El factorial exponencial es un entero positivo n elevado a la potencia n − 1, que a su vez se eleva a la potencia n − 2, y así sucesivamente en orden de agrupación por la derecha. Es decir,
El factorial exponencial también se puede definir con la relación de recurrencia
Los primeros factores exponenciales son 1 , 2 , 9 , 262144 , ... ( OEIS : A049384 o OEIS : A132859 ). Por ejemplo, 262144 es un factorial exponencial ya que
Utilizando la relación de recurrencia, los primeros factoriales exponenciales son:
Los factoriales exponenciales crecen mucho más rápido que los factoriales regulares o incluso los hiperfactoriales . El número de dígitos del factorial exponencial de 6 es aproximadamente 5 × 10 183 230 .
La suma de los recíprocos de los factoriales exponenciales de 1 en adelante es el siguiente número trascendental :
Esta suma es trascendental porque es un número de Liouville .
Al igual que la tetración , actualmente no existe un método aceptado de extensión de la función factorial exponencial a valores reales y complejos de su argumento, a diferencia de la función factorial , para la cual dicha extensión la proporciona la función gamma . Pero es posible expandirla si se define en un ancho de banda de 1.
De manera similar, existe un desacuerdo sobre el valor apropiado en 0; cualquier valor sería coherente con la definición recursiva. Una extensión suave a los números reales satisfaría , lo que sugiere un valor estrictamente entre 0 y 1.
