secuencia beatty

Enteros formados redondeando hacia abajo los múltiplos enteros de un número irracional positivo

En matemáticas , una secuencia de Beatty (o secuencia de Beatty homogénea ) es la secuencia de números enteros que se encuentra tomando la palabra de los múltiplos positivos de un número irracional positivo . Las secuencias de Beatty llevan el nombre de Samuel Beatty , quien escribió sobre ellas en 1926.

El teorema de Rayleigh , que lleva el nombre de Lord Rayleigh , establece que el complemento de una secuencia de Beatty, que consta de los números enteros positivos que no están en la secuencia, es en sí mismo una secuencia de Beatty generada por un número irracional diferente.

Las secuencias Beatty también se pueden utilizar para generar palabras sturmianas .

Definición

Cualquier número irracional mayor que uno genera la secuencia de Beatty. ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{r}={\bigl \{}\lfloor r\rfloor ,\lfloor 2r\rfloor ,\lfloor 3r\rfloor ,\ldots {\bigr \}}}$$

par de secuencias Beatty complementarias ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s=r/(r-1)}$ ${\displaystyle 1/r+1/s=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{r}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{s}}$

Ejemplos

Cuando es la proporción áurea , la secuencia complementaria de Beatty se genera por . En este caso, la secuencia , conocida como secuencia de Wythoff inferior , es ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=(1+{\sqrt {5}})/2\approx 1.618}$ ${\displaystyle s=r+1=(3+{\sqrt {5}})/2\approx 2.618}$ ${\displaystyle (\lfloor nr\rfloor )}$

1 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 11 , 12 , 14 , 16 , 17 , 19 , 21 , 22 , 24 , 25 , 27 , 29 , ... (secuencia A000201 en el OEIS ),

y la secuencia complementaria , la secuencia superior de Wythoff , es ${\displaystyle (\lfloor ns\rfloor )}$

2 , 5 , 7 , 10 , 13 , 15 , 18 , 20 , 23 , 26 , 28 , 31 , 34 , 36 , 39 , 41 , 44 , 47 , ... (secuencia A001950 en el OEIS ).

Estas secuencias definen la estrategia óptima para el juego de Wythoff y se utilizan en la definición de la matriz Wythoff .

Como otro ejemplo, para la raíz cuadrada de 2 , , . En este caso, las secuencias son ${\displaystyle r={\sqrt {2}}\approx 1.414}$ ${\displaystyle s=2+{\sqrt {2}}\approx 3.414}$

1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24,... (secuencia A001951 en el OEIS ), y

3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58,... (secuencia A001952 en la OEIS ).

Para y , las secuencias son ${\displaystyle r=\pi \approx 3.142}$ ${\displaystyle s=\pi /(\pi -1)\approx 1.467}$

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 47, 50, 53,... (secuencia A022844 en el OEIS ), y

1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26,... (secuencia A054386 en el OEIS ).

Cualquier número de la primera secuencia está ausente en la segunda y viceversa.

Historia

Las secuencias de Beatty obtuvieron su nombre del problema planteado en The American Mathematical Monthly por Samuel Beatty en 1926. ^{[1] [2]} Es probablemente uno de los problemas más citados jamás planteados en el Monthly . Sin embargo, incluso antes, en 1894, Lord Rayleigh mencionó brevemente tales secuencias en la segunda edición de su libro La teoría del sonido . ^[3]

teorema de Rayleigh

El teorema de Rayleigh (también conocido como teorema de Beatty ) establece que dado un número irracional existe de modo que Beatty secuencia y divide el conjunto de números enteros positivos: cada número entero positivo pertenece exactamente a una de las dos secuencias. ^[3] ${\displaystyle r>1\,,}$ ${\displaystyle s>1}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{r}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{s}}$

Primera prueba

Dado dejar . Debemos demostrar que todo número entero positivo se encuentra en una y sólo una de las dos secuencias y . Lo haremos considerando las posiciones ordinales que ocupan todas las fracciones y cuando se enumeran conjuntamente en orden no decreciente para los enteros positivos j y k . ${\displaystyle r>1\,,}$ ${\displaystyle s=r/(r-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{r}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{s}}$ ${\displaystyle j/r}$ ${\displaystyle k/s}$

Para ver que no hay dos números que puedan ocupar la misma posición (como un solo número), supongamos por el contrario que para algunos j y k . Entonces = , un número racional , pero tampoco un número racional. Por lo tanto, no hay dos números que ocupen la misma posición. ${\displaystyle j/r=k/s}$ ${\displaystyle r/s}$ ${\displaystyle j/k}$ ${\displaystyle r/s=r(1-1/r)=r-1,}$

Para cualquiera , hay números enteros positivos tales que y enteros positivos tales que , de modo que la posición de en la lista es . La ecuación implica ${\displaystyle j/r}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i/r\leq j/r}$ ${\displaystyle \lfloor js/r\rfloor }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k/s\leq j/r}$ ${\displaystyle j/r}$ ${\displaystyle j+\lfloor js/r\rfloor }$ ${\displaystyle 1/r+1/s=1}$

$${\displaystyle j+\lfloor js/r\rfloor =j+\lfloor j(s-1)\rfloor =\lfloor js\rfloor .}$$

Asimismo, la posición de en la lista es . ${\displaystyle k/s}$ ${\displaystyle \lfloor kr\rfloor }$

Conclusión: todo número entero positivo (es decir, cada posición en la lista) es de la forma  o de la forma , pero no de ambas. La afirmación inversa también es cierta: si p y q son dos números reales tales que cada entero positivo aparece exactamente una vez en la lista anterior, entonces p y q son irracionales y la suma de sus recíprocos es 1. ${\displaystyle \lfloor nr\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor ns\rfloor }$

Segunda prueba

Colisiones : Supongamos que, contrariamente al teorema, existen números enteros j  > 0 y k y m tales que

$${\displaystyle j=\left\lfloor {k\cdot r}\right\rfloor =\left\lfloor {m\cdot s}\right\rfloor \,.}$$

$${\displaystyle j\leq k\cdot r<j+1{\text{ and }}j\leq m\cdot s<j+1.}$$

Para j distinto de cero , la irracionalidad de r y s es incompatible con la igualdad, por lo que

$${\displaystyle j<k\cdot r<j+1{\text{ and }}j<m\cdot s<j+1,}$$

$${\displaystyle {j \over r}<k<{j+1 \over r}{\text{ and }}{j \over s}<m<{j+1 \over s}.}$$

Sumando estos y usando la hipótesis, obtenemos

$${\displaystyle j<k+m<j+1}$$

Anticolisiones : supongamos que, contrariamente al teorema, existen números enteros j  > 0 y k y m tales que

$${\displaystyle k\cdot r<j{\text{ and }}j+1\leq (k+1)\cdot r{\text{ and }}m\cdot s<j{\text{ and }}j+1\leq (m+1)\cdot s\,.}$$

Como j  + 1 es distinto de cero y r y s son irracionales, podemos excluir la igualdad, entonces

$${\displaystyle k\cdot r<j{\text{ and }}j+1<(k+1)\cdot r{\text{ and }}m\cdot s<j{\text{ and }}j+1<(m+1)\cdot s.}$$

Entonces obtenemos

$${\displaystyle k<{j \over r}{\text{ and }}{j+1 \over r}<k+1{\text{ and }}m<{j \over s}{\text{ and }}{j+1 \over s}<m+1}$$

Sumando las desigualdades correspondientes, obtenemos

$${\displaystyle k+m<j{\text{ and }}j+1<k+m+2}$$

$${\displaystyle k+m<j<k+m+1}$$

lo cual también es imposible. Por tanto, la suposición es falsa.

Propiedades

Un número pertenece a la secuencia de Beatty si y sólo si ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{r}}$

$${\displaystyle 1-{\frac {1}{r}}<\left[{\frac {m}{r}}\right]_{1}}$$

${\displaystyle [x]_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [x]_{1}=x-\lfloor x\rfloor }$

Prueba: ${\displaystyle m\in B_{r}}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow \exists n,m=\lfloor nr\rfloor }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow m<nr<m+1}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {m}{r}}<n<{\frac {m}{r}}+{\frac {1}{r}}}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow n-{\frac {1}{r}}<{\frac {m}{r}}<n}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow 1-{\frac {1}{r}}<\left[{\frac {m}{r}}\right]_{1}}$

Además, . ${\displaystyle m=\left\lfloor \left(\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1\right)r\right\rfloor }$

Prueba: ${\displaystyle m=\left\lfloor \left(\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1\right)r\right\rfloor }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow m<\left(\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1\right)r<m+1}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {m}{r}}<\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1<{\frac {m+1}{r}}}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow \left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1-{\frac {1}{r}}<{\frac {m}{r}}<\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow 1-{\frac {1}{r}}<{\frac {m}{r}}-\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor =\left[{\frac {m}{r}}\right]_{1}}$

Relación con las secuencias de Sturmian

la primera diferencia

$${\displaystyle \lfloor (n+1)r\rfloor -\lfloor nr\rfloor }$$

palabra característica de Sturm ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{\lfloor r\rfloor ,\lfloor r\rfloor +1\}}$

Generalizaciones

Si se modifica ligeramente, el teorema de Rayleigh se puede generalizar a números reales positivos (no necesariamente irracionales) y también a enteros negativos: si los números reales positivos y satisfacen , las secuencias y forman una partición de números enteros. Por ejemplo, las teclas blancas y negras de un teclado de piano se distribuyen como tales secuencias para y . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1/r+1/s=1}$ ${\displaystyle (\lfloor mr\rfloor )_{m\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle (\lceil ns\rceil -1)_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle r=12/7}$ ${\displaystyle s=12/5}$

El teorema de Lambek-Moser generaliza el teorema de Rayleigh y muestra que pares de secuencias más generales definidas a partir de una función entera y su inversa tienen la misma propiedad de dividir los números enteros.

El teorema de Uspensky establece que, si son números reales positivos tales que contienen todos los números enteros positivos exactamente una vez, entonces no existe un equivalente del teorema de Rayleigh para tres o más secuencias de Beatty. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle (\lfloor k\alpha _{i}\rfloor )_{k,i\geq 1}}$ ${\displaystyle n\leq 2.}$

Referencias

1. Beatty, Samuel (1926). "Problema 3173". Mensual Matemático Estadounidense . 33 (3): 159. doi : 10.2307/2300153. JSTOR  2300153.
2. S. Beatty; A. Ostrowski; J. Hyslop; AC Aitken (1927). "Soluciones al problema 3173". Mensual Matemático Estadounidense . 34 (3): 159–160. doi :10.2307/2298716. JSTOR  2298716.
3. John William Strutt, tercer barón Rayleigh (1894). La teoría del sonido. vol. 1 (Segunda ed.). Macmillan. pag. 123.{{cite book}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
4. JV Uspensky, Sobre un problema que surge de la teoría de un determinado juego, Amer. Matemáticas. Mensual 34 (1927), págs. 516–521.
5. RL Graham, Sobre un teorema de Uspensky, Amer. Matemáticas. Mensual 70 (1963), págs. 407–409.

Otras lecturas

• Holshouser, Arturo; Reiter, Harold (2001). "Una generalización del teorema de Beatty". Revista Southwest de Matemáticas Puras y Aplicadas . 2 : 24–29. Archivado desde el original el 19 de abril de 2014.
• Stolarsky, Kenneth (1976). "Secuencias Beatty, fracciones continuas y ciertos operadores de turno". Boletín de Matemáticas Canadiense . 19 (4): 473–482. doi : 10.4153/CMB-1976-071-6 . SEÑOR  0444558.Incluye muchas referencias.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Secuencia Beatty". MundoMatemático .
• Alexander Bogomolny , Beatty Sequences, Cortar el nudo