El problema de Basilea es un problema de análisis matemático con relevancia para la teoría de números , relacionado con una suma infinita de cuadrados inversos. Fue planteado por primera vez por Pietro Mengoli en 1650 y resuelto por Leonhard Euler en 1734, [1] y leído el 5 de diciembre de 1735 en la Academia de Ciencias de San Petersburgo . [2] Dado que el problema había resistido los ataques de los principales matemáticos de la época, la solución de Euler le trajo fama inmediata cuando tenía veintiocho años. Euler generalizó considerablemente el problema, y sus ideas fueron retomadas más de un siglo después por Bernhard Riemann en su artículo fundamental de 1859 " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada ", en el que definió su función zeta y demostró sus propiedades básicas. . El problema lleva el nombre de Basilea , la ciudad natal de Euler, así como de la familia Bernoulli , que atacó el problema sin éxito.
La suma de la serie es aproximadamente igual a 1,644934. [3] El problema de Basilea pide la suma exacta de esta serie (en forma cerrada ), así como una prueba de que esta suma es correcta. Euler encontró la suma exacta y anunció este descubrimiento en 1735. Sus argumentos se basaban en manipulaciones que no estaban justificadas en ese momento, aunque luego se demostró que tenía razón. Presentó una prueba aceptada en 1741.
La solución a este problema se puede utilizar para estimar la probabilidad de que dos números aleatorios grandes sean coprimos . Dos números enteros aleatorios en el rango de 1 a , en el límite que va al infinito, son primos relativos con una probabilidad que se acerca a , el recíproco de la solución del problema de Basilea. [4]
El enfoque de Euler
La derivación original del valor de Euler esencialmente amplió las observaciones sobre polinomios finitos y supuso que estas mismas propiedades son válidas para series infinitas.
Por supuesto, el razonamiento original de Euler requiere justificación (100 años después, Karl Weierstrass demostró que la representación de Euler de la función seno como un producto infinito es válida, mediante el teorema de factorización de Weierstrass ), pero incluso sin justificación, simplemente obteniendo el valor correcto, pudo verificarlo numéricamente contra sumas parciales de la serie. El acuerdo que observó le dio suficiente confianza para anunciar su resultado a la comunidad matemática.
El teorema de factorización de Weierstrass muestra que el lado izquierdo es el producto de factores lineales dados por sus raíces, al igual que ocurre con los polinomios finitos. Euler asumió esto como una heurística para expandir un polinomio de grado infinito en términos de sus raíces, pero de hecho no siempre es cierto para el caso general . [5] Esta factorización expande la ecuación a:
Si multiplicamos formalmente este producto y reunimos todos los términos x 2 (se nos permite hacerlo debido a las identidades de Newton ), vemos por inducción que el coeficiente x 2 de pecado x/X es [6]
Pero a partir de la expansión original en serie infinita de pecado x/X , el coeficiente de x 2 es − 1/3! = − 1/6 . Estos dos coeficientes deben ser iguales; de este modo,
Multiplicar ambos lados de esta ecuación por − π 2 da la suma de los recíprocos de los números enteros cuadrados positivos.
Este método de cálculo se detalla de forma expositiva, sobre todo en el libro Gamma de Havil , que detalla muchas funciones zeta y series e integrales relacionadas con logaritmos , así como una perspectiva histórica, relacionada con la constante gamma de Euler . [7]
Generalizaciones del método de Euler utilizando polinomios simétricos elementales.
Por ejemplo, definamos el producto parcial de expandido como arriba por . Luego, usando fórmulas conocidas para polinomios simétricos elementales (también conocidas como fórmulas de Newton expandidas en términos de identidades de suma de potencias ), podemos ver (por ejemplo) que
que en nuestra situación equivale a la relación de recurrencia limitante (o función generadora de convolución, o producto ) expandida como
Luego por diferenciación y reordenamiento de los términos de la ecuación anterior, obtenemos que
Consecuencias de la prueba de Euler
Por los resultados anteriores, podemos concluir que siempre es un múltiplo racional de . En particular, dado que todas las potencias del mismo son trascendentales , podemos concluir en este punto que es irracional , y más precisamente, trascendental para todos . Por el contrario, las propiedades de las constantes zeta de índice impar , incluida la constante de Apéry , son casi completamente desconocidas.
La función zeta de Riemann
La función zeta de Riemann ζ ( s ) es una de las funciones más importantes en matemáticas debido a su relación con la distribución de los números primos . La función zeta se define para cualquier número complejo con parte real mayor que 1 mediante la siguiente fórmula:
Tomando s = 2 , vemos que ζ (2) es igual a la suma de los recíprocos de los cuadrados de todos los números enteros positivos:
La convergencia se puede demostrar mediante la prueba integral o mediante la siguiente desigualdad:
Esto nos da el límite superior 2, y debido a que la suma infinita no contiene términos negativos, debe converger a un valor estrictamente entre 0 y 2. Se puede demostrar que ζ ( s ) tiene una expresión simple en términos de los números de Bernoulli siempre que s es un número entero par positivo. Con s = 2 norte : [9]
Una prueba utilizando la fórmula de Euler y la regla de L'Hôpital.
Tenga en cuenta que al considerar potencias de orden superior de podemos usar la integración por partes para extender este método a enumerar fórmulas para cuando . En particular, supongamos que dejamos
Para obtener una prueba utilizando el teorema del residuo, consulte aquí .
Historia de esta prueba.
La prueba se remonta a Augustin Louis Cauchy (Cours d'Analyse, 1821, Nota VIII). En 1954, esta prueba apareció en el libro de Akiva e Isaak Yaglom "Problemas no elementales en una exposición elemental". Más tarde, en 1982, apareció en la revista Eureka , [11] atribuida a John Scholes, pero Scholes afirma que conoció la prueba de Peter Swinnerton-Dyer , y en cualquier caso sostiene que la prueba era "de conocimiento común en Cambridge a finales de Década de 1960". [12]
La prueba
La idea principal detrás de la prueba es limitar las sumas parciales (finitas)
entre dos expresiones, cada una de las cuales tenderá a π 2/6 cuando m se acerca al infinito. Las dos expresiones se derivan de identidades que involucran las funciones cotangente y cosecante . Estas identidades, a su vez, se derivan de la fórmula de De Moivre , y ahora pasaremos a establecer estas identidades.
Sea x un número real con 0 < x < π/2 , y sea n un número entero positivo impar. Luego, de la fórmula de De Moivre y la definición de la función cotangente, tenemos
Combinando las dos ecuaciones e igualando partes imaginarias se obtiene la identidad.
Tomamos esta identidad, fijamos un entero positivo m , establecemos n = 2 m + 1 y consideramos x r = r· π/2 metros + 1 para r = 1, 2, ..., metro . Entonces nx r es múltiplo de π y por lo tanto sin( nx r ) = 0 . Entonces,
para cada r = 1, 2, ..., m . Los valores x r = x 1 , x 2 , ..., x m son números distintos en el intervalo 0 < x r < π/2 . Dado que la función cot 2 x es uno a uno en este intervalo, los números t r = cot 2 x r son distintos para r = 1, 2, ..., m . Según la ecuación anterior, estos m números son las raíces del polinomio de m grado
Mediante las fórmulas de Vieta podemos calcular la suma de las raíces directamente examinando los dos primeros coeficientes del polinomio, y esta comparación muestra que
Sustituyendo la identidad csc 2 x = cot 2 x + 1 , tenemos
Consideremos ahora la desigualdad cot 2 x < 1/x2 < csc 2 x (ilustrado geométricamente arriba). Si sumamos todas estas desigualdades para cada uno de los números x r = r· π/2 metros + 1 , y si usamos las dos identidades anteriores, obtenemos
Multiplicando por ( π/2 metros + 1 )2 , esto se convierte
A medida que m se acerca al infinito, las expresiones de la mano izquierda y derecha se aproximan π 2/6 , entonces por el teorema de compresión ,
y esto completa la prueba.
Prueba asumiendo la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa
Para determinar una medida de Tamagawa, el grupo consta de matrices
con . Una forma de volumen invariante en el grupo es
La medida del cociente es el producto de las medidas de correspondientes al lugar infinito, y las medidas de en cada lugar finito, donde son los enteros p-ádicos .
Para los factores locales,
donde está el campo con elementos y es el módulo del subgrupo de congruencia . Dado que cada una de las coordenadas asigna el último grupo a y , la medida de es , donde está la medida de Haar normalizada . Además, un cálculo estándar muestra que . Poniéndolos juntos da .
En el lugar infinito, un cálculo integral sobre el dominio fundamental de muestra que , y por lo tanto la conjetura de Weil finalmente da.
En el lado derecho, reconocemos el producto de Euler para , y esto da la solución al problema de Basilea.
Este enfoque muestra la conexión entre la geometría (hiperbólica) y la aritmética, y puede invertirse para dar una prueba de la conjetura de Weil para el caso especial de , supeditada a una prueba independiente de que .
Otras identidades
Consulte los casos especiales de las identidades de la función zeta de Riemann cuando en las secciones siguientes aparezcan otras identidades y representaciones notablemente especiales de esta constante.
Representaciones en serie
Las siguientes son representaciones en serie de la constante: [14]
También existen expansiones en serie del tipo BBP para ζ (2) . [14]
Representaciones integrales
Las siguientes son representaciones integrales de [15] [16] [17]
fracciones continuas
En el artículo clásico de van der Poorten que narra la prueba de Apéry de la irracionalidad de , [18] el autor señala como "una pista falsa" la similitud de una fracción continua para la constante de Apery, y la siguiente para la constante de Basilea:
donde . Otra fracción continua de forma similar es: [19]
donde .
^ Vandervelde, Sam (2009), "Capítulo 9: Segmentos furtivos", Circle in a Box , Biblioteca de círculos matemáticos de MSRI, Instituto de investigación de ciencias matemáticas y Sociedad matemática estadounidense, págs.
^ A priori, dado que el lado izquierdo es un polinomio (de grado infinito), podemos escribirlo como producto de sus raíces como Entonces, como sabemos por cálculo elemental que , concluimos que la constante principal debe satisfacer .
^ Havil, J. (2003), Gamma: Explorando la constante de Euler , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, págs. 37–42 (Capítulo 4), ISBN0-691-09983-9
^ Cf., las fórmulas para números de Stirling generalizados probadas en: Schmidt, MD (2018), "Identidades combinatorias para números de Stirling generalizados que expanden las funciones factoriales f y los números armónicos f", J. Integer Seq. , 21 (Artículo 18.2.7)
^ Arakawa, Tsuneo; Ibukiyama, Tomoyoshi; Kaneko, Masanobu (2014), Números de Bernoulli y funciones Zeta , Springer, p. 61, ISBN978-4-431-54919-2
^ Freitas, FL (2023), "Solución del problema de Basilea utilizando el truco integral de Feynman", arXiv : 2312.04608 [math.CA]
^ Aigner, Martín ; Ziegler, Günter M. (2001), Pruebas del LIBRO (2ª ed.), Springer, p. 32, ISBN9783662043158; Esta anécdota falta en ediciones posteriores de este libro, que la reemplazan con una historia anterior de la misma prueba.
^ Vladimir Platonov ; Andrei Rapinchuk (1994), Grupos algebraicos y teoría de números , traducido por Rachel Rowen, Academic Press|
^ Connon, DF (2007), "Algunas series e integrales que involucran la función zeta de Riemann, coeficientes binomiales y números armónicos (Volumen I)", arXiv : 0710.4022 [math.HO]
^ van der Poorten, Alfred (1979), "Una prueba que Euler pasó por alto... La prueba de Apéry de la irracionalidad de ζ(3)" (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 1 (4): 195–203, doi :10.1007 /BF03028234, S2CID 121589323, archivado desde el original (PDF) el 6 de julio de 2011
^ Berndt, Bruce C. (1989), Cuadernos de Ramanujan: Parte II , Springer-Verlag, p. 150, ISBN978-0-387-96794-3
enlaces externos
Una serie infinita de sorpresas de CJ Sangwin
De ζ(2) a Π. La prueba. prueba paso a paso
Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques (PDF), traducción al inglés con notas del artículo de Euler de Lucas Willis y Thomas J. Osler
Ed Sandifer, Cómo lo hizo Euler (PDF)
James A. Sellers (5 de febrero de 2002), Más allá de la mera convergencia (PDF) , consultado el 27 de febrero de 2004
Robin Chapman, Evaluación de ζ(2) (catorce pruebas)
Visualización de la factorización de Euler de la función seno.
Johan W Ästlund (8 de diciembre de 2010), Sumar cuadrados inversos mediante geometría euclidiana (PDF)
¿Por qué está pi aquí? ¿Y por qué está al cuadrado? Una respuesta geométrica al problema de Basilea en YouTube (prueba animada basada en lo anterior)