La fórmula de Hadjicostas

En matemáticas , la fórmula de Hadjicostas es una fórmula que relaciona una determinada integral doble con valores de la función gamma y la función zeta de Riemann . Lleva el nombre de Petros Hadjicostas.

Declaración

Sea s un número complejo con s ≠ -1 y Re( s ) > −2. Entonces

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{1-xy}}(-\log(xy))^{s}\,dx\,dy=\Gamma (s+2)\left(\zeta (s+2)-{\frac {1}{s+1}}\right).}$

Aquí Γ es la función Gamma y ζ es la función zeta de Riemann .

Fondo

El primer ejemplo de la fórmula fue demostrado y utilizado por Frits Beukers en su artículo de 1978 en el que presentaba una prueba alternativa del teorema de Apéry . ^[1] Probó la fórmula cuando s  = 0, y demostró una formulación equivalente para el caso s  = 1. Esto llevó a Petros Hadjicostas a conjeturar la fórmula anterior en 2004, ^[2] y en una semana Robin Chapman la había probado. . ^[3] Demostró que la fórmula se cumple cuando Re( s ) > −1, y luego extendió el resultado mediante continuación analítica para obtener el resultado completo.

Casos especiales

Además de los dos casos utilizados por Beukers para obtener expresiones alternativas para ζ(2) y ζ(3), la fórmula se puede utilizar para expresar la constante de Euler-Mascheroni como una integral doble haciendo que s tienda a −1:

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{(1-xy)(-\log(xy))}}\,dx\,dy.}$

Esta última fórmula fue descubierta por primera vez por Jonathan Sondow ^[4] y es a la que se hace referencia en el título del artículo de Hadjicostas.

Notas

1. Beukers, F. (1979). "Una nota sobre la irracionalidad de ζ(2) y ζ(3)". Toro. Matemáticas de Londres. Soc . 11 (3): 268–272. doi :10.1112/blms/11.3.268.
2. Hadjicostas, P. (2004). "Una conjetura-generalización de la fórmula de Sondow". arXiv : math.NT/0405423 .
3. Chapman, R. (2004). "Una prueba de la conjetura de Hadjicostas". arXiv : matemáticas/0405478 .
4. Sondow, J. (2003). "Criterios de irracionalidad de la constante de Euler". Proc. América. Matemáticas. Soc . 131 : 3335–3344. doi : 10.1090/S0002-9939-03-07081-3 .

Ver también

• Hessami Pilehrood, Kh.; Hessami Pilehrood, T. (2008). "Serie tipo Vacca para valores de la función constante de Euler generalizada y su derivada". arXiv : 0808.0410 .

• Sondow, J (2005). "Integrales dobles para la constante de Euler y ln 4/π y un análogo de la fórmula de Hadjicostas". Mensual Matemático Estadounidense . 112 : 61–65. arXiv : math.CA/0211148 . doi :10.2307/30037385.
• Sondow, Jonathan; Hadjicostas, Petros (2008). "La función constante de Euler generalizada γ (z) y una generalización de la constante de recurrencia cuadrática de Somos". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 332 : 292–314. arXiv : matemáticas/0610499 . doi :10.1016/j.jmaa.2006.09.081.