Número primo que es producto de los primeros n primos ± 1
En matemáticas , un primo primorial es un número primo de la forma p n # ± 1, donde p n # es el primorial de p n (es decir, el producto de los primeros n primos). [1]
Las pruebas de primalidad muestran que:
- p n # − 1 es primo para n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, ... (secuencia A057704 en la OEIS ).
- p n # + 1 es primo para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 11,... (secuencia A014545 en la OEIS ).
El primer término de la segunda secuencia es 0 porque p 0 # = 1 es el producto vacío y, por tanto, p 0 # + 1 = 2, que es primo. De manera similar, el primer término de la primera secuencia no es 1, porque p 1 # = 2 y 2 − 1 = 1 no es primo.
Los primeros primos primoriales son 2 , 3 , 5 , 7 , 29 , 31 , 211 , 2309 , 2311 , 30029, 200560490131, 304250263527209, 237687418963455507706505376013. 58309 (secuencia A228486 en el OEIS ).
En octubre de 2021 [árbitro], el primo primorial más grande conocido (de la forma p n # − 1) es 3267113# − 1 ( n = 234,725) con 1,418,398 dígitos, encontrado por el proyecto PrimeGrid . [2] [3]
A partir de 2022 [actualizar], el primo más grande conocido de la forma p n # + 1 es 392113# + 1 ( n = 33,237) con 169,966 dígitos, encontrado en 2001 por Daniel Heuer.
La prueba de Euclides de la infinidad de los números primos comúnmente se malinterpreta como si definiera los primos primoriales, de la siguiente manera: [4]
- Supongamos que los primeros n primos consecutivos, incluido 2, son los únicos primos que existen. Si p n # + 1 o p n # − 1 es un primo primorial, significa que hay primos más grandes que el n ésimo primo (si ninguno de los dos es primo, eso también prueba la infinitud de los primos, pero de manera menos directa; cada uno de estos dos números tiene un resto de p − 1 o 1 cuando se divide por cualquiera de los primeros n números primos y, por tanto, todos sus factores primos son mayores que p n ).
Ver también
Referencias
- ^ Weisstein, Eric. "Primer primordial". MundoMatemático . Wolframio . Consultado el 18 de marzo de 2015 .
- ^ Primegrid.com; anuncio del foro, 7 de diciembre de 2021
- ^ Caldwell, Chris K., Los veinte primeros: primordial (las páginas principales )
- ^ Michael Hardy y Catherine Woodgold, "Prime Simplicity", Mathematical Intelligencer , volumen 31, número 4, otoño de 2009, páginas 44–52.
Ver también
- A. Borning, "Algunos resultados de y " Math. Computadora. 26 (1972): 567–570.
- Chris Caldwell, Los veinte primeros: primordial en The Prime Pages .
- Harvey Dubner, "Primeros factoriales y primordiales". J.Rec. Matemáticas. 19 (1987): 197–203.
- Paulo Ribenboim, El nuevo libro de registros de números primos . Nueva York: Springer-Verlag (1989): 4.
