constante de euler

Relaciona logaritmos y series armónicas.

Valor constante utilizado en matemáticas.

El área de la región azul converge con la constante de Euler.

La constante de Euler (a veces llamada constante de Euler-Mascheroni ) es una constante matemática , generalmente denotada por la letra griega minúscula gamma ( γ ), definida como la diferencia límite entre la serie armónica y el logaritmo natural , denotada aquí por log :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(-\log n+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\[5px]&=\int _{1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}\right)\,dx.\end{aligned}}}$$

Aquí, ⌊·⌋ representa la función suelo .

El valor numérico de la constante de Euler, con 50 decimales, es: ^[1]

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 ... 

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Es irracional la constante de Euler? Si es así, ¿es trascendental?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Historia

La constante apareció por primera vez en un artículo de 1734 del matemático suizo Leonhard Euler , titulado De Progressionibus harmonicis observes (Índice de Eneström 43). Euler usó las notaciones C y O para la constante. En 1790, el matemático italiano Lorenzo Mascheroni utilizó las notaciones A y a para la constante. La notación γ no aparece en ninguna parte de los escritos de Euler ni de Mascheroni, y fue elegida más tarde quizás debido a la conexión de la constante con la función gamma . ^[2] Por ejemplo, el matemático alemán Carl Anton Bretschneider usó la notación γ en 1835, ^[3] y Augustus De Morgan la usó en un libro de texto publicado en partes desde 1836 hasta 1842. ^[4]

Apariciones

La constante de Euler aparece, entre otros lugares, a continuación (donde '*' significa que esta entrada contiene una ecuación explícita):

• Expresiones que involucran la integral exponencial *
• La transformada de Laplace * del logaritmo natural
• El primer término de la expansión en serie de Laurent para la función zeta de Riemann *, donde es la primera de las constantes de Stieltjes *
• Cálculos de la función digamma.
• Una fórmula de producto para la función gamma.
• La expansión asintótica de la función gamma para argumentos pequeños.
• Una desigualdad para la función totiente de Euler.
• La tasa de crecimiento de la función divisora.
• En regularización dimensional de diagramas de Feynman en teoría cuántica de campos.
• El cálculo de la constante de Meissel-Mertens.
• El tercero de los teoremas de Mertens *
• Solución de segundo tipo a la ecuación de Bessel.
• En la regularización/ renormalización de la serie armónica como valor finito
• La media de la distribución de Gumbel.
• La entropía de la información de las distribuciones de Weibull y Lévy e, implícitamente, de la distribución chi-cuadrado para uno o dos grados de libertad.
• La respuesta al problema del cobrador de cupones *
• En algunas formulaciones de la ley de Zipf
• Una definición de la integral del coseno *
• Límites inferiores a una brecha principal
• Un límite superior de la entropía de Shannon en la teoría de la información cuántica ^[5]
• Modelo de Fisher-Orr para la genética de la adaptación en biología evolutiva ^[6]

Propiedades

No se ha demostrado que el número γ sea algebraico o trascendental . De hecho, ni siquiera se sabe si γ es irracional . Utilizando un análisis de fracción continua , Papanikolaou demostró en 1997 que si γ es racional , su denominador debe ser mayor que 10 ²⁴⁴⁶⁶³ . ^{[7] [8]} La ubicuidad de γ revelada por la gran cantidad de ecuaciones siguientes hace que la irracionalidad de γ sea una cuestión abierta importante en matemáticas. ^[9]

Sin embargo, se han logrado algunos avances. Kurt Mahler demostró en 1968 que el número es trascendental (aquí, y son funciones de Bessel ). ^{[10] [2]} En 2009, Alexander Aptekarev demostró que al menos una de las constantes de Euler γ y la constante de Euler-Gompertz δ es irracional; ^[11] Tanguy Rivoal demostró en 2012 que al menos uno de ellos es trascendental. ^{[12] [2]} En 2010, M. Ram Murty y N. Saradha demostraron que como máximo uno de los números de la forma ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}{\frac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma }$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$

$${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{a+kq}}\right)-{\frac {\log {(a+nq})}{q}}\right)}$$

con q ≥ 2 y 1 ≤ a < q es algebraico; esta familia incluye el caso especial γ (2,4) =γ/4. ^{[2] [13]} En 2013, M. Ram Murty y A. Zaytseva encontraron una familia diferente que contiene γ , que se basa en sumas de recíprocos de números enteros no divisibles por una lista fija de números primos, con la misma propiedad. ^{[2] [14]}

Relación con la función gamma

γ está relacionado con la función digamma Ψ , y por lo tanto con la derivada de la función gamma Γ , cuando ambas funciones se evalúan en 1. Así:

$${\displaystyle -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).}$$

Esto es igual a los límites:

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma &=\lim _{z\to 0}\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right)\\&=\lim _{z\to 0}\left(\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right).\end{aligned}}}$$

Otros resultados límite son: ^[15]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Un límite relacionado con la función beta (expresado en términos de funciones gamma ) es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\Gamma (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\right)}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)\\&=\lim \limits _{m\to \infty }\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\log {\big (}\Gamma (k+1){\big )}.\end{aligned}}}$$

Relación con la función zeta

γ también se puede expresar como una suma infinita cuyos términos involucran la función zeta de Riemann evaluada en números enteros positivos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{m}}\\&=\log {\frac {4}{\pi }}+\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}{\frac {\zeta (m)}{2^{m-1}m}}.\end{aligned}}}$$

Otras series relacionadas con la función zeta incluyen:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\tfrac {3}{2}}-\log 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}{\big (}\zeta (m)-1{\big )}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2n-1}{2n}}-\log n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{mn}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\log 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

El término de error en la última ecuación es una función de n que decrece rápidamente . Como resultado, la fórmula es muy adecuada para el cálculo eficiente de la constante con alta precisión.

Otros límites interesantes que igualan la constante de Euler son el límite antisimétrico: ^[16]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)\\&=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)\\&=\lim _{s\to 0}{\frac {\zeta (1+s)+\zeta (1-s)}{2}}\end{aligned}}}$$

y la siguiente fórmula, establecida en 1898 por de la Vallée-Poussin :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)}$$

donde ⌈ ⌉ son soportes de techo . Esta fórmula indica que al tomar cualquier entero positivo n y dividirlo por cada entero positivo k menor que n , la fracción promedio por la cual el cociente n / k no llega al siguiente entero tiende a γ (en lugar de 0,5) como n tiende a infinidad.

Estrechamente relacionada con esto está la expresión de la serie racional zeta . Al tomar por separado los primeros términos de la serie anterior, se obtiene una estimación del límite de la serie clásica:

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}\right),}$$

donde ζ ( s , k ) es la función zeta de Hurwitz . La suma en esta ecuación involucra los números armónicos , H _n . Ampliando algunos de los términos de la función zeta de Hurwitz se obtiene:

$${\displaystyle H_{n}=\log(n)+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon ,}$$

0 < ε <1/252 nº ⁶.

γ también se puede expresar de la siguiente manera, donde A es la constante de Glaisher-Kinkelin :

$${\displaystyle \gamma =12\,\log(A)-\log(2\pi )+{\frac {6}{\pi ^{2}}}\,\zeta '(2)}$$

γ también se puede expresar de la siguiente manera, lo que se puede demostrar expresando la función zeta como una serie de Laurent :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(-n+\zeta {\Bigl (}{\frac {n+1}{n}}{\bigr )}\right)}$$

Integrales

γ es igual al valor de un número de integrales definidas :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log x\,dx\\&=-\int _{0}^{1}\log \left(\log {\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{x\cdot e^{x}}}\right)dx\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx-\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{x}}\,dx\\&=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\log x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}-e^{-x}}{x}}\,dx,\\&=\int _{0}^{1}H_{x}\,dx,\\&={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }\log \left(1+{\frac {\log \left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)dt\\&=1-\int _{0}^{1}\{1/x\}dx\end{aligned}}}$$

H _xnúmero armónico fraccionarioparte fraccionaria ${\displaystyle \{1/x\}}$ ${\displaystyle 1/x}$

La tercera fórmula de la lista integral se puede demostrar de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}+x-1}{x[e^{x}-1]}}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x[e^{x}-1]}}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m+1}}{(m+1)!}}dx\\[2pt]&=\int _{0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}x^{m}}{(m+1)![e^{x}-1]}}dx=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{e^{x}-1}}dx\\[2pt]&=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{(m+1)!}}m!\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\zeta (m+1)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}\\[2pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m+1}}{\frac {1}{n^{m+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{n}}-\log \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right]=\gamma \end{aligned}}}$$

La integral en la segunda línea de la ecuación representa el valor de la función de Debye de +∞ , que es m ! ζ ( metro + 1 ) .

Las integrales definidas en las que aparece γ incluyen:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\log x\,dx&=-{\frac {(\gamma +2\log 2){\sqrt {\pi }}}{4}}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x}\log ^{2}x\,dx&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\end{aligned}}}$$

Se puede expresar γ usando un caso especial de la fórmula de Hadjicostas como una integral doble ^{[9] [17]} con series equivalentes:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right).\end{aligned}}}$$

Una comparación interesante de Sondow ^[17] es la doble serie integral y alterna

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log {\frac {4}{\pi }}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\log xy}}\,dx\,dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left((-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\log {\frac {n+1}{n}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

Muestra ese registro4/πpuede considerarse como una "constante de Euler alternante".

Las dos constantes también están relacionadas por el par de series ^[18]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}\\\log {\frac {4}{\pi }}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}},\end{aligned}}}$$

donde N ₁ ( n ) y N ₀ ( n ) son el número de unos y ceros, respectivamente, en la expansión de base 2 de n .

También tenemos la integral catalana de 1875 ^[19]

$${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\right)\,dx.}$$

Expansiones de serie

En general,

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots +{\frac {1}{n}}-\log(n+\alpha )\right)\equiv \lim _{n\to \infty }\gamma _{n}(\alpha )}$$

para cualquier α > − n . Sin embargo, la tasa de convergencia de esta expansión depende significativamente de α . En particular, γ _n (1/2) exhibe una convergencia mucho más rápida que la expansión convencional γ _n (0) . ^{[20] [21]} Esto se debe a que

$${\displaystyle {\frac {1}{2(n+1)}}<\gamma _{n}(0)-\gamma <{\frac {1}{2n}},}$$

mientras

$${\displaystyle {\frac {1}{24(n+1)^{2}}}<\gamma _{n}(1/2)-\gamma <{\frac {1}{24n^{2}}}.}$$

Aun así, existen otras expansiones de series que convergen más rápidamente que ésta; Algunos de éstos se discuten a continuación.

Euler demostró que la siguiente serie infinita se aproxima a γ :

$${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-\log \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right).}$$

La serie para γ es equivalente a una serie que Nielsen encontró en 1897: ^{[15] [22]}

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k+1}}.}$$

En 1910, Vacca encontró la serie estrechamente relacionada ^{[23] [24] [25] [26] [27] [15] [28]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}\\[5pt]&={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{10}}-{\tfrac {1}{11}}+\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots ,\end{aligned}}}$$

donde log ₂ es el logaritmo en base 2 y ⌊  ⌋ es la función suelo .

En 1926 encontró una segunda serie:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma +\zeta (2)&=\sum _{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)\\[5pt]&=\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}{k\left\lfloor {\sqrt {k}}\right\rfloor ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum _{k=1}^{2\cdot 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum _{k=1}^{3\cdot 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

Del desarrollo de Malmsten - Kummer para el logaritmo de la función gamma ^[29] obtenemos:

$${\displaystyle \gamma =\log \pi -4\log \left(\Gamma ({\tfrac {3}{4}})\right)+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}.}$$

Una expansión importante de la constante de Euler se debe a Fontana y Mascheroni

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|G_{n}|}{n}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{72}}+{\frac {19}{2880}}+{\frac {3}{800}}+\cdots ,}$$

G _ncoeficientes de Gregory^{[15] [28] [30]}k = 1

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=H_{k-1}-\log k+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(n-1)!|G_{n}|}{k(k+1)\cdots (k+n-1)}}&&\\&=H_{k-1}-\log k+{\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{12k(k+1)}}+{\frac {1}{12k(k+1)(k+2)}}+{\frac {19}{120k(k+1)(k+2)(k+3)}}+\cdots &&\end{aligned}}}$$

convergente para k = 1, 2, ...

Una serie similar con los números de Cauchy de segunda clase C _n es ^{[28] [31]}

$${\displaystyle \gamma =1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}}{n\,(n+1)!}}=1-{\frac {1}{4}}-{\frac {5}{72}}-{\frac {1}{32}}-{\frac {251}{14400}}-{\frac {19}{1728}}-\ldots }$$

Blagouchine (2018) encontró una interesante generalización de la serie Fontana-Mascheroni

$${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2n}}{\Big \{}\psi _{n}(a)+\psi _{n}{\Big (}-{\frac {a}{1+a}}{\Big )}{\Big \}},\quad a>-1}$$

donde ψ _n ( a ) son los polinomios de Bernoulli de segunda especie , que están definidos por la función generadora

$${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{s}}{\log(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(s),\qquad |z|<1.}$$

Para cualquier a racional, esta serie contiene únicamente términos racionales. Por ejemplo, en a = 1 , se convierte en ^{[32] [33]}

$${\displaystyle \gamma ={\frac {3}{4}}-{\frac {11}{96}}-{\frac {1}{72}}-{\frac {311}{46080}}-{\frac {5}{1152}}-{\frac {7291}{2322432}}-{\frac {243}{100352}}-\ldots }$$

$${\displaystyle \gamma =-\log(a+1)-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)}{n}},\qquad \Re (a)>-1}$$

y

$${\displaystyle \gamma =-{\frac {2}{1+2a}}\left\{\log \Gamma (a+1)-{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{n}}\right\},\qquad \Re (a)>-1}$$

donde Γ( a ) es la función gamma . ^[30]

Una serie relacionada con el algoritmo de Akiyama-Tanigawa es

$${\displaystyle \gamma =\log(2\pi )-2-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}G_{n}(2)}{n}}=\log(2\pi )-2+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {7}{540}}+{\frac {17}{2880}}+{\frac {41}{12600}}+\ldots }$$

donde G _n (2) son los coeficientes de Gregory de segundo orden. ^[30]

Como una serie de números primos :

$${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\log n-\sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p-1}}\right).}$$

Expansiones asintóticas

γ es igual a las siguientes fórmulas asintóticas (donde H _n es el n- ésimo número armónico ):

• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log n-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+\cdots }$( Euler )
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-\log \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{2}}}+\cdots }\right)}$( Negoi )
• ${\textstyle \gamma \sim H_{n}-{\frac {\log n+\log(n+1)}{2}}-{\frac {1}{6n(n+1)}}+{\frac {1}{30n^{2}(n+1)^{2}}}-\cdots }$( Cesáro )

La tercera fórmula también se llama expansión de Ramanujan .

Alabdulmohsin derivó expresiones en forma cerrada para las sumas de errores de estas aproximaciones. ^[31] Demostró que (Teorema A.1):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }\log n+\gamma -H_{n}+{\frac {1}{2n}}&={\frac {\log(2\pi )-1-\gamma }{2}}\\\sum _{n=1}^{\infty }\log {\sqrt {n(n+1)}}+\gamma -H_{n}&={\frac {\log(2\pi )-1}{2}}-\gamma \\\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\Big (}\log n+\gamma -H_{n}{\Big )}&={\frac {\log \pi -\gamma }{2}}\end{aligned}}}$$

Exponencial

La constante e ^γ es importante en la teoría de números. Algunos autores denotan esta cantidad simplemente como γ ′ . e ^γ es igual al siguiente límite , donde p _n es el enésimo número primo :

$${\displaystyle e^{\gamma }=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log p_{n}}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{p_{i}-1}}.}$$

Esto reafirma el tercero de los teoremas de Mertens . ^[34] El valor numérico de e ^γ es: ^[35]

1.78107 24179 90197 98523 65041 03107 17954 91696 45214 30343 ... .

Otros productos infinitos relacionados con e ^γ incluyen:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{1+{\frac {\gamma }{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-1+{\frac {1}{2n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\\{\frac {e^{3+2\gamma }}{2\pi }}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{-2+{\frac {2}{n}}}\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$$

Estos productos son el resultado de la función Barnes G.

Además,

$${\displaystyle e^{\gamma }={\sqrt {\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}}\cdot {\sqrt[{5}]{\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}}\cdots }$$

donde el n -ésimo factor es la ( n + 1) -ésima raíz de

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.}$$

Este producto infinito, descubierto por primera vez por Ser en 1926, fue redescubierto por Sondow utilizando funciones hipergeométricas . ^[36]

También sostiene que ^[37]

$${\displaystyle {\frac {e^{\frac {\pi }{2}}+e^{-{\frac {\pi }{2}}}}{\pi e^{\gamma }}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(e^{-{\frac {1}{n}}}\left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}\right)\right).}$$

fracción continua

La expansión fraccionaria continua de γ comienza [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...], [38] que ^no tiene aparente patrón. Se sabe que la fracción continua tiene al menos 475.006 términos, ^[7] y tiene infinitos términos si y sólo si γ es irracional.

Generalizaciones

abm( x ) = γ _{− x}

Las constantes generalizadas de Euler están dadas por

$${\displaystyle \gamma _{\alpha }=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\alpha }}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x^{\alpha }}}\,dx\right),}$$

para 0 < α < 1 , con γ como el caso especial α = 1 . ^[39] Esto puede generalizarse aún más a

$${\displaystyle c_{f}=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}f(k)-\int _{1}^{n}f(x)\,dx\right)}$$

para alguna función decreciente arbitraria f . Por ejemplo,

$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {(\log x)^{n}}{x}}}$$

da lugar a las constantes de Stieltjes , y

$${\displaystyle f_{a}(x)=x^{-a}}$$

da

$${\displaystyle \gamma _{f_{a}}={\frac {(a-1)\zeta (a)-1}{a-1}}}$$

donde nuevamente el limite

$${\displaystyle \gamma =\lim _{a\to 1}\left(\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}\right)}$$

aparece.

Una generalización límite bidimensional es la constante de Masser-Gramain.

Las constantes de Euler-Lehmer vienen dadas por la suma de inversas de números en una clase de módulo común: ^[13]

$${\displaystyle \gamma (a,q)=\lim _{x\to \infty }\left(\sum _{0<n\leq x \atop n\equiv a{\pmod {q}}}{\frac {1}{n}}-{\frac {\log x}{q}}\right).}$$

Las propiedades básicas son

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\gamma (0,q)={\frac {\gamma -\log q}{q}},\\&\sum _{a=0}^{q-1}\gamma (a,q)=\gamma ,\\&q\gamma (a,q)=\gamma -\sum _{j=1}^{q-1}e^{-{\frac {2\pi aij}{q}}}\log \left(1-e^{\frac {2\pi ij}{q}}\right),\end{aligned}}}$$

y si el máximo común divisor mcd( a , q ) = d entonces

$${\displaystyle q\gamma (a,q)={\frac {q}{d}}\gamma \left({\frac {a}{d}},{\frac {q}{d}}\right)-\log d.}$$

Dígitos publicados

Euler inicialmente calculó el valor de la constante con 6 decimales. En 1781 lo calculó con 16 decimales. Mascheroni intentó calcular la constante con 32 decimales, pero cometió errores en los decimales 20 a 22 y 31 a 32; a partir del dígito 20, calculó... 181 12090082 39 cuando el valor correcto es... 065 12090082 40 .

Referencias

• Bretschneider, Carl Anton (1837) [1835]. "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova". Diario de Crelle (en latín). 17 : 257–285.
• Havil, Julián (2003). Gamma: explorando la constante de Euler . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-09983-5.
• Ram Murty, M.; Saradha, N. (2010). "Constantes de Euler-Lehmer y una conjetura de Erdos". Revista de teoría de números . 130 (12): 2671–2681. doi : 10.1016/j.jnt.2010.07.004 . ISSN  0022-314X.

Notas a pie de página

1. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A001620 (Expansión decimal de la constante de Euler (o constante de Euler-Mascheroni), gamma)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
2. Lagarias, Jeffrey C. (octubre de 2013). "La constante de Euler: el trabajo de Euler y los desarrollos modernos". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 50 (4): 556. arXiv : 1303,1856 . doi :10.1090/s0273-0979-2013-01423-x. S2CID  119612431.
3. Bretschneider 1837, " γ = c = 0,577215 664901 532860 618112 090082 3... " en la p. 260.
4. De Morgan, Augusto (1836-1842). El cálculo diferencial e integral . Londres: Baldwin y Craddoc. " γ " en la pág. 578.
5. Cuevas, Carlton M .; Fuchs, Christopher A. (1996). "Información cuántica: ¿Cuánta información hay en un vector de estado?". El dilema de Einstein, Podolsky y Rosen: 60 años después . Sociedad de Física de Israel. arXiv : quant-ph/9601025 . Código bibliográfico : 1996quant.ph..1025C. ISBN 9780750303941. OCLC  36922834.
6. Connallon, Tim; Hodgins, Kathryn A. (octubre de 2021). "Allen Orr y la genética de la adaptación". Evolución . 75 (11): 2624–2640. doi :10.1111/evo.14372. PMID  34606622. S2CID  238357410.
7. Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1998). "Evaluación rápida de multiprecisión de series de números racionales". En Buhler, Joe P. (ed.). Teoría algorítmica de números . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 1423. Saltador. págs. 338–350. doi :10.1007/bfb0054873. ISBN 9783540691136.
8. Papanikolaou, T. (1997). Entwurf und Entwicklung einer objektorientierten Bibliothek für algoritmische Zahlentheorie (Tesis) (en alemán). Universität des Saarlandes.
9. Véase también Sondow, Jonathan (2003). "Criterios de irracionalidad de la constante de Euler". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 131 (11): 3335–3344. arXiv : math.NT/0209070 . doi :10.1090/S0002-9939-03-07081-3. S2CID  91176597.
10. Mahler, Kurt; Mordell, Louis Joel (4 de junio de 1968). "Aplicaciones de un teorema de AB Shidlovski". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Matemáticas y Físicas . 305 (1481): 149-173. Código Bib : 1968RSPSA.305..149M. doi :10.1098/rspa.1968.0111. S2CID  123486171.
11. Aptekarev, AI (28 de febrero de 2009). "Sobre formas lineales que contienen la constante de Euler". arXiv : 0902.1768 [matemáticas.NT].
12. Rivoal, Tanguy (2012). "Sobre la naturaleza aritmética de los valores de la función gamma, la constante de Euler y la constante de Gompertz". Revista de matemáticas de Michigan . 61 (2): 239–254. doi : 10.1307/mmj/1339011525 . ISSN  0026-2285.
13. Ram Murty y Saradha 2010.
14. Murty, M. Ram; Zaytseva, Anastasia (2013). "Trascendencia de las constantes de Euler generalizadas". El Mensual Matemático Estadounidense . 120 (1): 48–54. doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.01.048. ISSN  0002-9890. JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.120.01.048. S2CID  20495981.
15. Krämer, Stefan (2005). Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen (en alemán). Universidad de Gotinga.
16. Sondow, Jonathan (1998). "Una fórmula antisimétrica para la constante de Euler". Revista Matemáticas . 71 (3): 219–220. doi :10.1080/0025570X.1998.11996638. Archivado desde el original el 4 de junio de 2011 . Consultado el 29 de mayo de 2006 .
17. Sondow, Jonathan (2005). "Integrales dobles para la constante de Euler y un análogo de la fórmula de Hadjicostas". Mensual Matemático Estadounidense . 112 (1): 61–65. arXiv : math.CA/0211148 . doi :10.2307/30037385. JSTOR  30037385. ${\displaystyle \log {\frac {4}{\pi }}}$
18. Sondow, Jonathan (1 de agosto de 2005a). "Nueva serie racional tipo Vacca para la constante de Euler y su análogo 'alterno'" . arXiv : math.NT/0508042 . ${\displaystyle \log {\frac {4}{\pi }}}$
19. Sondow, Jonathan; Zudilin, Wadim (2006). "Constante de Euler, q -logaritmos y fórmulas de Ramanujan y Gosper". El diario Ramanujan . 12 (2): 225–244. arXiv : math.NT/0304021 . doi :10.1007/s11139-006-0075-1. S2CID  1368088.
20. DeTemple, Duane W. (mayo de 1993). "Una convergencia más rápida con la constante de Euler". El Mensual Matemático Estadounidense . 100 (5): 468–470. doi :10.2307/2324300. ISSN  0002-9890. JSTOR  2324300.
21. Havil 2003, págs. 75–8.
22. Blagouchine 2016.
23. Vacca, G. (1910). "Una nueva expresión analítica para el número π y algunas consideraciones históricas". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 16 : 368–369. doi : 10.1090/S0002-9904-1910-01919-4 .
24. Glaisher, James Whitbread Lee (1910). "Sobre la serie del Dr. Vacca para γ ". Aplicación pura QJ. Matemáticas . 41 : 365–368.
25. Resistente, GH (1912). "Nota sobre la serie del Dr. Vacca para γ ". Aplicación pura QJ. Matemáticas . 43 : 215-216.
26. Vacca, G. (1926). "Nueva serie para la costante di Eulero, C = 0,577...". Rediconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche". Matematiche e Naturali (en italiano). 6 (3): 19-20.
27. Kluyver, JC (1927). "Sobre ciertas series del Sr. Hardy". Aplicación pura QJ. Matemáticas . 50 : 185-192.
28. Blagouchine, Iaroslav V. (2016). "Expansiones de las constantes de Euler generalizadas en la serie de polinomios en π ⁻² y en la serie envolvente formal con coeficientes racionales únicamente". J. Teoría de números . 158 : 365–396. arXiv : 1501.00740 . doi :10.1016/j.jnt.2015.06.012.
29. Blagouchine, Iaroslav V. (2014). "Redescubrimiento de las integrales de Malmsten, su evaluación mediante métodos de integración de contornos y algunos resultados relacionados". El diario Ramanujan . 35 (1): 21-110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5. S2CID  120943474.
30. Blagouchine, Iaroslav V. (2018). "Tres notas sobre las representaciones de Ser y Hasse para las funciones zeta". ENTEROS: La revista electrónica de teoría combinatoria de números . 18A (#A3): 1–45. arXiv : 1606.02044 . Código Bib : 2016arXiv160602044B.
31. Alabdulmohsin, Ibrahim M. (2018). Cálculo de sumabilidad. Una teoría integral de sumas finitas fraccionarias . Saltador . págs. 147–8. ISBN 9783319746487.
32. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A302120 (Valor absoluto de los numeradores de una serie que converge a la constante de Euler)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
33. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A302121 (Denominadores de una serie que convergen a la constante de Euler)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
34. Ramaré, Olivier (2022). Excursiones en teoría de números multiplicativos. Textos avanzados de Birkhäuser: libros de texto de Basilea. Basilea: Birkhäuser/Springer. pag. 131. doi :10.1007/978-3-030-73169-4. ISBN 978-3-030-73168-7. SEÑOR  4400952. S2CID  247271545.
35. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A073004 (Expansión decimal de exp (gamma))". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
36. Sondow, Jonathan (2003). "Un producto infinito para e ^γ mediante fórmulas hipergeométricas para la constante de Euler, γ ". arXiv : math.CA/0306008 .
37. Choi, Junesang; Srivastava, HM (1 de septiembre de 2010). "Representaciones integrales de la constante γ de Euler-Mascheroni ". Transformadas Integrales y Funciones Especiales . 21 (9): 675–690. doi :10.1080/10652461003593294. ISSN  1065-2469. S2CID  123698377.
38. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A002852 (Fracción continua de la constante de Euler)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
39. Havil 2003, págs. 117-18.
40. Knuth, Donald E. (julio de 1962). "Constante de Euler hasta 1271 lugares". Matemáticas de la Computación . Sociedad Matemática Estadounidense . 16 (79): 275–281. doi :10.2307/2004048. JSTOR  2004048.
41. Sí, Alexander J. (7 de marzo de 2011). "Grandes cálculos". www.numberworld.org .
42. Yee, Alexander J. "Récords establecidos por y-cruncher". www.numberworld.org . Consultado el 30 de abril de 2018 .
    Yee, Alexander J. "y-cruncher: un programa Pi de subprocesos múltiples". www.numberworld.org .
43. "Constante de Euler-Mascheroni". Coleccionista de polímatas . 15 de febrero de 2020.

Otras lecturas

• Borwein, Jonathan M.; David M. Bradley; Richard E. Crandall (2000). "Estrategias computacionales para la función Riemann Zeta" (PDF) . Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 121 (1–2): 11. Bibcode : 2000JCoAM.121..247B. doi : 10.1016/s0377-0427(00)00336-8 .Deriva γ como sumas de funciones zeta de Riemann.
• Pinzón, Steven R. (2003). Constantes matemáticas . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. vol. 94. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-81805-2.
• Gerst, I. (1969). "Algunas series para la constante de Euler". América. Matemáticas. Mensual . 76 (3): 237–275. doi :10.2307/2316370. JSTOR  2316370.
• Glaisher, James Whitbread Lee (1872). "Sobre la historia de la constante de Euler". Mensajero de las Matemáticas . 1 : 25–30. JFM  03.0130.01.
• Gourdon, Xavier; Sebah, P. (2002). "Colección de fórmulas para la constante de Euler, γ".
• Gourdon, Xavier; Sebah, P. (2004). "La constante de Euler: γ".
• Karatsuba, EA (1991). "Evaluación rápida de funciones trascendentales". Problema. inf. Trans . 27 (44): 339–360.
• Karatsuba, EA (2000). "Sobre el cálculo de la constante de Euler γ ". Revista de algoritmos numéricos . 24 (1–2): 83–97. doi :10.1023/A:1019137125281. S2CID  21545868.
• Knuth, Donald (1997). El arte de la programación informática, vol. 1 (3ª ed.). Addison-Wesley. págs. 75, 107, 114, 619–620. ISBN 0-201-89683-4.
• Lehmer, DH (1975). "Constantes de Euler para progresiones aritméticas" (PDF) . Acta Arith . 27 (1): 125-142. doi : 10.4064/aa-27-1-125-142 .
• Lerch, M. (1897). "Expresiones nouvelles de la constante d'Euler". Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften . 42 : 5.
• Mascheroni, Lorenzo (1790). Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur . Galeati, Ticini.
• Sondow, Jonathan (2002). "Un enfoque hipergeométrico, a través de formas lineales que involucran logaritmos, a los criterios de irracionalidad de la constante de Euler". Mathematica Eslovaca . 59 : 307–314. arXiv : math.NT/0211075 . Código Bib : 2002 matemáticas..... 11075S. doi :10.2478/s12175-009-0127-2. S2CID  16340929.con un apéndice de Sergey Zlobin

enlaces externos

• "Constante de Euler". Enciclopedia de Matemáticas . Prensa EMS . 2001 [1994].
• Weisstein, Eric W. "Constante de Euler-Mascheroni". MundoMatemático .
• Jonathan Sondow.
• Algoritmos rápidos y el método FEE, EA Karatsuba (2005)
• Otras fórmulas que utilizan la constante: Gourdon y Sebah (2004).