Lema de Gauss (teoría de números)

Condición bajo la cual un número entero es un residuo cuadrático

El lema de Gauss en teoría de números da una condición para que un número entero sea un residuo cuadrático . Aunque no es útil computacionalmente, tiene importancia teórica, ya que está involucrado en algunas pruebas de reciprocidad cuadrática .

Hizo su primera aparición en la tercera prueba de Carl Friedrich Gauss (1808) ^{[1] : 458–462} de reciprocidad cuadrática y la demostró nuevamente en su quinta prueba (1818). ^{[1] : 496–501}

Declaración del lema

Para cualquier primo impar p, sea a un número entero coprimo de p .

Considere los números enteros

${\displaystyle a,2a,3a,\dots ,{\frac {p-1}{2}}a}$

y sus residuos menos positivos módulo p . Todos estos residuos son distintos, por lo que hay ( p − 1)/2 de ellos.

Sea n el número de estos residuos que son mayores que p /2 . Entonces

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{n},}$

¿ Dónde está el símbolo de Legendre ? ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$

Ejemplo

Tomando p = 11 y a = 7, la secuencia relevante de números enteros es

7, 14, 21, 28, 35.

Después del módulo de reducción 11, esta secuencia se convierte en

7, 3, 10, 6, 2.

Tres de estos números enteros son mayores que 11/2 (es decir, 6, 7 y 10), por lo que n = 3. En consecuencia, el lema de Gauss predice que

${\displaystyle \left({\frac {7}{11}}\right)=(-1)^{3}=-1.}$

De hecho, esto es correcto, porque 7 no es un residuo cuadrático módulo 11.

La secuencia anterior de residuos.

7, 3, 10, 6, 2

también se puede escribir

−4, 3, −1, −5, 2.

De esta forma, los números enteros mayores que 11/2 aparecen como números negativos. También es evidente que los valores absolutos de los residuos son una permutación de los residuos.

1, 2, 3, 4, 5.

Prueba

Se puede obtener una demostración bastante simple, ^{[1] : 458–462,} que recuerda a una de las demostraciones más simples del pequeño teorema de Fermat , evaluando el producto

${\displaystyle Z=a\cdot 2a\cdot 3a\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}}a}$

módulo p de dos maneras diferentes. Por un lado es igual a

${\displaystyle Z=a^{(p-1)/2}\left(1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}}\right)}$

La segunda evaluación requiere más trabajo. Si x es un módulo de residuo distinto de cero , definamos el "valor absoluto" de x como

${\displaystyle |x|={\begin{cases}x&{\mbox{if }}1\leq x\leq {\frac {p-1}{2}},\\p-x&{\mbox{if }}{\frac {p+1}{2}}\leq x\leq p-1.\end{cases}}}$

Dado que n cuenta aquellos múltiplos ka que están en el último rango, y dado que para esos múltiplos, − ka está en el primer rango, tenemos

${\displaystyle Z=(-1)^{n}\left(|a|\cdot |2a|\cdot |3a|\cdot \cdots \cdots \left|{\frac {p-1}{2}}a\right|\right).}$

Ahora observe que los valores | ra | son distintos para r = 1, 2,…, ( p − 1)/2 . De hecho, tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}|ra|&\equiv |sa|&{\pmod {p}}\\ra&\equiv \pm sa&{\pmod {p}}\\r&\equiv \pm s&{\pmod {p}}\end{aligned}}}$

porque a es coprimo de p .

Esto da r = s , ya que r y s son residuos mínimos positivos. Pero hay exactamente ( p − 1)/2 de ellos, por lo que sus valores son una reordenación de los números enteros 1, 2,…, ( p − 1)/2 . Por lo tanto,

${\displaystyle Z=(-1)^{n}\left(1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}}\right).}$

Comparando con nuestra primera evaluación, podemos cancelar el factor distinto de cero.

${\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}}}$

y nos quedamos con

${\displaystyle a^{(p-1)/2}=(-1)^{n}.}$

Este es el resultado deseado, porque según el criterio de Euler el lado izquierdo es sólo una expresión alternativa para el símbolo de Legendre . ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}$

Generalización

Para cualquier primo impar p, sea a un número entero coprimo de p .

Sea un conjunto tal que sea la unión disjunta de y . ${\displaystyle I\subset (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle -I=\{-i:i\in I\}}$

Entonces dónde . ^[2] ${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{t}}$ ${\displaystyle t=\#\{j\in I:aj\in -I\}}$

En la declaración original, . ${\displaystyle I=\{1,2,\dots ,{\frac {p-1}{2}}\}}$

La prueba es casi la misma.

Aplicaciones

El lema de Gauss se utiliza en muchos ^{[3] : cap. 1  [3] : 9} , pero de ninguna manera todas, las pruebas conocidas de reciprocidad cuadrática.

Por ejemplo, Gotthold Eisenstein ^{[3] : 236} utilizó el lema de Gauss para demostrar que si p es un primo impar, entonces

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\prod _{n=1}^{(p-1)/2}{\frac {\sin {(2\pi an/p)}}{\sin {(2\pi n/p)}}},}$

y usé esta fórmula para demostrar la reciprocidad cuadrática. Utilizando funciones elípticas en lugar de circulares , demostró las leyes de reciprocidad cúbica y cuártica . ^{[3] : Cap. 8}

Leopold Kronecker ^{[3] : Ej. 1.34} usó el lema para demostrar que

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\operatorname {sgn} \prod _{i=1}^{\frac {q-1}{2}}\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}\left({\frac {k}{p}}-{\frac {i}{q}}\right).}$

Cambiar p y q da inmediatamente reciprocidad cuadrática.

También se utiliza en las que probablemente sean las pruebas más simples de la "segunda ley suplementaria".

${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{(p^{2}-1)/8}={\begin{cases}+1{\text{ if }}p\equiv \pm 1{\pmod {8}}\\-1{\text{ if }}p\equiv \pm 3{\pmod {8}}\end{cases}}}$

poderes superiores

Se pueden utilizar generalizaciones del lema de Gauss para calcular símbolos de residuos de mayor potencia. En su segunda monografía sobre reciprocidad bicuadrática, ^{[4] : ​​§§69–71} Gauss utilizó un lema de cuarta potencia para derivar la fórmula para el carácter bicuadrático de 1 + i en Z [ i ] , el anillo de los enteros gaussianos . Posteriormente, Eisenstein utilizó versiones de tercera y cuarta potencia para demostrar la reciprocidad cúbica y cuártica . ^{[3] : Cap. 8}

n.ésimo símbolo de residuo de energía

Sea k un campo numérico algebraico con anillo de números enteros y sea un ideal primo . La norma ideal de se define como la cardinalidad del anillo de clase de residuo. Como es primo, este es un campo finito , por lo que la norma ideal es . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$ ${\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}=|{\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}}|}$

Supongamos que una primitiva n- ésima raíz de la unidad y que n y son coprimos (es decir, ). Entonces no hay dos raíces enésimas distintas de la unidad que puedan ser módulo congruente . ${\displaystyle \zeta _{n}\in {\mathcal {O}}_{k},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle n\not \in {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Esto se puede demostrar por contradicción, comenzando por asumir que mod , 0 < r < s ≤ n . Sea t = s − r tal que mod , y 0 < t < n . De la definición de raíces de unidad, ${\displaystyle \zeta _{n}^{r}\equiv \zeta _{n}^{s}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}^{t}\equiv 1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle x^{n}-1=(x-1)(x-\zeta _{n})(x-\zeta _{n}^{2})\dots (x-\zeta _{n}^{n-1}),}$

y dividiendo por x − 1 da

${\displaystyle x^{n-1}+x^{n-2}+\dots +x+1=(x-\zeta _{n})(x-\zeta _{n}^{2})\dots (x-\zeta _{n}^{n-1}).}$

Dejando x = 1 y tomando residuos mod , ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle n\equiv (1-\zeta _{n})(1-\zeta _{n}^{2})\dots (1-\zeta _{n}^{n-1}){\pmod {\mathfrak {p}}}.}$

Dado que n y son coprimos, mod pero bajo el supuesto, uno de los factores de la derecha debe ser cero. Por tanto, la suposición de que dos raíces distintas son congruentes es falsa. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle n\not \equiv 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}},}$

Por lo tanto, las clases de residuos que contienen las potencias de ζ _n son un subgrupo de orden n de su grupo (multiplicativo) de unidades. Por lo tanto, el orden de es un múltiplo de n , y ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}})^{\times }={\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}}-\{0\}.}$ ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}})^{\times }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {N} {\mathfrak {p}}&=|{\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}}|\\&=\left|({\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}})^{\times }\right|+1\\&\equiv 1{\pmod {n}}.\end{aligned}}}$

Hay un análogo del teorema de Fermat en . Si es para , entonces ^{[3] : Cap. 4.1} ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{k}}$ ${\displaystyle \alpha \not \in {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \alpha ^{\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}\equiv 1{\pmod {\mathfrak {p}}},}$

y desde mod n , ${\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}\equiv 1}$

${\displaystyle \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}\equiv \zeta _{n}^{s}{\pmod {\mathfrak {p}}}}$

está bien definido y es congruente con una única n- ésima raíz de la unidad ζ _n ^s .

Esta raíz de unidad se llama símbolo del residuo de enésima potencia y ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k},}$ se denota por

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}&=\zeta _{n}^{s}\\&\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}{\pmod {\mathfrak {p}}}.\end{aligned}}}$

Se puede demostrar que ^{[3] : Prop. 4.1}

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=1}$

si y sólo si existe un mod tal que α ≡ η ⁿ . ${\displaystyle \eta \in {\mathcal {O}}_{k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

1/ n sistemas

Sea el grupo multiplicativo de las raíces n -ésimas de la unidad, y sean representantes de las clases laterales de Entonces A se llama sistema 1/ n mod ^{[3] : Cap. 4.2} ${\displaystyle \mu _{n}=\{1,\zeta _{n},\zeta _{n}^{2},\dots ,\zeta _{n}^{n-1}\}}$ ${\displaystyle A=\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}\}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}})^{\times }/\mu _{n}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$

En otras palabras, hay números en el conjunto y este conjunto constituye un conjunto representativo de ${\displaystyle mn=\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}$ ${\displaystyle A\mu =\{a_{i}\zeta _{n}^{j}\;:\;1\leq i\leq m,\;\;\;0\leq j\leq n-1\},}$ ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}})^{\times }.}$

Los números 1, 2,… ( p − 1)/2 , usados ​​en la versión original del lema, son un sistema 1/2 (mod p ).

Construir un sistema 1/ n es sencillo: sea M un conjunto representativo de Pick any y elimine los números congruentes con de M. Elija un ₂ de M y elimine los números congruentes con Repita hasta que se agote M. Entonces { a ₁ , a ₂ , … a _m } es un mod del sistema 1/ n ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}})^{\times }.}$ ${\displaystyle a_{1}\in M}$ ${\displaystyle a_{1},a_{1}\zeta _{n},a_{1}\zeta _{n}^{2},\dots ,a_{1}\zeta _{n}^{n-1}}$ ${\displaystyle a_{2},a_{2}\zeta _{n},a_{2}\zeta _{n}^{2},\dots ,a_{2}\zeta _{n}^{n-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$

El lema para las n- ésimas potencias

El lema de Gauss se puede extender al enésimo símbolo del residuo de potencia de la siguiente manera. ^{[3] : Proposición 4.3} Sea una raíz nésima primitiva de la unidad, un ideal primo (es decir , es coprimo tanto para γ como para n ) y sea A = { a ₁ , a ₂ , …, a _m } ser a 1 / n mod del sistema ${\displaystyle \zeta _{n}\in {\mathcal {O}}_{k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$ ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {O}}_{k},\;\;n\gamma \not \in {\mathfrak {p}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$

Entonces para cada i , 1 ≤ i ≤ m , existen números enteros π ( i ) , únicos (mod m ), y b ( i ) , únicos (mod n ), tales que

${\displaystyle \gamma a_{i}\equiv \zeta _{n}^{b(i)}a_{\pi (i)}{\pmod {\mathfrak {p}}},}$

y el símbolo del residuo de n -ésima potencia viene dado por la fórmula

${\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=\zeta _{n}^{b(1)+b(2)+\dots +b(m)}.}$

El lema clásico para el símbolo cuadrático de Legendre es el caso especial n = 2 , ζ ₂ = −1 , A = {1, 2,…, ( p − 1)/2} , b ( k ) = 1 si ak > p /2 , b ( k ) = 0 si ak < p /2 .

Prueba

La prueba del lema de enésima potencia utiliza las mismas ideas que se usaron en la prueba del lema cuadrático.

La existencia de los números enteros π ( i ) y b ( i ) , y su unicidad (mod m ) y (mod n ), respectivamente, provienen del hecho de que Aμ es un conjunto representativo.

Supongamos que π ( i ) = π ( j ) = p , es decir

${\displaystyle \gamma a_{i}\equiv \zeta _{n}^{r}a_{p}{\pmod {\mathfrak {p}}}}$

y

${\displaystyle \gamma a_{j}\equiv \zeta _{n}^{s}a_{p}{\pmod {\mathfrak {p}}}.}$

Entonces

${\displaystyle \zeta _{n}^{s-r}\gamma a_{i}\equiv \zeta _{n}^{s}a_{p}\equiv \gamma a_{j}{\pmod {\mathfrak {p}}}}$

Debido a que γ y son coprimos, ambos lados se pueden dividir por γ , dando ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \zeta _{n}^{s-r}a_{i}\equiv a_{j}{\pmod {\mathfrak {p}}},}$

lo cual, dado que A es un sistema 1/ n , implica s = r e i = j , lo que demuestra que π es una permutación del conjunto {1, 2,…, m } .

Luego, por un lado, por la definición del símbolo del residuo de poder,

${\displaystyle {\begin{aligned}(\gamma a_{1})(\gamma a_{2})\dots (\gamma a_{m})&=\gamma ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}a_{1}a_{2}\dots a_{m}\\&\equiv \left({\frac {\gamma }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}a_{1}a_{2}\dots a_{m}{\pmod {\mathfrak {p}}},\end{aligned}}}$

y por otro lado, dado que π es una permutación,

${\displaystyle {\begin{aligned}(\gamma a_{1})(\gamma a_{2})\dots (\gamma a_{m})&\equiv {\zeta _{n}^{b(1)}a_{\pi (1)}}{\zeta _{n}^{b(2)}a_{\pi (2)}}\dots {\zeta _{n}^{b(m)}a_{\pi (m)}}&{\pmod {\mathfrak {p}}}\\&\equiv \zeta _{n}^{b(1)+b(2)+\dots +b(m)}a_{\pi (1)}a_{\pi (2)}\dots a_{\pi (m)}&{\pmod {\mathfrak {p}}}\\&\equiv \zeta _{n}^{b(1)+b(2)+\dots +b(m)}a_{1}a_{2}\dots a_{m}&{\pmod {\mathfrak {p}}},\end{aligned}}}$

entonces

${\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}a_{1}a_{2}\dots a_{m}\equiv \zeta _{n}^{b(1)+b(2)+\dots +b(m)}a_{1}a_{2}\dots a_{m}{\pmod {\mathfrak {p}}},}$

y dado que para todo 1 ≤ i ≤ m , a _i y son coprimos, a ₁ a ₂ … a _m se puede cancelar en ambos lados de la congruencia, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}\equiv \zeta _{n}^{b(1)+b(2)+\dots +b(m)}{\pmod {\mathfrak {p}}},}$

y el teorema se deriva del hecho de que no hay dos raíces n -ésimas distintas de la unidad que puedan ser congruentes (mod ). ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Relación con la transferencia en la teoría de grupos.

Sea G el grupo multiplicativo de clases de residuos distintos de cero en Z / p Z y sea H el subgrupo {+1, −1}. Considere las siguientes clases laterales representativas de H en G ,

${\displaystyle 1,2,3,\dots ,{\frac {p-1}{2}}.}$

Aplicando la maquinaria de transferencia a esta colección de representantes de clases laterales, obtenemos el homomorfismo de transferencia.

${\displaystyle \phi :G\to H,}$

que resulta ser el mapa que envía a a (−1) ⁿ , donde a y n son como en el enunciado del lema. El lema de Gauss puede verse entonces como un cálculo que identifica explícitamente este homomorfismo como el carácter del residuo cuadrático.

Ver también

• El lema de Zolotarev

Referencias

1. Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae y otros artículos sobre teoría de números) (en alemán), traducido por H. Maser (2ª ed.), Nueva York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8
2. Kremnizer, Kobi. Conferencias sobre teoría de números 2022 (PDF) .
3. Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Berlín: Springer , ISBN 3-540-66957-4
4. Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , vol. 7, Gotinga: comentario. Soc. ciencia regia