En matemáticas, la matriz Wythoff es una matriz infinita de números enteros derivada de la secuencia de Fibonacci y que lleva el nombre del matemático holandés Willem Abraham Wythoff . Cada número entero positivo ocurre exactamente una vez en la matriz, y cada secuencia de enteros definida por la recurrencia de Fibonacci se puede derivar desplazando una fila de la matriz.
La matriz Wythoff fue definida por primera vez por Morrison (1980) utilizando pares de Wythoff, las coordenadas de las posiciones ganadoras en el juego de Wythoff . También se puede definir utilizando los números de Fibonacci y el teorema de Zeckendorf , o directamente a partir de la proporción áurea y la relación de recurrencia que definen los números de Fibonacci.
La matriz Wythoff tiene los valores
Inspirándose en una matriz Stolarsky similar definida previamente por Stolarsky (1977), Morrison (1980) definió la matriz Wythoff de la siguiente manera. Denotemos la proporción áurea ; entonces la posición ganadora en el juego de Wythoff viene dada por el par de enteros positivos , donde los números en los lados izquierdo y derecho del par definen dos secuencias Beatty complementarias que juntas incluyen cada entero positivo exactamente una vez. Morrison define los dos primeros números de la fila de la matriz como el par de Wythoff dado por la ecuación , y donde los números restantes de cada fila están determinados por la relación de recurrencia de Fibonacci. Es decir, si denota la entrada en la fila y columna de la matriz, entonces
La representación de Zeckendorf de cualquier número entero positivo es una representación como una suma de números de Fibonacci distintos, de los cuales no hay dos consecutivos en la secuencia de Fibonacci. Como describe Kimberling (1995), los números dentro de cada fila de la matriz tienen representaciones de Zeckendorf que difieren entre sí por una operación de desplazamiento, y los números dentro de cada columna tienen representaciones de Zeckendorf que utilizan el mismo número de Fibonacci más pequeño. En particular, la entrada de la matriz es el enésimo número más pequeño cuya representación de Zeckendorf comienza con el enésimo número de Fibonacci.
Cada par de Wythoff aparece exactamente una vez en la matriz Wythoff, como un par consecutivo de números en la misma fila, con un índice impar para el primer número y un índice par para el segundo. Debido a que cada entero positivo ocurre exactamente en un par de Wythoff, cada entero positivo ocurre exactamente una vez en la matriz (Morrison 1980).
Cada secuencia de números enteros positivos que satisfacen la recurrencia de Fibonacci ocurre, desplazada como máximo en un número finito de posiciones, en la matriz de Wythoff. En particular, la secuencia de Fibonacci en sí es la primera fila, y la secuencia de números de Lucas aparece en forma desplazada en la segunda fila (Morrison 1980).
