Suma gaussiana cuadrática

En teoría de números , las sumas gaussianas cuadráticas son sumas finitas determinadas de raíces de la unidad. Una suma gaussiana cuadrática se puede interpretar como una combinación lineal de los valores de la función exponencial compleja con coeficientes dados por un carácter cuadrático; para un carácter general, se obtiene una suma gaussiana más general . Estos objetos reciben su nombre de Carl Friedrich Gauss , quien los estudió extensamente y los aplicó a las leyes de reciprocidad cuadrática , cúbica y bicuadrática .

Definición

Para un número primo impar p y un entero a , la suma cuadrática de Gauss g ( a ; p ) se define como

${\displaystyle g(a;p)=\sum _{n=0}^{p-1}\zeta _{p}^{an^{2}},}$

donde es una raíz p -ésima primitiva de la unidad , por ejemplo . De manera equivalente, ${\displaystyle \zeta _{p}}$ ${\displaystyle \zeta _{p}=\exp(2\pi i/p)}$

${\displaystyle g(a;p)=\sum _{n=0}^{p-1}{\big (}1+\left({\tfrac {n}{p}}\right){\big )}\,\zeta _{p}^{an}.}$

Para un divisible por p , y tenemos y por lo tanto ${\displaystyle \zeta _{p}^{an^{2}}=1}$

${\displaystyle g(a;p)=p.}$

Para un no divisible por p , tenemos , lo que implica que ${\displaystyle \sum _{n=0}^{p-1}\zeta _{p}^{an}=0}$

${\displaystyle g(a;p)=\sum _{n=0}^{p-1}\left({\tfrac {n}{p}}\right)\,\zeta _{p}^{an}=G(a,\left({\tfrac {\cdot }{p}}\right)),}$

dónde

${\displaystyle G(a,\chi )=\sum _{n=0}^{p-1}\chi (n)\,\zeta _{p}^{an}}$

es la suma de Gauss definida para cualquier carácter χ módulo p .

Propiedades

• El valor de la suma de Gauss es un entero algebraico en el p -ésimo campo ciclotómico . ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})}$
• La evaluación de la suma de Gauss para un entero a no divisible por un primo p > 2 se puede reducir al caso a = 1 :

${\displaystyle g(a;p)=\left({\tfrac {a}{p}}\right)g(1;p).}$

• El valor exacto de la suma de Gauss para a = 1 viene dado por la fórmula: ^[1]

${\displaystyle g(1;p)=\sum _{n=0}^{p-1}e^{\frac {2\pi in^{2}}{p}}={\begin{cases}(1+i){\sqrt {p}}&{\text{if}}\ p\equiv 0{\pmod {4}},\\{\sqrt {p}}&{\text{if}}\ p\equiv 1{\pmod {4}},\\0&{\text{if}}\ p\equiv 2{\pmod {4}},\\i{\sqrt {p}}&{\text{if}}\ p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{cases}}}$

Observación

De hecho, la identidad

${\displaystyle g(1;p)^{2}=\left({\tfrac {-1}{p}}\right)p}$

Fue fácil de demostrar y condujo a una de las pruebas de Gauss de reciprocidad cuadrática . Sin embargo, la determinación del signo de la suma de Gauss resultó considerablemente más difícil: Gauss solo pudo establecerlo después de varios años de trabajo. Más tarde, Dirichlet , Kronecker , Schur y otros matemáticos encontraron otras pruebas.

Sumas de Gauss cuadráticas generalizadas

Sean a , b , c números naturales . La suma gaussiana cuadrática generalizada G ( a , b , c ) se define por

${\displaystyle G(a,b,c)=\sum _{n=0}^{c-1}e^{2\pi i{\frac {an^{2}+bn}{c}}}}$.

La suma de Gauss cuadrática clásica es la suma g ( a , p ) = G ( a , 0, p ) .

Propiedades

• La suma de Gauss G ( a , b , c ) depende únicamente de la clase de residuo de a y b módulo c .
• Las sumas de Gauss son multiplicativas , es decir, dados los números naturales a , b , c , d con mcd ( c , d ) = 1 , se tiene

${\displaystyle G(a,b,cd)=G(ac,b,d)G(ad,b,c).}$

Esta es una consecuencia directa del teorema del resto chino .

• Se tiene G ( a , b , c ) = 0 si mcd( a , c ) > 1 excepto si mcd( a , c ) divide a b en cuyo caso se tiene

${\displaystyle G(a,b,c)=\gcd(a,c)\cdot G\left({\frac {a}{\gcd(a,c)}},{\frac {b}{\gcd(a,c)}},{\frac {c}{\gcd(a,c)}}\right)}$.

Por lo tanto, en la evaluación de sumas de Gauss cuadráticas siempre se puede suponer que mcd( a , c ) = 1 .

• Sean a , b , c números enteros con ac ≠ 0 y ac + b pares. Se tiene el siguiente análogo de la ley de reciprocidad cuadrática para sumas de Gauss (aún más generales) ^[2]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{|c|-1}e^{\pi i{\frac {an^{2}+bn}{c}}}=\left|{\frac {c}{a}}\right|^{\frac {1}{2}}e^{\pi i{\frac {|ac|-b^{2}}{4ac}}}\sum _{n=0}^{|a|-1}e^{-\pi i{\frac {cn^{2}+bn}{a}}}}$.

• Definir

${\displaystyle \varepsilon _{m}={\begin{cases}1&{\text{if}}\ m\equiv 1{\pmod {4}}\\i&{\text{if}}\ m\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

para cada entero impar m . Los valores de las sumas de Gauss con b = 0 y mcd( a , c ) = 1 se dan explícitamente por

${\displaystyle G(a,c)=G(a,0,c)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ c\equiv 2{\pmod {4}}\\\varepsilon _{c}{\sqrt {c}}\left({\dfrac {a}{c}}\right)&{\text{if}}\ c\equiv 1{\pmod {2}}\\(1+i)\varepsilon _{a}^{-1}{\sqrt {c}}\left({\dfrac {c}{a}}\right)&{\text{if}}\ c\equiv 0{\pmod {4}}.\end{cases}}}$

Aquí ( ⁠a/do⁠ ) ​​es el símbolo de Jacobi . Se trata de la famosa fórmula de Carl Friedrich Gauss .

• Para b > 0, las sumas de Gauss se pueden calcular fácilmente completando el cuadrado en la mayoría de los casos. Sin embargo, esto falla en algunos casos (por ejemplo, c par y b impar), que se pueden calcular con relativa facilidad por otros medios. Por ejemplo, si c es impar y mcd( a , c ) = 1, se tiene

${\displaystyle G(a,b,c)=\varepsilon _{c}{\sqrt {c}}\cdot \left({\frac {a}{c}}\right)e^{-2\pi i{\frac {\psi (a)b^{2}}{c}}},}$

donde ψ ( a ) es algún número con 4 ψ ( a ) a ≡ 1 (mod c ) . Como otro ejemplo, si 4 divide a c y b es impar y como siempre mcd( a , c ) = 1 entonces G ( a , b , c ) = 0 . Esto puede, por ejemplo, demostrarse de la siguiente manera: debido a la propiedad multiplicativa de las sumas de Gauss solo tenemos que mostrar que G ( a , b , 2 ⁿ ) = 0 si n > 1 y a , b son impares con mcd( a , c ) = 1 . Si b es impar entonces an ² + bn es par para todo 0 ≤ n < c − 1 . Por el lema de Hensel , para cada q , la ecuación an ² + bn + q = 0 tiene como máximo dos soluciones en /2 ⁿ . ^{[ aclaración necesaria ]} Debido a un argumento de conteo, an ² + bn recorre todas las clases de residuos pares módulo c exactamente dos veces. La fórmula de suma geométrica muestra entonces que G ( a , b , 2 ⁿ ) = 0 . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Si c es un entero libre de cuadrados impares y mcd( a , c ) = 1 , entonces

${\displaystyle G(a,0,c)=\sum _{n=0}^{c-1}\left({\frac {n}{c}}\right)e^{\frac {2\pi ian}{c}}.}$

Si c no es un entero cuadrado, entonces el lado derecho se anula, mientras que el izquierdo no. A menudo, la suma derecha también se denomina suma cuadrática de Gauss.

• Otra fórmula útil

${\displaystyle G\left(n,p^{k}\right)=p\cdot G\left(n,p^{k-2}\right)}$

se cumple para k ≥ 2 y un número primo impar p , y para k ≥ 4 y p = 2 .

Véase también

• Suma de Gauss
• Periodo gaussiano
• suma de kummer
• Relación Landsberg-Schaar

Referencias

1. M. Murty, S. Pathak, The Mathematics Student Vol. 86, Núms. 1-2, enero-junio (2017), xx-yy ISSN: 0025-5742 https://mast.queensu.ca/~murty/quadratic2.pdf
2. Teorema 1.2.2 en BC Berndt, RJ Evans, KS Williams, Sumas de Gauss y Jacobi , John Wiley and Sons, (1998).

• Irlanda; Rosen (1990). Una introducción clásica a la teoría de números moderna . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97329-X.
• Berndt, Bruce C.; Evans, Ronald J.; Williams, Kenneth S. (1998). Sumas de Gauss y Jacobi . Wiley and Sons. ISBN 0-471-12807-4.
• Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Teoría analítica de números . American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3633-1.