Este artículo utiliza notación matemática técnica para logaritmos. Todos los casos de log( x ) sin una base de subíndice deben interpretarse como un logaritmo natural , también comúnmente escrito como ln( x ) o log e ( x ) .
Valor constante utilizado en matemáticas.
La constante de Euler (a veces llamada constante de Euler-Mascheroni ) es una constante matemática , generalmente denotada por la letra griega minúscula gamma ( γ ), definida como la diferencia límite entre la serie armónica y el logaritmo natural , denotada aquí por log :
La constante apareció por primera vez en un artículo de 1734 del matemático suizo Leonhard Euler , titulado De Progressionibus harmonicis observes (Índice de Eneström 43). Euler usó las notaciones C y O para la constante. En 1790, el matemático italiano Lorenzo Mascheroni utilizó las notaciones A y a para la constante. La notación γ no aparece en ninguna parte de los escritos de Euler ni de Mascheroni, y fue elegida más tarde, tal vez debido a la conexión de la constante con la función gamma . [2] Por ejemplo, el matemático alemán Carl Anton Bretschneider usó la notación γ en 1835, [3] y Augustus De Morgan la usó en un libro de texto publicado en partes desde 1836 hasta 1842. [4]
Apariciones
La constante de Euler aparece, entre otros lugares, a continuación (donde '*' significa que esta entrada contiene una ecuación explícita):
Modelo de Fisher-Orr para la genética de la adaptación en biología evolutiva [6]
Teoría de la superconductividad de Bardeen-Cooper-Schrieffer ( teoría BCS ), donde aparece como prefactor en la ecuación BCS sobre la temperatura crítica.
Propiedades
No se ha demostrado que el número γ sea algebraico o trascendental . De hecho, ni siquiera se sabe si γ es irracional . Utilizando un análisis de fracción continua , Papanikolaou demostró en 1997 que si γ es racional , su denominador debe ser mayor que 10 244663 . [7] [8] La ubicuidad de γ revelada por la gran cantidad de ecuaciones siguientes hace que la irracionalidad de γ sea una importante cuestión abierta en matemáticas. [9]
Sin embargo, se han logrado algunos avances. Kurt Mahler demostró en 1968 que el número es trascendental (aquí, y son funciones de Bessel ). [10] [2] En 2009, Alexander Aptekarev demostró que al menos una de las constantes de Euler γ y la constante de Euler-Gompertz δ es irracional; [11] Tanguy Rivoal demostró en 2012 que al menos uno de ellos es trascendental. [12] [2] En 2010, M. Ram Murty y N. Saradha demostraron que como máximo uno de los números de la forma
con q ≥ 2 y 1 ≤ a < q es algebraico; esta familia incluye el caso especial γ (2,4) = γ/4 . [2] [13] En 2013, M. Ram Murty y A. Zaytseva encontraron una familia diferente que contiene γ , que se basa en sumas de recíprocos de números enteros no divisibles por una lista fija de números primos, con la misma propiedad. [2] [14]
La constante también se puede expresar en términos de la suma de los recíprocos de ceros no triviales de la función zeta: [16]
Otras series relacionadas con la función zeta incluyen:
El término de error en la última ecuación es una función de n que decrece rápidamente . Como resultado, la fórmula es muy adecuada para el cálculo eficiente de la constante con alta precisión.
Otros límites interesantes que igualan la constante de Euler son el límite antisimétrico: [17]
donde ⌈ ⌉ son soportes de techo . Esta fórmula indica que al tomar cualquier entero positivo n y dividirlo por cada entero positivo k menor que n , la fracción promedio por la cual el cociente n / k no llega al siguiente entero tiende a γ (en lugar de 0,5) como n tiende a infinidad.
Estrechamente relacionada con esto está la expresión de la serie racional zeta . Al tomar por separado los primeros términos de la serie anterior, se obtiene una estimación del límite de la serie clásica:
donde ζ ( s , k ) es la función zeta de Hurwitz . La suma en esta ecuación involucra los números armónicos , H n . Ampliando algunos de los términos de la función zeta de Hurwitz se obtiene:
γ también se puede expresar de la siguiente manera, lo que se puede demostrar expresando la función zeta como una serie de Laurent :
Relación con números triangulares
Se han derivado numerosas formulaciones que expresan en términos de sumas y logaritmos de números triangulares . [18] [19] [20] [21] Una de las primeras es una fórmula [22] [23] para el número armónico ésimo atribuido a Srinivasa Ramanujan donde se relaciona en una serie que considera los poderes de (un Una prueba anterior, menos generalizable [24] [25] de Ernesto Cesàro da los dos primeros términos de la serie, con un término de error):
La serie de números triangulares inversos también aparece en el estudio del problema de Basilea [27] [28] planteado por Pietro Mengoli . Mengoli demostró que , un resultado que Jacob Bernoulli utilizó más tarde para estimar el valor de , ubicándolo entre y . Esta identidad aparece en una fórmula utilizada por Bernhard Riemann para calcular raíces de la función zeta , [29] donde se expresa en términos de la suma de raíces más la diferencia entre la expansión de Boya y la serie de fracciones unitarias exactas :
Integrales
γ es igual al valor de un número de integrales definidas :
Una comparación interesante de Sondow [30] es la doble serie integral y alterna
Muestra ese registro 4/π puede considerarse como una "constante de Euler alternante".
Las dos constantes también están relacionadas por el par de series [31]
donde N 1 ( n ) y N 0 ( n ) son el número de unos y ceros, respectivamente, en la expansión de base 2 de n .
También tenemos la integral catalana de 1875 [ 32]
Expansiones de serie
En general,
para cualquier α > − n . Sin embargo, la tasa de convergencia de esta expansión depende significativamente de α . En particular, γ n (1/2) exhibe una convergencia mucho más rápida que la expansión convencional γ n (0) . [33] [34] Esto se debe a que
mientras
Aun así, existen otras expansiones de series que convergen más rápidamente que ésta; Algunos de éstos se discuten a continuación.
Euler demostró que la siguiente serie infinita se aproxima a γ :
La serie para γ es equivalente a una serie que Nielsen encontró en 1897: [15] [35]
En 1910, Vacca encontró la serie estrechamente relacionada [36] [37] [38] [39] [40] [15] [41]
donde el n- ésimo factor es la ( n + 1) -ésima raíz de
Este producto infinito, descubierto por primera vez por Ser en 1926, fue redescubierto por Sondow utilizando funciones hipergeométricas . [49]
También sostiene que [50]
fracción continua
La expansión fraccionaria continua de γ comienza [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...], [51] que no tiene aparente patrón. Se sabe que la fracción continua tiene al menos 475.006 términos, [7] y tiene infinitos términos si y sólo si γ es irracional.
Generalizaciones
Las constantes generalizadas de Euler están dadas por
para 0 < α < 1 , con γ como el caso especial α = 1 . [52] Esto puede generalizarse aún más a
para alguna función decreciente arbitraria f . Por ejemplo,
Euler inicialmente calculó el valor de la constante con 6 decimales. En 1781 lo calculó con 16 decimales. Mascheroni intentó calcular la constante con 32 decimales, pero cometió errores en los decimales 20 a 22 y 31 a 32; a partir del dígito 20, calculó... 181 12090082 39 cuando el valor correcto es... 065 12090082 40 .
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