En matemáticas , los números de Euclides son números enteros de la forma E n = p n # + 1 , donde p n # es el enésimo primorial , es decir, el producto de los primeros n números primos . Llevan el nombre del antiguo matemático griego Euclides , en relación con el teorema de Euclides de que hay infinitos números primos.
Por ejemplo, los primeros tres primos son 2, 3, 5; su producto es 30 y el número de Euclides correspondiente es 31.
Los primeros números de Euclides son 3 , 7 , 31 , 211 , 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, 6469693231, 200560490131, ... (secuencia A006862 en OEIS ).
A veces se afirma falsamente que la célebre prueba de Euclides de la infinitud de los números primos se basó en estos números. [1] Euclides no comenzó con el supuesto de que el conjunto de todos los números primos sea finito. Más bien, dijo: considere cualquier conjunto finito de números primos (no asumió que contuviera sólo los primeros n números primos, por ejemplo, podría haber sido {3, 41, 53} ) y razonó a partir de ahí hasta la conclusión de que al menos un número primo existe que no está en ese conjunto. [2] Sin embargo, el argumento de Euclides, aplicado al conjunto de los primeros n primos, muestra que el n- ésimo número de Euclides tiene un factor primo que no está en este conjunto.
No todos los números de Euclides son primos. E 6 = 13# + 1 = 30031 = 59 × 509 es el primer número compuesto de Euclides.
Cada número de Euclides es congruente con 3 módulo 4 ya que el primorial que lo compone es el doble del producto de primos impares y, por lo tanto, congruente con 2 módulo 4. Esta propiedad implica que ningún número de Euclides puede ser un cuadrado .
Para todo n ≥ 3, el último dígito de E n es 1, ya que E n − 1 es divisible por 2 y 5. En otras palabras, dado que todos los números primoriales mayores que E 2 tienen 2 y 5 como factores primos, son divisibles por 10, por lo tanto todos los En ≥ 3 + 1 tienen un dígito final de 1.
¿Existe un número infinito de números primos de Euclides?
No se sabe si existe un número infinito de números primos de Euclides ( primos primos ). [3] También se desconoce si todo número de Euclides es un número libre de cuadrados . [4]
¿Todos los números de Euclides están libres de cuadrados?
Un número de Euclides de segunda clase (también llamado número de Kummer ) es un número entero de la forma E n = p n # − 1, donde p n # es el enésimo primorial. Los primeros números de este tipo son:
Al igual que con los números de Euclides, no se sabe si hay infinitos números primos de Kummer. El primero de estos números compuesto es 209 . [5]