La secuencia de Euclides-Mullin es una secuencia infinita de números primos distintos , en la que cada elemento es el factor primo mínimo de uno más el producto de todos los elementos anteriores. Llevan el nombre del antiguo matemático griego Euclides , porque su definición se basa en una idea de la prueba de Euclides de que hay infinitos números primos , y de Albert A. Mullin , quien preguntó sobre la secuencia en 1963. [1]
Los primeros 51 elementos de la secuencia son
Estos son los únicos elementos conocidos a septiembre de 2012 [actualizar]. Encontrar el siguiente requiere encontrar el factor primo mínimo de un número de 335 dígitos (que se sabe que es compuesto ).
El ésimo elemento de la secuencia, , es el factor primo mínimo de
Por lo tanto, el primer elemento es el factor primo mínimo del producto vacío más uno, que es 2. El tercer elemento es (2 × 3) + 1 = 7. Una mejor ilustración es el quinto elemento de la secuencia, 13. Esto se calcula por (2 × 3 × 7 × 43) + 1 = 1806 + 1 = 1807, el producto de dos primos, 13 × 139. De estos dos primos, 13 es el más pequeño y, por lo tanto, está incluido en la secuencia. De manera similar, el séptimo elemento, 5, es el resultado de (2 × 3 × 7 × 43 × 13 × 53) + 1 = 1244335, cuyos factores primos son 5 y 248867. Estos ejemplos ilustran por qué la secuencia puede saltar desde muy números grandes a muy pequeños.
La secuencia es infinitamente larga y no contiene elementos repetidos. Esto se puede demostrar utilizando el método de prueba de Euclides de que hay infinitos números primos . Esa prueba es constructiva , y la secuencia es el resultado de realizar una versión de esa construcción.
¿Todos los números primos aparecen en la secuencia de Euclides-Mullin?
Mullin (1963) preguntó si cada número primo aparece en la secuencia de Euclides-Mullin y, en caso contrario, si el problema de probar la pertenencia de un primo determinado a la secuencia es computable . Daniel Shanks (1991) conjeturó , sobre la base de supuestos heurísticos de que la distribución de los números primos es aleatoria, que cada número primo aparece en la secuencia. [2] Sin embargo, aunque secuencias recursivas similares en otros dominios no contienen todos los números primos, [3] estos problemas permanecen abiertos para la secuencia original de Euclid-Mullin. [4] El número primo mínimo que no se sabe que sea un elemento de la secuencia es 41.
Las posiciones de los números primos del 2 al 97 son:
dónde ? indica que el puesto (o si existe) se desconoce en 2012. [5]
Una secuencia relacionada de números determinada por el factor primo más grande de uno más el producto de los números anteriores (en lugar del factor primo más pequeño) también se conoce como secuencia de Euclides-Mullin. Crece más rápidamente, pero no es monótono . [6] Los números en esta secuencia son
No todos los números primos aparecen en esta secuencia, [7] y la secuencia de primos faltantes,
Se ha demostrado que es infinito. [8] [9]
También es posible generar versiones modificadas de la secuencia de Euclides-Mullin utilizando la misma regla de elegir el factor primo más pequeño en cada paso, pero comenzando con un primo diferente a 2. [10]
Alternativamente, tomar cada número como uno más el producto de los números anteriores (en lugar de factorizarlo) da la secuencia de Sylvester . La secuencia construida sumando repetidamente todos los factores de uno más el producto de los números anteriores es la misma que la secuencia de factores primos de la secuencia de Sylvester. Al igual que la secuencia de Euclides-Mullin, esta es una secuencia no monótona de números primos, pero se sabe que no incluye todos los números primos. [11]
