros n factoriales)", La enciclopedia en línea de secuencias de enteros , OEIS Foundation
2. Barnes, EW (1900), "La teoría de la función G", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 31 : 264–314, JFM  30.0389.02
3. Aebi, Christian; Cairns, Grant (2015), "Generalizaciones del teorema de Wilson para factores dobles, hiperfactoriales, subfactoriales y superfactoriales", The American Mathematical Monthly , 122 (5): 433–443, doi :10.4169/amer.math.monthly.122.5.433, JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.122.5.433, MR  3352802, S2CID  207521192
4. White, D.; Anderson, M. (octubre de 2020), "Uso de un problema superfactorial para proporcionar experiencias de resolución de problemas extendidas", PRIMUS , 31 (10): 1038–1051, doi :10.1080/10511970.2020.1809039, S2CID  225372700

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Superfactorial", MathWorld