Pruebas de reciprocidad cuadrática

En teoría de números , la ley de reciprocidad cuadrática , al igual que el teorema de Pitágoras , se ha prestado a una cantidad inusualmente grande de demostraciones . Se han publicado varios cientos de demostraciones de la ley de reciprocidad cuadrática.

Sinopsis de la prueba

De las pruebas combinatorias elementales, hay dos que aplican tipos de doble conteo . Una de Gotthold Eisenstein cuenta los puntos de la red . Otra aplica el lema de Zolotarev a , expresado por el teorema del resto chino como y calcula la signatura de una permutación . La prueba más corta conocida también utiliza una versión simplificada del doble conteo, a saber, el doble conteo módulo un primo fijo. ${\displaystyle (\mathbb {Z} /pq\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}$

La prueba de Eisenstein

La prueba de reciprocidad cuadrática de Eisenstein es una simplificación de la tercera prueba de Gauss. Es más intuitiva desde el punto de vista geométrico y requiere menos manipulación técnica.

El punto de partida es el "lema de Eisenstein", que establece que para un primo impar p y un entero positivo a no divisible por p ,

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{\sum _{u}\left\lfloor au/p\right\rfloor },}$

donde denota la función base (el entero más grande menor o igual a x ), y donde la suma se toma sobre los enteros pares u = 2, 4, 6, ..., p −1. Por ejemplo, ${\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor }$

${\displaystyle \left({\frac {7}{11}}\right)=(-1)^{\left\lfloor 14/11\right\rfloor +\left\lfloor 28/11\right\rfloor +\left\lfloor 42/11\right\rfloor +\left\lfloor 56/11\right\rfloor +\left\lfloor 70/11\right\rfloor }=(-1)^{1+2+3+5+6}=(-1)^{17}=-1.}$

Este resultado es muy similar al lema de Gauss y se puede demostrar de manera similar (la prueba se proporciona a continuación).

Usando esta representación de ( q / p ), el argumento principal es bastante elegante. La suma cuenta el número de puntos de la red con coordenadas x pares en el interior del triángulo ABC en el siguiente diagrama: ${\textstyle \sum _{u}\left\lfloor qu/p\right\rfloor }$

Como cada columna tiene un número par de puntos (es decir, q −1 puntos), el número de dichos puntos reticulares en la región BCYX es el mismo módulo 2 que el número de dichos puntos en la región CZY:

El número de puntos con coordenada x par dentro de BCYX (marcados con O) es igual módulo 2 al número de dichos puntos en CZY (marcados con X)

Luego, al invertir el diagrama en ambos ejes, vemos que la cantidad de puntos con coordenadas x pares dentro de CZY es la misma que la cantidad de puntos dentro de AXY que tienen coordenadas x impares . Esto se puede justificar matemáticamente al observar que . ^[1] ${\displaystyle \textstyle q-1-\left\lfloor {\frac {2kq}{p}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {(p-2k)q}{p}}\right\rfloor }$

El número de puntos con coordenada x par dentro de CZY es igual al número de puntos con coordenada x impar dentro de AXY

La conclusión es que

${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\mu },}$

donde μ es el número total de puntos reticulares en el interior de AXY.

Intercambiando p y q , el mismo argumento muestra que

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\nu },}$

donde ν es el número de puntos de la red en el interior de WYA. Dado que no hay puntos de la red en la propia línea AY (porque p y q son primos entre sí ), y dado que el número total de puntos en el rectángulo WYXA es

${\displaystyle \left({\frac {p-1}{2}}\right)\left({\frac {q-1}{2}}\right),}$

Nosotros obtenemos

${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\mu +\nu }=(-1)^{(p-1)(q-1)/4}.}$

Prueba del lema de Eisenstein

Para un entero par u en el rango 1 ≤ u ≤ p −1, denotamos por r ( u ) el residuo menos positivo de au módulo p . (Por ejemplo, para p = 11, a = 7, permitimos que u = 2, 4, 6, 8, 10, y los valores correspondientes de r ( u ) son 3, 6, 9, 1, 4.)

Los números (−1) ^{r ( u )} r ( u ), tratados nuevamente como residuos menos positivos módulo p , son todos pares (en nuestro ejemplo de ejecución, son 8, 6, 2, 10, 4). Además, son todos distintos, porque si (−1) ^{r ( u )} r ( u ) ≡ (−1) ^{r ( t )} r ( t ) (mod p ), entonces podemos dividir por a para obtener u ≡ ± t (mod p ). Esto fuerza a u ≡ t (mod p ), porque tanto u como t son pares , mientras que p es impar. Dado que hay exactamente ( p −1)/2 de ellos y son distintos, deben ser simplemente un reordenamiento de los enteros pares 2, 4, ..., p −1. Al multiplicarlos, obtenemos

${\displaystyle (-1)^{r(2)}2a\cdot (-1)^{r(4)}4a\cdot \cdots \cdot (-1)^{r(p-1)}(p-1)a\equiv 2\cdot 4\cdot \cdots \cdot (p-1){\pmod {p}}.}$

Dividiendo sucesivamente por 2, 4, ..., p −1 en ambos lados (lo cual es permisible ya que ninguno de ellos es divisible por p ) y reordenando, tenemos

${\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{r(2)+r(4)+\cdots +r(p-1)}{\pmod {p}}.}$

Por otra parte, por la definición de r ( u ) y la función suelo,

${\displaystyle {\frac {au}{p}}=\left\lfloor {\frac {au}{p}}\right\rfloor +{\frac {r(u)}{p}},}$

y como p es impar y u es par,

${\displaystyle au=p\left\lfloor {\frac {au}{p}}\right\rfloor +r(u)}$

implica que y r ( u ) son congruentes módulo 2. ${\displaystyle \left\lfloor au/p\right\rfloor }$

Finalmente esto demuestra que

${\displaystyle a^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{\sum _{u}\left\lfloor au/p\right\rfloor }{\pmod {p}}.}$

Terminamos porque el lado izquierdo es solo una expresión alternativa para ( a / p ), según el criterio de Euler .

Adenda al lema

Este lema establece básicamente que el número de residuos menores después de la duplicación que son impares da el valor de ( q / p ). Esto se desprende fácilmente del lema de Gauss.

Además, implica que y r ( u ) son congruentes módulo 2, o incongruentes, dependiendo únicamente de la paridad de u . ${\displaystyle qu=p\left\lfloor {\frac {qu}{p}}\right\rfloor +r(u)}$ ${\displaystyle \left\lfloor qu/p\right\rfloor }$

Esto significa que los residuos son (in)congruentes con , y por lo tanto ${\displaystyle 1,2,\dots ,{\frac {p-1}{2}}}$ ${\displaystyle \left\lfloor qu/p\right\rfloor }$

${\displaystyle (-1)^{\frac {p-1}{2}}\equiv (-1)^{\sum _{u}\left\lfloor qu/p\right\rfloor }\equiv (-1)^{\sum _{u}r(u)+u}}$

dónde . ${\displaystyle \textstyle 1\leq u\leq {\frac {p-1}{2}}}$

Por ejemplo, utilizando el ejemplo anterior de , los residuos son y la función de piso da . El patrón de congruencia es . ${\displaystyle p=7,q=11}$ ${\displaystyle 7,3,10,6,2}$ ${\displaystyle 0,1,1,2,3}$ ${\displaystyle 1,0,1,0,1}$

Demostración mediante sumas gaussianas cuadráticas

La prueba de reciprocidad cuadrática mediante sumas de Gauss es una de las pruebas más comunes y clásicas. Estas pruebas funcionan comparando cálculos de valores individuales de dos maneras diferentes, una utilizando el criterio de Euler y la otra utilizando el teorema del binomio . Como ejemplo de cómo se utiliza el criterio de Euler, podemos usarlo para dar una prueba rápida del primer caso suplementario de determinación para un primo impar p : Por el criterio de Euler , pero como ambos lados de la equivalencia son ±1 y p es impar, podemos deducir que . ${\textstyle \left({\frac {-1}{p}}\right)}$ ${\textstyle \left({\frac {-1}{p}}\right)\equiv (-1)^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}}$ ${\textstyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}}$

El segundo caso complementario

Sea , una raíz octava primitiva de la unidad y un conjunto . Como y vemos que . Como es un entero algebraico , si p es un primo impar tiene sentido hablar de él módulo p . (Formalmente estamos considerando el anillo conmutativo formado al factorizar los enteros algebraicos con el ideal generado por p . Como no es un entero algebraico, 1, 2, ..., p son elementos distintos de .) Usando el criterio de Euler, se deduce que Podemos decir entonces que Pero también podemos calcular usando el teorema binomial. Como todos los términos cruzados en la expansión binomial contienen factores de p , encontramos que . Podemos evaluar esto con más exactitud al dividirlo en dos casos ${\textstyle \zeta _{8}=e^{2\pi i/8}}$ ${\textstyle \tau =\zeta _{8}+\zeta _{8}^{-1}}$ ${\textstyle \zeta _{8}^{2}=i}$ ${\textstyle \zeta _{8}^{-2}=-i}$ ${\textstyle \tau ^{2}=2}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle p^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathbf {A} }/p{\mathbf {A} }}$ $${\displaystyle \tau ^{p-1}=(\tau ^{2})^{\frac {p-1}{2}}=2^{\frac {p-1}{2}}\equiv \left({\frac {2}{p}}\right){\pmod {p}}}$$ $${\displaystyle \tau ^{p}\equiv \left({\frac {2}{p}}\right)\tau {\pmod {p}}}$$ ${\textstyle \tau ^{p}{\pmod {p}}}$ ${\textstyle \tau ^{p}\equiv \zeta _{8}^{p}+\zeta _{8}^{-p}{\pmod {p}}}$

• ${\textstyle p\equiv \pm 1{\pmod {8}}\Rightarrow \zeta _{8}^{p}+\zeta _{8}^{-p}=\zeta _{8}+\zeta _{8}^{-1}}$.
• ${\textstyle p\equiv \pm 3{\pmod {8}}\Rightarrow \zeta _{8}^{p}+\zeta _{8}^{-p}=-\zeta _{8}-\zeta _{8}^{-1}}$.

Estas son las únicas opciones para un primo módulo 8 y ambos casos se pueden calcular utilizando la forma exponencial . Podemos escribir esto sucintamente para todos los primos impares p como Combinando estas dos expresiones para y multiplicando por encontramos que . Dado que tanto y son ±1 y 2 es invertible módulo p , podemos concluir que ${\textstyle \zeta _{8}=e^{\frac {2\pi i}{8}}}$ $${\displaystyle \tau ^{p}\equiv (-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}\tau {\pmod {p}}}$$ ${\textstyle \tau ^{p}{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\textstyle 2\cdot \left({\frac {2}{p}}\right)\equiv 2\cdot (-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}{\pmod {p}}}$ ${\textstyle \left({\frac {2}{p}}\right)}$ ${\displaystyle (-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}}$ $${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}}$$

El caso general

La idea para la prueba general sigue el caso complementario anterior: encontrar un entero algebraico que de alguna manera codifique los símbolos de Legendre para p , luego encontrar una relación entre los símbolos de Legendre calculando la q -ésima potencia de este entero algebraico módulo q de dos maneras diferentes, una usando el criterio de Euler y la otra usando el teorema binomial.

Sea donde es una raíz primitiva p ésima de la unidad. Esta es una suma gaussiana cuadrática . Una propiedad fundamental de estas sumas gaussianas es que donde . Para poner esto en contexto de la siguiente prueba, los elementos individuales de la suma gaussiana están en el campo ciclotómico pero la fórmula anterior muestra que la suma en sí es un generador del único campo cuadrático contenido en L . Nuevamente, dado que la suma gaussiana cuadrática es un entero algebraico, podemos usar aritmética modular con ella. Usando esta fórmula fundamental y el criterio de Euler encontramos que Por lo tanto Usando el teorema del binomio, también encontramos que , Si dejamos que a sea un inverso multiplicativo de , entonces podemos reescribir esta suma como usando la sustitución , que no afecta el rango de la suma. Dado que , podemos escribir Usando estas dos expresiones para , y multiplicando por da Como es invertible módulo q , y los símbolos de Legendre son ±1, entonces podemos concluir que $${\displaystyle g_{p}=\sum _{k=1}^{p-1}\left({\frac {k}{p}}\right)\zeta _{p}^{k}}$$ ${\displaystyle \zeta _{p}=e^{2\pi i/p}}$ $${\displaystyle g_{p}^{2}=p^{*}}$$ ${\textstyle p^{*}=\left({\frac {-1}{p}}\right)p}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{p})}$ $${\displaystyle g_{p}^{q-1}=(g_{p}^{2})^{\frac {q-1}{2}}=(p^{*})^{\frac {q-1}{2}}\equiv \left({\frac {p^{*}}{q}}\right){\pmod {q}}}$$ $${\displaystyle g_{p}^{q}\equiv \left({\frac {p^{*}}{q}}\right)g_{p}{\pmod {q}}}$$ ${\textstyle g_{p}^{q}\equiv \sum _{k=1}^{p-1}\left({\frac {k}{p}}\right)\zeta _{p}^{qk}{\pmod {q}}}$ ${\displaystyle q{\pmod {p}}}$ ${\textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)\sum _{t=1}^{p-1}\left({\frac {t}{p}}\right)\zeta _{p}^{t}}$ ${\displaystyle t=qk}$ ${\textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {q}{p}}\right)}$ $${\displaystyle g_{p}^{q}\equiv \left({\frac {q}{p}}\right)g_{p}{\pmod {q}}}$$ ${\textstyle g_{p}^{q}{\pmod {q}}}$ ${\displaystyle g_{p}}$ $${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)p^{*}\equiv \left({\frac {p^{*}}{q}}\right)p^{*}{\pmod {q}}}$$ ${\displaystyle p^{*}}$ $${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p^{*}}{q}}\right)}$$

Demostración mediante la teoría de números algebraicos

La prueba presentada aquí no es de ninguna manera la más simple conocida; sin embargo, es bastante profunda, en el sentido de que motiva algunas de las ideas de reciprocidad de Artin .

Configuración del campo ciclotómico

Supongamos que p es un primo impar. La acción tiene lugar dentro del campo ciclotómico donde ζ _p es una raíz primitiva p ^-ésima de la unidad . La teoría básica de los campos ciclotómicos nos informa que existe un isomorfismo canónico. ${\displaystyle L=\mathbb {Q} (\zeta _{p}),}$

${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )\cong (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }}$

que envía el automorfismo σ _a satisfactorio al elemento En particular, este isomorfismo es inyectivo porque el grupo multiplicativo de un campo es un grupo cíclico: . ${\displaystyle \sigma _{a}(\zeta _{p})=\zeta _{p}^{a}}$ ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }.}$ ${\displaystyle F^{\times }\cong C_{p-1}}$

Consideremos ahora el subgrupo H de cuadrados de elementos de G . Puesto que G es cíclico, H tiene índice 2 en G , por lo que el subcuerpo correspondiente a H según la correspondencia de Galois debe ser una extensión cuadrática de Q . (De hecho, es la única extensión cuadrática de Q contenida en L .) La teoría del período gaussiano determina cuál de ellos; resulta ser , donde ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {p^{*}}})}$

${\displaystyle p^{*}=\left\{{\begin{array}{rl}p&{\text{if }}p\equiv 1{\pmod {4}},\\-p&{\text{if }}p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{array}}\right.}$

En este punto empezamos a ver un indicio de reciprocidad cuadrática emergiendo de nuestro marco. Por un lado, la imagen de H en consiste precisamente en los residuos cuadráticos (distintos de cero) módulo p . Por otro lado, H está relacionada con un intento de tomar la raíz cuadrada de p (o posiblemente de − p ). En otras palabras, si ahora q es un primo (distinto de p ), hemos demostrado que ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=1\quad \iff \quad \sigma _{q}\in H\quad \iff \quad \sigma _{q}{\mbox{ fixes }}\mathbb {Q} ({\sqrt {p^{*}}}).}$

El automorfismo de Frobenius

En el anillo de los enteros , elijamos cualquier ideal primo no ramificado β de que se encuentre sobre q , y sea el automorfismo de Frobenius asociado a β ; la propiedad característica de es que ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}=\mathbb {Z} [\zeta _{p}]}$ ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (x)\equiv x^{q}\!\!\!{\pmod {\beta }}\ {\text{ for any }}x\in {\mathcal {O}}_{L}.}$

(La existencia de dicho elemento de Frobenius depende en gran medida de la maquinaria de la teoría algebraica de números).

El hecho clave que necesitamos es que para cualquier subcampo K de L , ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi \,{\mbox{ fixes }}K\quad \iff \quad q\,{\mbox{ splits completely in }}K.}$

De hecho, sea δ cualquier ideal de O _K por debajo de β (y por lo tanto por encima de q ). Entonces, como para cualquier , vemos que es un Frobenius para δ. Un resultado estándar es que su orden es igual al grado inercial correspondiente; es decir, ${\displaystyle \phi (x)\equiv x^{q}\!\!\!{\pmod {\delta }}}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle \phi \vert _{K}\in \operatorname {Gal} (K/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \operatorname {ord} (\phi \vert _{K})=[O_{K}/\delta O_{K}:\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} ].}$

El lado izquierdo es igual a 1 si y solo si φ fija K , y el lado derecho es igual a uno si y solo q se divide completamente en K , así que hemos terminado.

^{Ahora bien} , dado que las raíces p de la unidad son distintas módulo β (es decir, el polinomio X ^p − 1 es separable en la característica q ), debemos tener

${\displaystyle \phi (\zeta _{p})=\zeta _{p}^{q};}$

es decir, coincide con el automorfismo σ _q definido anteriormente. Tomando K como el cuerpo cuadrático en el que estamos interesados, obtenemos la equivalencia ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=1\quad \iff \quad q\,{\mbox{ splits completely in }}\mathbb {Q} ({\sqrt {p^{*}}}).}$

Completando la prueba

Finalmente debemos demostrar que

${\displaystyle q\,{\mbox{ splits completely in }}\mathbb {Q} ({\sqrt {p^{*}}})\quad \iff \quad \left({\frac {p^{*}}{q}}\right)=1.}$

Una vez que hemos hecho esto, la ley de reciprocidad cuadrática se cumple inmediatamente ya que

${\displaystyle \left({\frac {p^{*}}{q}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)\ {\text{ for }}p\equiv 1\!\!\!{\pmod {4}},}$

y

${\displaystyle \left({\frac {p^{*}}{q}}\right)=\left({\frac {-p}{q}}\right)=\left({\frac {-1}{q}}\right)\left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}+\left({\frac {p}{q}}\right)&{\mbox{if }}q\equiv 1{\pmod {4}},\\-\left({\frac {p}{q}}\right)&{\mbox{if }}q\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

para . ${\displaystyle p\equiv 3\!\!\!{\pmod {4}}}$

Para mostrar la última equivalencia, supongamos primero que En este caso, existe algún entero x (no divisible por q ) tal que, digamos, para algún entero c . Sea y considere el ideal de K . Ciertamente divide al ideal principal ( q ). No puede ser igual a ( q ), ya que no es divisible por q . No puede ser el ideal unitario, porque entonces ${\displaystyle \left({\frac {p^{*}}{q}}\right)=1.}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv p^{*}{\pmod {q}},}$ ${\displaystyle x^{2}-p^{*}=cq}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {p^{*}}}),}$ ${\displaystyle (x-{\sqrt {p^{*}}},q)}$ ${\displaystyle x-{\sqrt {p^{*}}}}$

${\displaystyle (x+{\sqrt {p^{*}}})=(x+{\sqrt {p^{*}}})(x-{\sqrt {p^{*}}},q)=(cq,q(x+{\sqrt {p^{*}}}))}$

es divisible por q , lo cual es nuevamente imposible. Por lo tanto ( q ) debe descomponerse en K .

Por el contrario, supongamos que ( q ) se divide, y sea β un primo de K sobre q . Entonces podemos elegir algunos ${\displaystyle (q)\subsetneq \beta ,}$

${\displaystyle a+b{\sqrt {p^{*}}}\in \beta \setminus (q),{\text{ where }}a,b\in \mathbb {Q} .}$

En realidad, dado que la teoría elemental de los cuerpos cuadráticos implica que el anillo de enteros de K es precisamente así, los denominadores de a y b son, en el peor de los casos, iguales a 2. Como q ≠ 2, podemos multiplicar con seguridad a y b por 2, y suponer que donde ahora a y b están en Z . En este caso tenemos ${\displaystyle p^{*}\equiv 1\!\!\!{\pmod {4}},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {p^{*}}}}{2}}\right],}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {p^{*}}}\in \beta \setminus (q),}$

${\displaystyle (a+b{\sqrt {p^{*}}})(a-b{\sqrt {p^{*}}})=a^{2}-b^{2}p^{*}\in \beta \cap \mathbb {Z} =(q),}$

Entonces , sin embargo, q no puede dividir a b , ya que entonces q también divide a a , lo que contradice nuestra elección de Por lo tanto, podemos dividir por b módulo q , para obtener lo deseado. ${\displaystyle q\mid a^{2}-b^{2}p^{*}.}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {p^{*}}}.}$ ${\displaystyle p^{*}\equiv (ab^{-1})^{2}\!\!\!{\pmod {q}}}$

Referencias

1. "Gauß, Eisenstein y la tercera prueba del teorema de reciprocidad cuadrática: Ein kleines Schauspiel".

Todos los libros de texto sobre teoría elemental de números (y muchos sobre teoría algebraica de números ) contienen una prueba de reciprocidad cuadrática. Dos de ellas son especialmente notables:

Lemmermeyer (2000) contiene numerosas demostraciones (algunas en forma de ejercicios) de leyes de reciprocidad cuadráticas y de potencias superiores, y un análisis de su historia. Su inmensa bibliografía incluye citas bibliográficas de 196 demostraciones publicadas.

Ireland & Rosen (1990) también tiene muchas pruebas de reciprocidad cuadrática (y muchos ejercicios), y cubre también los casos cúbicos y bicuadráticos. El ejercicio 13.26 (p. 202) lo dice todo.

Cuente el número de pruebas de la ley de reciprocidad cuadrática dadas hasta ahora en este libro y diseñe otra.

• Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Una introducción clásica a la teoría de números moderna, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 84 (2.ª ed.), Nueva York: Springer , ISBN 0-387-97329-X
• Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein, Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer , ISBN 3-540-66957-4
• Rousseau, G. (1991), "Sobre la ley de reciprocidad cuadrática", Journal of the Australian Mathematical Society, Serie A , 51 , Cambridge University Press: 423–425, ISSN  1446-7887
• Washington, Lawrence C. (2012), Introducción a los campos ciclotómicos, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 83 (2.ª ed.), Nueva York: Springer , ISBN 978-1-4612-7346-2

Enlaces externos

• Cronología y bibliografía de las demostraciones de la ley de reciprocidad cuadrática de F. Lemmermeyer (332 demostraciones)