función matemática
En matemáticas , la familia de funciones de Debye está definida por
Las funciones reciben su nombre en honor a Peter Debye , quien encontró esta función (con n = 3) en 1912 cuando calculó analíticamente la capacidad calorífica de lo que ahora se llama modelo de Debye .
Propiedades matemáticas
Relación con otras funciones
Las funciones de Debye están estrechamente relacionadas con el polilogaritmo .
Expansión de la serie
Tienen la expansión en serie [1]
donde está el enésimo número de Bernoulli .
Valores limitantes
Si es la función gamma y es la función zeta de Riemann , entonces, para , [2]
Derivado
La derivada obedece a la relación
donde está la función de Bernoulli.
Aplicaciones en física del estado sólido
El modelo Debyé
El modelo de Debye tiene una densidad de estados vibratorios
con la frecuencia de Debye ω D .
Energía interna y capacidad calorífica.
Insertando g en la energía interna
con la distribución de Bose-Einstein
se obtiene
La capacidad calorífica es la derivada de la misma.
Desplazamiento medio cuadrático
La intensidad de la difracción de rayos X o de la difracción de neutrones en el número de onda q viene dada por el factor de Debye-Waller o el factor de Lamb-Mössbauer . Para sistemas isotrópicos toma la forma
En esta expresión, el desplazamiento cuadrático medio se refiere a una sola componente cartesiana u x del vector u que describe el desplazamiento de los átomos desde sus posiciones de equilibrio. Suponiendo armonía y desarrollándose en modos normales, [3]
se obtiene
Insertando la densidad de estados del modelo de Debye, se obtiene
De la expansión en serie de potencias anterior de se deduce que el desplazamiento cuadrático medio a altas temperaturas es lineal en temperatura.
La ausencia de indica que este es un resultado clásico . Debido a que va a cero, se sigue que ( movimiento de punto cero ).
Referencias
- ^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 27". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 998.ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. SEÑOR 0167642. LCCN 65-12253.
- ^ Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. "3.411.". En Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. págs. 355 y siguientes. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.
- ^ Ashcroft y Mermin 1976, aplicación. L,
Otras lecturas
Implementaciones
- Ng, EW; Devine, CJ (1970). "Sobre el cálculo de funciones de Debye de órdenes enteros". Matemáticas. comp . 24 (110): 405–407. doi : 10.1090/S0025-5718-1970-0272160-6 . SEÑOR 0272160.
- Engeln, I.; Wobig, D. (1983). "Cálculo de las funciones generalizadas de Debye delta (x, y) y D (x, y)". Ciencia de coloides y polímeros . 261 : 736–743. doi :10.1007/BF01410947. S2CID 98476561.
- MacLeod, Allan J. (1996). "Algoritmo 757: MISCFUN, un paquete de software para calcular funciones especiales poco comunes". Transmisión ACM. Matemáticas. Software . 22 (3): 288–301. doi : 10.1145/232826.232846 . S2CID 37814348.código fortran 77
- Versión Fortran 90
- Maximón, Leonard C. (2003). "La función dilogaritmo para argumentos complejos". Proc. R. Soc. A . 459 (2039): 2807–2819. Código Bib : 2003RSPSA.459.2807M. doi :10.1098/rspa.2003.1156. S2CID 122271244.
- Guseinov, II; Mamedov, BA (2007). "Cálculo de funciones Debye n-dimensionales enteras y no enteras utilizando coeficientes binomiales y funciones gamma incompletas". En t. J. Thermophys . 28 (4): 1420-1426. Código Bib : 2007IJT....28.1420G. doi :10.1007/s10765-007-0256-1. S2CID 120284032.
- Versión C de la Biblioteca Científica GNU