Teorema fundamental del cálculo

Relación entre derivadas e integrales

El teorema fundamental del cálculo es un teorema que vincula el concepto de derivar una función (calcular sus pendientes , o tasa de cambio en cada momento) con el concepto de integrar una función (calcular el área bajo su gráfica, o el efecto acumulativo de pequeñas contribuciones). Las dos operaciones son inversas entre sí, excepto un valor constante que depende de dónde se empieza a calcular el área.

La primera parte del teorema, el primer teorema fundamental del cálculo , establece que para una función f , se puede obtener una integral primitiva o indefinida F como la integral de f en un intervalo con un límite superior variable. Esto implica la existencia de antiderivadas para funciones continuas . ^[1]

Por el contrario, la segunda parte del teorema, el segundo teorema fundamental del cálculo , establece que la integral de una función f en un intervalo fijo es igual al cambio de cualquier primitiva F entre los extremos del intervalo. Esto simplifica enormemente el cálculo de una integral definida siempre que se pueda encontrar una antiderivada mediante integración simbólica , evitando así la integración numérica .

Historia

El teorema fundamental del cálculo relaciona la diferenciación y la integración, mostrando que estas dos operaciones son esencialmente inversas entre sí. Antes del descubrimiento de este teorema, no se reconocía que estas dos operaciones estuvieran relacionadas. Los matemáticos griegos antiguos sabían cómo calcular el área mediante infinitesimales , una operación que ahora llamaríamos integración. Los orígenes de la diferenciación también son anteriores en cientos de años al teorema fundamental del cálculo; por ejemplo, en el siglo XIV las nociones de continuidad de funciones y movimiento fueron estudiadas por los calculadores de Oxford y otros eruditos. La relevancia histórica del teorema fundamental del cálculo no es la capacidad de calcular estas operaciones, sino la comprensión de que las dos operaciones aparentemente distintas (cálculo de áreas geométricas y cálculo de gradientes) en realidad están estrechamente relacionadas.

A partir de la conjetura y la demostración del teorema fundamental del cálculo se parte del cálculo como teoría unificada de integración y diferenciación. La primera declaración y prueba publicada de una forma rudimentaria del teorema fundamental, de carácter fuertemente geométrico, ^[2] fue de James Gregory (1638-1675). ^{[3] [4]} Isaac Barrow (1630-1677) demostró una versión más generalizada del teorema, ^[5] mientras que su alumno Isaac Newton (1642-1727) completó el desarrollo de la teoría matemática circundante. Gottfried Leibniz (1646-1716) sistematizó el conocimiento en un cálculo para cantidades infinitesimales e introdujo la notación que se utiliza hoy.

Significado geométrico

El área sombreada con franjas rojas está cerca de h multiplicado por f ( x ) . Alternativamente, si se conociera la función A ( x ) , esta área sería exactamente A ( x + h ) − A ( x ) . Estos dos valores son aproximadamente iguales, particularmente para h pequeñas .

El primer teorema fundamental puede interpretarse de la siguiente manera. Dada una función continua y = f ( x ) cuya gráfica se traza como una curva, se define una "función de área" correspondiente tal que A ( x ) es el área debajo de la curva entre 0 y x . El área A ( x ) puede no ser fácilmente computable, pero se supone que está bien definida. ${\displaystyle x\mapsto A(x)}$

El área bajo la curva entre x y x + h podría calcularse encontrando el área entre 0 y x + h y luego restando el área entre 0 y x . En otras palabras, el área de esta "franja" sería A ( x + h ) − A ( x ) .

Existe otra forma de estimar el área de esta misma franja. Como se muestra en la figura adjunta, h se multiplica por f ( x ) para encontrar el área de un rectángulo que tiene aproximadamente el mismo tamaño que esta tira. Entonces:

$${\displaystyle A(x+h)-A(x)\approx f(x)\cdot h}$$

De hecho, esta estimación se convierte en una igualdad perfecta si sumamos el área roja de "Exceso" en el diagrama. Entonces:

$${\displaystyle A(x+h)-A(x)=f(x)\cdot h+{\text{ (Excess)}}}$$

Reorganizar términos:

$${\displaystyle f(x)={\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}-{\frac {\text{Excess}}{h}}.}$$

Cuando h se acerca a 0 en el límite , la última fracción debe llegar a cero. ^[6] Para ver esto, observe que la región sobrante está dentro del pequeño rectángulo con borde negro, lo que proporciona un límite superior para el área sobrante:

${\displaystyle |{\text{Excess}}|\leq h\,(f(x{+}h_{1})-f(x{+}h_{2})),}$

donde y son puntos donde f alcanza su máximo y su mínimo, respectivamente, en el intervalo [ x , x + h ] . ${\displaystyle x+h_{1}}$ ${\displaystyle x+h_{2}}$

De este modo:

$${\displaystyle \left|f(x)-{\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}\right|={\frac {|{\text{Excess}}|}{h}}\leq {\frac {h(f(x+h_{1})-f(x+h_{2}))}{h}}=f(x{+}h_{1})-f(x{+}h_{2}),}$$

fh

$${\displaystyle f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ A'(x).}$$

Es decir, la derivada de la función de área A ( x ) existe y es igual a la función original f ( x ) , por lo que la función de área es una antiderivada de la función original.

Así, la derivada de la integral de una función (el área) es la función original, de modo que derivada e integral son operaciones inversas que se invierten entre sí. Ésta es la esencia del Teorema Fundamental.

Intuición física

Intuitivamente, el teorema fundamental establece que la integración y la diferenciación son esencialmente operaciones inversas que se invierten entre sí.

El segundo teorema fundamental dice que la suma de los cambios infinitesimales de una cantidad a lo largo del tiempo (la integral de la derivada de la cantidad) da como resultado el cambio neto de la cantidad. Para visualizar esto, imagine viajar en un automóvil y querer saber la distancia recorrida (el cambio neto de posición a lo largo de la carretera). Puedes ver la velocidad en el velocímetro pero no puedes mirar para ver tu ubicación. Cada segundo, puedes encontrar qué distancia ha recorrido el auto usando distancia = velocidad × tiempo , multiplicando la velocidad actual (en kilómetros o millas por hora) por el intervalo de tiempo (1 segundo = hora). Resumiendo todos estos pequeños pasos, podrás calcular la distancia total recorrida, sin siquiera mirar fuera del coche: ${\displaystyle {\tfrac {1}{3600}}}$

$${\displaystyle {\text{distance traveled}}=\sum \left({\begin{array}{c}{\text{velocity at}}\\{\text{each time}}\end{array}}\right)\times \left({\begin{array}{c}{\text{time}}\\{\text{interval}}\end{array}}\right)=\sum v(t)\times \Delta t.}$$

infinitamentela integración ${\displaystyle \Delta t}$

El primer teorema fundamental dice que cualquier cantidad es la tasa de cambio (la derivada) de la integral de la cantidad desde un tiempo fijo hasta un tiempo variable. Continuando con el ejemplo anterior, si imagina una función de velocidad, puede integrarla desde el momento inicial hasta cualquier momento dado para obtener una función de distancia cuya derivada es la velocidad dada. (Para obtener la posición del marcador de carretera, debe sumar su posición inicial a esta integral).

Declaraciones formales

El teorema tiene dos partes. La primera parte trata de la derivada de una antiderivada , mientras que la segunda parte trata de la relación entre antiderivadas e integrales definidas .

Primera parte

A veces se hace referencia a esta parte como el primer teorema fundamental del cálculo . ^[7]

Sea f una función continua de valor real definida en un intervalo cerrado [ a , b ] . Sea F la función definida, para todo x en [ a , b ] , por

$${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$$

Entonces F es uniformemente continua en [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y

$${\displaystyle F'(x)=f(x)}$$

x( a , b )Ff

Corolario

Teorema fundamental del cálculo (animación)

El teorema fundamental se emplea a menudo para calcular la integral definida de una función para la cual se conoce una primitiva . Específicamente, si es una función continua de valor real en y es una antiderivada de en , entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a).}$$

El corolario supone continuidad en todo el intervalo. Este resultado se refuerza ligeramente en la siguiente parte del teorema.

Segunda parte

Esta parte a veces se denomina segundo teorema fundamental del cálculo ^[8] o teorema de Newton-Leibniz .

Sea una función de valor real en un intervalo cerrado y una función continua en la que es una primitiva de en : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,b)}$

$${\displaystyle F'(x)=f(x).}$$

Si Riemann es integrable entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$$

La segunda parte es algo más fuerte que el corolario porque no supone que sea continua. ${\displaystyle f}$

Cuando existe una antiderivada de , entonces hay infinitas antiderivadas para , obtenidas sumando una constante arbitraria a . Además, según la primera parte del teorema, las primitivas de siempre existen cuando es continua. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Prueba de la primera parte.

Para una función dada f , defina la función F ( x ) como

$${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$$

Para dos números cualesquiera x ₁ y x ₁ + Δ x en [ a , b ] , tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})&=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt\\&=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt,\end{aligned}}}$$

Según el teorema del valor medio para la integración , existe un número real tal que ${\displaystyle c\in [x_{1},x_{1}+\Delta x]}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=f(c)\cdot \Delta x.}$$

Resulta que

$${\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\cdot \Delta x,}$$

$${\displaystyle {\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c).}$$

Tomando el límite como y teniendo presente que se llega ${\displaystyle \Delta x\to 0,}$ ${\displaystyle c\in [x_{1},x_{1}+\Delta x],}$

$${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c),}$$

$${\displaystyle F'(x_{1})=f(x_{1}),}$$

fteorema de compresión^[9]

Prueba del corolario

Supongamos que F es una antiderivada de f , con f continua en [ a , b ] . Dejar

$${\displaystyle G(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$$

Por la primera parte del teorema, sabemos que G también es una antiderivada de f . Dado que F ′ − G ′ = 0, el teorema del valor medio implica que F − G es una función constante , es decir, existe un número c tal que G ( x ) = F ( x ) +  c para todo x en [ a , b ] . Haciendo x = a , tenemos

$${\displaystyle F(a)+c=G(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,dt=0,}$$

c = − F ( a )G ( x ) = F ( x ) − F ( a )

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=G(b)=F(b)-F(a).}$$

Prueba de la segunda parte.

Esta es una prueba de límites mediante sumas de Riemann .

Para empezar, recordemos el teorema del valor medio . Dicho brevemente, si F es continua en el intervalo cerrado [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , entonces existe algo de c en ( a , b ) tal que

$${\displaystyle F'(c)(b-a)=F(b)-F(a).}$$

Sea f (Riemann) integrable en el intervalo [ a , b ] , y admita una antiderivada F en ( a , b ) tal que F sea continua en [ a , b ] . Comience con la cantidad F ( b ) − F ( a ) . Sean números x ₀ , ..., x _n tales que

$${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b.}$$

Resulta que

$${\displaystyle F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0}).}$$

Ahora, sumamos cada F ( x _i ) junto con su inverso aditivo, de modo que la cantidad resultante sea igual:

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(b)-F(a)&=F(x_{n})+[-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})]+\cdots +[-F(x_{1})+F(x_{1})]-F(x_{0})\\&=[F(x_{n})-F(x_{n-1})]+[F(x_{n-1})-F(x_{n-2})]+\cdots +[F(x_{2})-F(x_{1})]+[F(x_{1})-F(x_{0})].\end{aligned}}}$$

La cantidad anterior se puede escribir como la siguiente suma:

La función F es diferenciable en el intervalo ( a , b ) y continua en el intervalo cerrado [ a , b ] ; por lo tanto, también es diferenciable en cada intervalo ( x _{i −1} , x _i ) y continua en cada intervalo [ x _{i −1} , x _i ] . Según el teorema del valor medio (arriba), para cada i existe un en ( x _{i −1} , x _i ) tal que ${\displaystyle c_{i}}$

$${\displaystyle F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1}).}$$

Sustituyendo lo anterior en ( 1' ), obtenemos

$${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})].}$$

El supuesto implica Además, se puede expresar como de partición . ${\displaystyle F'(c_{i})=f(c_{i}).}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{i-1}}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle i}$

Una secuencia convergente de sumas de Riemann. El número en la parte superior izquierda es el área total de los rectángulos azules. Convergen a la integral definida de la función.

Estamos describiendo el área de un rectángulo, con el ancho multiplicado por la altura, y sumamos las áreas. Cada rectángulo, en virtud del teorema del valor medio , describe una aproximación de la sección de la curva sobre la que está dibujado. Además, no es necesario que sea el mismo para todos los valores de i , o en otras palabras, que el ancho de los rectángulos pueda diferir. Lo que tenemos que hacer es aproximar la curva con n rectángulos. Ahora, a medida que el tamaño de las particiones se hace más pequeño y n aumenta, lo que da como resultado más particiones para cubrir el espacio, nos acercamos cada vez más al área real de la curva. ${\displaystyle \Delta x_{i}}$

Al tomar el límite de la expresión cuando la norma de las particiones tiende a cero, llegamos a la integral de Riemann . Sabemos que este límite existe porque se supuso que f era integrable. Es decir, tomamos el límite cuando la mayor de las particiones se acerca a cero en tamaño, de modo que todas las demás particiones son más pequeñas y el número de particiones se acerca a infinito.

Entonces, tomamos el límite a ambos lados de ( 2' ). esto nos da

$${\displaystyle \lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})].}$$

Ni F ( b ) ni F ( a ) dependen de , por lo que el límite en el lado izquierdo sigue siendo F ( b ) − F ( a ) . ${\displaystyle \|\Delta x_{i}\|}$

$${\displaystyle F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})].}$$

La expresión en el lado derecho de la ecuación define la integral sobre f desde a hasta b . Por lo tanto, obtenemos

$${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$$

Relación entre las partes

Como se mencionó anteriormente, de la primera parte se desprende una versión ligeramente más débil de la segunda parte.

De manera similar, casi parece que la primera parte del teorema se deriva directamente de la segunda. Es decir, supongamos que G es una antiderivada de f . Luego, por el segundo teorema, . Ahora supongamos . Entonces F tiene la misma derivada que G y por lo tanto F ′ = f . Sin embargo, este argumento solo funciona si ya sabemos que f tiene una primitiva, y la única manera de saber que todas las funciones continuas tienen primitivas es mediante la primera parte del Teorema Fundamental. ^[1] Por ejemplo, si f ( x ) = e ^{− x 2} , entonces f tiene una primitiva, a saber ${\textstyle G(x)-G(a)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$ ${\textstyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt=G(x)-G(a)}$

$${\displaystyle G(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt}$$

funciones que son integrables pero carecen de antiderivadas elementalesla función de Volterra

Ejemplos

Calcular una integral particular

Supongamos que se va a calcular lo siguiente:

$${\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx.}$$

Aquí, podemos usar y como antiderivada. Por lo tanto: ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\textstyle F(x)={\frac {1}{3}}x^{3}}$

$${\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx=F(5)-F(2)={\frac {5^{3}}{3}}-{\frac {2^{3}}{3}}={\frac {125}{3}}-{\frac {8}{3}}={\frac {117}{3}}=39.}$$

Usando la primera parte

Suponer

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt}$$

${\displaystyle f(t)=t^{3}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt=f(x)=x^{3}.}$$

Esto también se puede comprobar utilizando la segunda parte del teorema. Específicamente, es una antiderivada de , por lo que ${\textstyle F(t)={\frac {1}{4}}t^{4}}$ ${\displaystyle f(t)}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt={\frac {d}{dx}}F(x)-{\frac {d}{dx}}F(0)={\frac {d}{dx}}{\frac {x^{4}}{4}}=x^{3}.}$$

Una integral donde el corolario es insuficiente

Suponer

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-{\frac {1}{x}}\cos \left({\frac {1}{x}}\right)&x\neq 0\\0&x=0\\\end{cases}}}$$

${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\to 0}$ ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx.}$$

$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)&x\neq 0\\0&x=0.\\\end{cases}}}$$

teorema de compresión ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle F'(x)=f(x).}$

$${\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=F(1)-F(0)=\sin(1).}$$

Ejemplo teórico

El teorema se puede utilizar para demostrar que

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx.}$$

Desde,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)dx&=F(b)-F(a),\\\int _{a}^{c}f(x)dx&=F(c)-F(a),{\text{ and }}\\\int _{c}^{b}f(x)dx&=F(b)-F(c),\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle F(b)-F(a)=F(c)-F(a)+F(b)-F(c).}$$

Generalizaciones

La función f no tiene por qué ser continua en todo el intervalo. La parte I del teorema dice entonces: si f es cualquier función integrable de Lebesgue en [ a , b ] y x ₀ es un número en [ a , b ] tal que f es continua en x ₀ , entonces

$${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$$

es diferenciable para x = x ₀ con F ′( x ₀ ) = f ( x ₀ ) . Podemos relajar aún más las condiciones sobre f y suponer que es meramente integrable localmente. En ese caso, podemos concluir que la función F es diferenciable en casi todas partes y F ′( x ) = f ( x ) en casi todas partes. En la recta real esta afirmación es equivalente al teorema de diferenciación de Lebesgue . Estos resultados siguen siendo válidos para la integral de Henstock-Kurzweil , que permite una clase más amplia de funciones integrables. ^[10]

En dimensiones superiores, el teorema de diferenciación de Lebesgue generaliza el teorema fundamental del cálculo al afirmar que para casi cada x , el valor promedio de una función f sobre una bola de radio r centrada en x tiende a f ( x ) cuando r tiende a 0.

La parte II del teorema es válida para cualquier función integrable de Lebesgue f , que tenga una primitiva F (aunque no todas las funciones integrables la tienen). En otras palabras, si una función real F sobre [ a , b ] admite una derivada f ( x ) en cada punto x de [ a , b ] y si esta derivada f es integrable de Lebesgue en [ a , b ] , entonces ^{[11 ]}

$${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(t)\,dt.}$$

Este resultado puede fallar para funciones continuas F que admiten una derivada f ( x ) en casi todos los puntos x , como muestra el ejemplo de la función de Cantor . Sin embargo, si F es absolutamente continua , admite una derivada F′ ( x ) en casi todos los puntos x , y además F′ es integrable, siendo F ( b ) − F ( a ) igual a la integral de F′ en [ a , b ] . Por el contrario, si f es una función integrable, entonces F, como se indica en la primera fórmula, será absolutamente continua con F′ = f en casi todas partes.

Las condiciones de este teorema pueden suavizarse nuevamente considerando las integrales involucradas como integrales de Henstock-Kurzweil . Específicamente, si una función continua F ( x ) admite una derivada f ( x ) en todos los puntos excepto en un número contable, entonces f ( x ) es integrable de Henstock-Kurzweil y F ( b ) − F ( a ) es igual a la integral de f en [ a , b ] . La diferencia aquí es que no es necesario asumir la integrabilidad de f . ^[12]

La versión del teorema de Taylor , que expresa el término de error como una integral, puede verse como una generalización del teorema fundamental.

Existe una versión del teorema para funciones complejas : supongamos que U es un conjunto abierto en C y f  : U → C es una función que tiene una primitiva holomorfa F en U. Entonces, para cada curva γ : [ a , b ] → U , la integral de la curva se puede calcular como

$${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(\gamma (b))-F(\gamma (a)).}$$

El teorema fundamental se puede generalizar a integrales de curvas y superficies en dimensiones superiores y en variedades . Una de esas generalizaciones que ofrece el cálculo de superficies en movimiento es la evolución temporal de las integrales . Las extensiones más familiares del teorema fundamental del cálculo en dimensiones superiores son el teorema de la divergencia y el teorema del gradiente .

Una de las generalizaciones más poderosas en esta dirección es el teorema de Stokes (a veces conocido como el teorema fundamental del cálculo multivariable): ^[13] Sea M una variedad suave por partes orientada de dimensión n y sea una variedad suave y compactamente soportada ( n  − 1 ) -forma en M . Si ∂ M denota el límite de M dada su orientación inducida , entonces ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .}$$

Aquí d es la derivada exterior , que se define utilizando únicamente la estructura múltiple.

El teorema se utiliza a menudo en situaciones en las que M es una subvariedad orientada integrada de alguna variedad mayor (por ejemplo, R ^k ) en la que se define la forma. ${\displaystyle \omega }$

El teorema fundamental del cálculo nos permite plantear una integral definida como una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x),\;\;y(a)=0}$$

${\displaystyle y(b)}$

Ver también

• Portal de matemáticas

• Diferenciación bajo el signo integral.
• Serie telescópica
• Teorema fundamental del cálculo para integrales de línea.
• Notación para diferenciación

Notas

Referencias

1. Spivak, Michael (1980), Cálculo (2ª ed.), Houston, Texas: Publish or Perish Inc.
2. Malet, Antoni (1993). "James Gregorie sobre las tangentes y la regla" Taylor "para las expansiones de series". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . Springer-Verlag . 46 (2): 97-137. doi :10.1007/BF00375656. S2CID  120101519. El pensamiento de Gregorie, en cambio, pertenece a un marco conceptual de carácter fuertemente geométrico. (página 137)
3. Véase, por ejemplo, Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History , Mathematical Association of America, 2004, pág. 114.
4. Gregorio, James (1668). Geometriae Pars Universalis. Museo Galileo : Patavii: typis heredum Pauli Frambotti.
5. Niño, James Mark; Barrow, Isaac (1916). Las conferencias de geometría de Isaac Barrow. Chicago: Compañía editorial Open Court .
6. Bers, Lipman . Cálculo , págs. 180-181 (Holt, Rinehart y Winston (1976).
7. Apóstol 1967, §5.1
8. Apóstol 1967, §5.3
9. Leithold, L. (1996), El cálculo de una sola variable (6ª ed.), Nueva York: HarperCollins College Publishers, p. 380.
10. Bartle (2001), Thm. 4.11.
11. Rudin 1987, th. 7.21
12. Bartle (2001), Thm. 4.7.
13. Spivak, M. (1965). Cálculo de variedades . Nueva York: WA Benjamín. págs. 124-125. ISBN 978-0-8053-9021-6.

Bibliografía

• Apostol, Tom M. (1967), Cálculo, vol. 1: Cálculo de una variable con una introducción al álgebra lineal (2ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-00005-1.
• Bartle, Robert (2001), Una teoría moderna de la integración , AMS, ISBN 0-8218-0845-1.
• Leithold, L. (1996), El cálculo de una sola variable (6ª ed.), Nueva York: HarperCollins College Publishers.
• Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (tercera ed.), Nueva York: McGraw-Hill Book Co., ISBN 0-07-054234-1

Otras lecturas

• Courant, Richard; John, Fritz (1965), Introducción al cálculo y al análisis , Springer.
• Larson, Ron; Edwards, Bruce H.; Heyd, David E. (2002), Cálculo de una sola variable (7ª ed.), Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-14916-2.
• Malet, A. , Estudios sobre James Gregorie (1638-1675) (Tesis doctoral, Princeton, 1989).
• Hernández Rodríguez, OA; López Fernández, JM. "Enseñanza del teorema fundamental del cálculo: una reflexión histórica", Loci: Convergencia ( MAA ), enero de 2012.
• Stewart, J. (2003), "Teorema fundamental del cálculo", Cálculo: primeros trascendentales , Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
• Turnbull, HW, ed. (1939), Volumen conmemorativo del tricentenario de James Gregory , Londres{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link).

enlaces externos

• "Teorema fundamental del cálculo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Prueba euclidiana del teorema fundamental del cálculo de convergencia de James Gregory
• La demostración de Isaac Barrow del teorema fundamental del cálculo
• Teorema fundamental del cálculo en imomath.com
• Prueba alternativa del teorema fundamental del cálculo.
• Teorema fundamental del cálculo MIT .
• Teorema fundamental del cálculo Mathworld .