Familias de soluciones a ecuaciones diferenciales relacionadas.
Las funciones de Bessel , definidas primero por el matemático Daniel Bernoulli y luego generalizadas por Friedrich Bessel , son soluciones canónicas y ( x ) de la ecuación diferencial de Bessel para un número complejo
arbitrario , que representa el orden de la función de Bessel. Aunque y producen la misma ecuación diferencial, es convencional definir diferentes funciones de Bessel para estos dos valores de tal manera que las funciones de Bessel sean en su mayoría funciones suaves de .
La ecuación de Bessel surge al encontrar soluciones separables a la ecuación de Laplace y a la ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas o esféricas . Por tanto, las funciones de Bessel son especialmente importantes para muchos problemas de propagación de ondas y potenciales estáticos. Al resolver problemas en sistemas de coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero ( α = n ); en problemas esféricos, se obtienen órdenes semienteros ( α = n + 1/2 ). Por ejemplo:
Como se trata de una ecuación diferencial lineal, las soluciones se pueden escalar a cualquier amplitud. Las amplitudes elegidas para las funciones se originan en los primeros trabajos en los que las funciones aparecían como soluciones a integrales definidas en lugar de soluciones a ecuaciones diferenciales. Como la ecuación diferencial es de segundo orden, debe haber dos soluciones linealmente independientes . Sin embargo, dependiendo de las circunstancias, son convenientes diversas formulaciones de estas soluciones. Las diferentes variaciones se resumen en la siguiente tabla y se describen en las siguientes secciones.
Las funciones de Bessel de segundo tipo y las funciones esféricas de Bessel de segundo tipo a veces se denotan por N n y n n , respectivamente, en lugar de Y n e y n . [2] [3]
Funciones de Bessel del primer tipo:j α
Las funciones de Bessel del primer tipo, denotadas como J α ( x ) , son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel. Para α entera o positiva , las funciones de Bessel del primer tipo son finitas en el origen ( x = 0 ); mientras que para α negativo no entero , las funciones de Bessel del primer tipo divergen cuando x se aproxima a cero. Es posible definir la función por tiempos de una serie de Maclaurin (tenga en cuenta que α no necesita ser un número entero y no se permiten potencias no enteras en una serie de Taylor), que se puede encontrar aplicando el método de Frobenius a la ecuación de Bessel: [ 4]
donde Γ( z ) es la función gamma , una generalización desplazada de la función factorial a valores no enteros. La función de Bessel del primer tipo es una función entera si α es un número entero; de lo contrario, es una función multivaluada con singularidad en cero. Las gráficas de las funciones de Bessel se parecen más o menos a funciones seno o coseno oscilantes que decaen proporcionalmente a (ver también sus formas asintóticas a continuación), aunque sus raíces generalmente no son periódicas, excepto asintóticamente para x grandes . (La serie indica que − J 1 ( x ) es la derivada de J 0 ( x ) , al igual que −sin x es la derivada de cos x ; de manera más general, la derivada de J n ( x ) se puede expresar en términos de J n ± 1 ( x ) por las identidades siguientes.)
Para α no entero , las funciones J α ( x ) y J − α ( x ) son linealmente independientes y, por lo tanto, son las dos soluciones de la ecuación diferencial. Por otro lado, para orden de enteros n , la siguiente relación es válida (la función gamma tiene polos simples en cada uno de los enteros no positivos): [5]
Esto significa que las dos soluciones ya no son linealmente independientes. En este caso, se encuentra que la segunda solución linealmente independiente es la función de Bessel del segundo tipo, como se analiza a continuación.
Integrales de Bessel
Otra definición de la función de Bessel, para valores enteros de n , es posible utilizando una representación integral: [6]
que también se llama fórmula de Hansen-Bessel. [7]
Este fue el enfoque que utilizó Bessel, [8] y de esta definición derivó varias propiedades de la función. La definición puede extenderse a órdenes no enteros mediante una de las integrales de Schläfli, para Re( x ) > 0 : [6] [9] [10] [11] [12]
Esta expresión está relacionada con el desarrollo de las funciones de Bessel en términos de la función Bessel-Clifford .
Relación con los polinomios de Laguerre
En términos de los polinomios de Laguerre L k y el parámetro t elegido arbitrariamente , la función de Bessel se puede expresar como [14]
Funciones de Bessel de segundo tipo:Y α
Las funciones de Bessel del segundo tipo, denotadas por Y α ( x ) , ocasionalmente denotadas en su lugar por N α ( x ) , son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que tienen una singularidad en el origen ( x = 0 ) y son multivaluadas . A veces se les llama funciones de Weber , ya que fueron introducidas por HM Weber (1873), y también funciones de Neumann después de Carl Neumann . [15]
Para α no entero , Y α ( x ) está relacionado con J α ( x ) por
En el caso de orden entero n , la función se define tomando el límite como un número no entero α que tiende a n :
Si n es un entero no negativo, tenemos la serie [16]
También existe una fórmula integral correspondiente (para Re( x ) > 0 ): [18]
En el caso donde n = 0 ,
Y α ( x ) es necesaria como segunda solución linealmente independiente de la ecuación de Bessel cuando α es un número entero. Pero Y α ( x ) tiene más significado que eso. Puede considerarse como un socio "natural" de J α ( x ) . Consulte también la subsección sobre funciones de Hankel a continuación.
Además, cuando α es un número entero, como ocurría igualmente con las funciones del primer tipo, es válida la siguiente relación:
Tanto J α ( x ) como Y α ( x ) son funciones holomorfas de x en el plano complejo cortado a lo largo del eje real negativo. Cuando α es un número entero, las funciones de Bessel J son funciones completas de x . Si x se mantiene fijo en un valor distinto de cero, entonces las funciones de Bessel son funciones completas de α .
Las funciones de Bessel de segundo tipo cuando α es un número entero son un ejemplo del segundo tipo de solución en el teorema de Fuchs .
Funciones de Hankel:h(1) α,h(2) α
Otra formulación importante de las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel son las funciones de Hankel de primer y segundo tipo , H(1) α( x ) y H(2) α( x ) , definido como [19]
donde i es la unidad imaginaria . Estas combinaciones lineales también se conocen como funciones de Bessel de tercer tipo ; son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial de Bessel. Llevan el nombre de Hermann Hankel .
Estas formas de combinación lineal satisfacen numerosas propiedades de apariencia simple, como fórmulas asintóticas o representaciones integrales. Aquí, "simple" significa la aparición de un factor de la forma e if ( x ) . Para reales donde , tienen valores reales, las funciones de Bessel de primer y segundo tipo son las partes real e imaginaria, respectivamente, de la primera función de Hankel y las partes real e imaginaria negativa de la segunda función de Hankel. Por tanto, las fórmulas anteriores son análogas a la fórmula de Euler , sustituyendo H(1) α( x ) , H(2) α( x ) para y , para , , como se muestra explícitamente en la expansión asintótica.
Las funciones de Hankel se utilizan para expresar soluciones de ondas cilíndricas que se propagan hacia afuera y hacia adentro de la ecuación de onda cilíndrica, respectivamente (o viceversa, dependiendo de la convención de signos para la frecuencia ).
Usando las relaciones anteriores, se pueden expresar como
Si α es un número entero, se debe calcular el límite. Las siguientes relaciones son válidas, sea α un número entero o no: [20]
En particular, si α = m + 1/2 siendo m un entero no negativo, las relaciones anteriores implican directamente que
Estos son útiles para desarrollar las funciones esféricas de Bessel (ver más abajo).
Las funciones de Hankel admiten las siguientes representaciones integrales para Re( x ) > 0 : [21]
donde los límites de integración indican la integración a lo largo de un contorno que se puede elegir de la siguiente manera: de −∞ a 0 a lo largo del eje real negativo, de 0 a ± π i a lo largo del eje imaginario, y de ± π i a +∞ ± π i a lo largo de un contorno paralelo al eje real. [18]
Funciones de Bessel modificadas:yo α,K α
Las funciones de Bessel son válidas incluso para argumentos complejos x , y un caso especial importante es el de un argumento puramente imaginario. En este caso, las soluciones de la ecuación de Bessel se denominan funciones de Bessel modificadas (u ocasionalmente funciones de Bessel hiperbólicas ) de primer y segundo tipo y se definen como [22]
cuando α no es un número entero; cuando α es un número entero, entonces se utiliza el límite. Estos se eligen para que tengan valor real para argumentos reales y positivos x . La expansión en serie para I α ( x ) es, por tanto, similar a la de J α ( x ) , pero sin el factor alterno (−1) m .
se puede expresar en términos de funciones de Hankel:
Usando estas dos fórmulas, el resultado de + , comúnmente conocido como integral de Nicholson o fórmula de Nicholson, se puede obtener para dar lo siguiente
dado que se cumple la condición Re( x ) > 0 . También se puede demostrar que
sólo cuando | Re(α) | < 1/2 y Re(x) ≥ 0 pero no cuando x = 0 . [23]
Podemos expresar la primera y segunda funciones de Bessel en términos de las funciones de Bessel modificadas (éstas son válidas si − π < arg z ≤ π/2 ): [24]
I α ( x ) y K α ( x ) son las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel modificada : [25]
A diferencia de las funciones de Bessel ordinarias, que oscilan como funciones de un argumento real, I α y K α son funciones que crecen y decaen exponencialmente, respectivamente. Al igual que la función de Bessel ordinaria J α , la función I α tiende a cero en x = 0 para α > 0 y es finita en x = 0 para α = 0 . De manera análoga, K α diverge en x = 0 siendo la singularidad de tipo logarítmico para K 0 , y 1/2 Γ(| α |)(2/ x ) | α | de lo contrario. [26]
Dos fórmulas integrales para las funciones de Bessel modificadas son (para Re( x ) > 0 ): [27]
Las funciones de Bessel se pueden describir como transformadas de Fourier de potencias de funciones cuadráticas. Por ejemplo (para Re(ω) > 0 ):
Se puede probar mostrando la igualdad con la definición integral anterior para K 0 . Esto se hace integrando una curva cerrada en el primer cuadrante del plano complejo.
Las funciones de Bessel modificadas K 1/3 y K 2/3 se pueden representar en términos de integrales rápidamente convergentes [28]
La función de Bessel modificada es útil para representar la distribución de Laplace como una mezcla de distribuciones normales en escala exponencial.
La función de Bessel modificada del segundo tipo también ha recibido los siguientes nombres (ahora raros):
Al resolver la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas por separación de variables, la ecuación radial tiene la forma
Las dos soluciones linealmente independientes de esta ecuación se denominan funciones esféricas de Bessel j n e y n , y están relacionadas con las funciones de Bessel ordinarias J n e Y n por [30]
y n también se denota n n o η n ; algunos autores llaman a estas funciones funciones esféricas de Neumann .
De las relaciones con las funciones ordinarias de Bessel se ve directamente que:
Las funciones esféricas de Bessel también se pueden escribir como (Fórmulas de Rayleigh )[31]
La función esférica cero de Bessel j 0 ( x ) también se conoce como función sinc (no normalizada) . Las primeras funciones esféricas de Bessel son: [32]
y [33]
función generadora
Las funciones esféricas de Bessel tienen las funciones generadoras [34]
Expansiones en series finitas
A diferencia de las funciones enteras enteras de Bessel J n ( x ), Y n ( x ) , las funciones esféricas de Bessel j n ( x ), y n ( x ) tienen una expresión en serie finita: [35]
Relaciones diferenciales
A continuación, f n es cualquiera de j n , y n , h(1) norte, h(2) nortepara n = 0, ±1, ±2, ... [36]
Funciones esféricas de Hankel:h(1) norte,h(2) norte
También existen análogos esféricos de las funciones de Hankel:
De hecho, existen expresiones simples en forma cerrada para las funciones de Bessel de orden semientero en términos de las funciones trigonométricas estándar y, por lo tanto, para las funciones esféricas de Bessel. En particular, para números enteros no negativos n :
yh(2) nortees el conjugado complejo de this (para x real ). Se deduce, por ejemplo, que j 0 ( x ) = pecado x/X y y 0 ( x ) = − porque x/X , y así sucesivamente.
Funciones de Riccati-Bessel:sn,c norte,n,ζ sustantivo
Las funciones de Riccati -Bessel difieren sólo ligeramente de las funciones esféricas de Bessel:
Satisfacen la ecuación diferencial
Por ejemplo, este tipo de ecuación diferencial aparece en la mecánica cuántica al resolver la componente radial de la ecuación de Schrödinger con una hipotética barrera de potencial infinita cilíndrica. [37] Esta ecuación diferencial, y las soluciones de Riccati-Bessel, también surgen en el problema de la dispersión de ondas electromagnéticas por una esfera, conocida como dispersión de Mie después de la primera solución publicada por Mie (1908). Véase, por ejemplo, Du (2004) [38] para desarrollos y referencias recientes.
Siguiendo a Debye (1909), a veces se utiliza la notación ψ n , χ n en lugar de S n , C n .
Formas asintóticas
Las funciones de Bessel tienen las siguientes formas asintóticas . Para argumentos pequeños , se obtiene, cuando no es un número entero negativo: [4]
Cuando α es un entero negativo, tenemos
Para la función de Bessel de segundo tipo tenemos tres casos:
donde γ es la constante de Euler-Mascheroni (0,5772...).
Para argumentos reales grandes z ≫ | α 2 − 1/4 |, no se puede escribir una forma asintótica verdadera para funciones de Bessel de primer y segundo tipo (a menos queαseamedio entero) porque tienenceroshasta el infinito, lo que tendría que coincidir exactamente con cualquier expansión asintótica. Sin embargo, para un valor dado dearg z se puede escribir una ecuación que contenga un término de orden| z | −1 :[39]
(Para α = 1/2 los últimos términos de estas fórmulas desaparecen por completo; vea las funciones esféricas de Bessel arriba).
Las formas asintóticas de las funciones de Hankel son:
Estos se pueden extender a otros valores de arg z usando ecuaciones que relacionan H(1) α( ze im π ) y H(2) α( ze im π ) a H(1) α( z ) y H(2) α( z ) . [40]
Es interesante que aunque la función de Bessel del primer tipo es el promedio de las dos funciones de Hankel, J α ( z ) no es asintótica al promedio de estas dos formas asintóticas cuando z es negativo (porque una u otra no será correcto allí, dependiendo del arg z utilizado). Pero las formas asintóticas de las funciones de Hankel nos permiten escribir formas asintóticas de las funciones de Bessel de primer y segundo tipo para z compleja (no real) siempre que | z | va al infinito en un ángulo de fase constante arg z (usando la raíz cuadrada que tiene parte real positiva):
También existe la forma asintótica (para reales grandes ) [43]
Cuando α = 1/2 , todos los términos excepto el primero desaparecen, y tenemos
Para argumentos pequeños , tenemos
Propiedades
Para el orden de números enteros α = n , J n a menudo se define mediante una serie de Laurent para una función generadora:
un enfoque utilizado por PA Hansen en 1843. (Esto se puede generalizar a un orden no entero mediante integración de contornos u otros métodos).
Serie infinita de funciones de Bessel en la forma en que surgen en muchos sistemas físicos y definidas en forma cerrada por la serie Sung. [44] Por ejemplo, cuando N = 3: . De manera más general, la serie Sung y la serie Sung alterna se escriben como:
Una expansión en serie que utiliza funciones de Bessel ( serie de Kapteyn ) es
De manera más general, una serie
se llama expansión de Neumann de f . Los coeficientes para ν = 0 tienen la forma explícita
donde O k es el polinomio de Neumann . [45]
Las funciones seleccionadas admiten la representación especial
debido
a la relación de ortogonalidad
De manera más general, si f tiene un punto de ramificación cerca del origen de tal naturaleza,
entonces
o
dónde está la transformada de Laplace de f . [46]
Otra forma de definir las funciones de Bessel es la fórmula de representación de Poisson y la fórmula de Mehler-Sonine:
donde ν > − 1/2 y z ∈ C . [47]
Esta fórmula es útil especialmente cuando se trabaja con transformadas de Fourier .
Debido a que la ecuación de Bessel se vuelve hermitiana (autoadjunta) si se divide por x , las soluciones deben satisfacer una relación de ortogonalidad para condiciones de contorno apropiadas. En particular, se deduce que:
donde α > −1 , δ m , n es el delta de Kronecker , y u α , m es el m ésimo cero de J α ( x ) . Esta relación de ortogonalidad luego se puede utilizar para extraer los coeficientes en la serie de Fourier-Bessel , donde una función se expande sobre la base de las funciones J α ( x u α , m ) para α fijo y m variable .
Inmediatamente se sigue una relación análoga para las funciones esféricas de Bessel:
Si uno define una función de vagón de x que depende de un pequeño parámetro ε como:
(donde rect es la función rectángulo ), entonces la transformada de Hankel de la misma (de cualquier orden dado α > − 1/2 ), g ε ( k ) , se acerca a J α ( k ) cuando ε se acerca a cero, para cualquier k dado. Por el contrario, la transformada de Hankel (del mismo orden) de g ε ( k ) es f ε ( x ) :
que es cero en todas partes excepto cerca de 1. Cuando ε se acerca a cero, el lado derecho se acerca a δ ( x − 1) , donde δ es la función delta de Dirac . Esto admite el límite (en el sentido distributivo ):
Un cambio de variables produce entonces la ecuación de cierre : [48]
para α > − 1/2 . La transformada de Hankel puede expresar una función bastante arbitraria [ se necesita aclaración ] como una integral de funciones de Bessel de diferentes escalas. Para las funciones esféricas de Bessel la relación de ortogonalidad es:
para α > −1 .
Otra propiedad importante de las ecuaciones de Bessel, que se deriva de la identidad de Abel , implica el Wronskiano de las soluciones:
donde A α y B α son dos soluciones cualesquiera de la ecuación de Bessel, y C α es una constante independiente de x (que depende de α y de las funciones particulares de Bessel consideradas). En particular,
y
para α > −1 .
Para α > −1 , la función par completa del género 1, x − α J α ( x ) , tiene solo ceros reales. Sean
todos sus ceros positivos, entonces
(Existe una gran cantidad de otras integrales e identidades conocidas que no se reproducen aquí, pero que se pueden encontrar en las referencias).
Relaciones de recurrencia
Las funciones J α , Y α , H(1) αy H(2) αtodos satisfacen las relaciones de recurrencia [49]
y
donde Z denota J , Y , H (1) o H (2) . Estas dos identidades a menudo se combinan, por ejemplo, se suman o se restan, para producir otras relaciones diversas. De esta manera, por ejemplo, se pueden calcular funciones de Bessel de órdenes superiores (o derivadas superiores) dados los valores de órdenes inferiores (o derivadas inferiores). En particular, se deduce que [50]
Las funciones de Bessel modificadas siguen relaciones similares:
y
y
La relación de recurrencia se lee
donde C α denota I α o e αi π K α . Estas relaciones de recurrencia son útiles para problemas de difusión discreta.
Trascendencia
En 1929, Carl Ludwig Siegel demostró que J ν ( x ) , J ' ν ( x ) y la derivada logarítmica J' ν ( x )/J ν ( x ) son números trascendentales cuando ν es racional y x es algebraico y distinto de cero. [51] La misma prueba también implica que K ν ( x ) es trascendental bajo los mismos supuestos. [52]
Teorema de multiplicación
Las funciones de Bessel obedecen a un teorema de la multiplicación
donde λ y ν pueden tomarse como números complejos arbitrarios. [53] [54] Para | λ 2 − 1 | < 1 , [53] la expresión anterior también es válida si J se reemplaza por Y. Las identidades análogas para funciones de Bessel modificadas y | λ 2 − 1 | < 1 son
y
Ceros de la función de Bessel
La hipótesis de Bourget
El propio Bessel demostró originalmente que para números enteros no negativos n , la ecuación J n ( x ) = 0 tiene un número infinito de soluciones en x . [55] Sin embargo, cuando las funciones J n ( x ) se trazan en el mismo gráfico, ninguno de los ceros parece coincidir para diferentes valores de n, excepto el cero en x = 0 . Este fenómeno se conoce como hipótesis de Bourget en honor al matemático francés del siglo XIX que estudió las funciones de Bessel. Específicamente establece que para cualquier número entero n ≥ 0 y m ≥ 1 , las funciones J n ( x ) y J n + m ( x ) no tienen ceros comunes distintos del de x = 0 . La hipótesis fue probada por Carl Ludwig Siegel en 1929. [56]
Trascendencia
Siegel demostró en 1929 que cuando ν es racional, todas las raíces distintas de cero de J ν (x) y J ' ν (x) son trascendentales , [57] al igual que todas las raíces de K ν (x) . [52] También se sabe que todas las raíces de las derivadas superiores para n ≤ 18 son trascendentales, excepto los valores especiales y . [57]
Enfoques numéricos
Para estudios numéricos sobre los ceros de la función de Bessel, ver Gil, Segura & Temme (2007), Kravanja et al. (1998) y Moler (2004).
Valores numéricos
Los primeros ceros en J 0 (es decir, j 0,1 , j 0,2 y j 0,3 ) aparecen en argumentos de aproximadamente 2,40483, 5,52008 y 8,65373, respectivamente. [58]
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