Cálculo de superficies en movimiento.

Ampliación del cálculo tensorial clásico.

La superficie de una bandera en el viento es un ejemplo de variedad que se deforma.

El cálculo de superficies en movimiento ( CMS ) ^[1] es una extensión del cálculo tensorial clásico para variedades deformantes . Un elemento central del CMS es la derivada del tiempo tensorial, cuya definición original ^[2] fue propuesta por Jacques Hadamard . Desempeña un papel análogo al de la derivada covariante en variedades diferenciales en el sentido de que produce un tensor cuando se aplica a un tensor. ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$ ${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$

Jacques Salomon Hadamard, matemático francés, 1865-1963 d.C.

Supongamos que es la evolución de la superficie indexada por un parámetro temporal . Las definiciones de la velocidad superficial y del operador son los fundamentos geométricos del CMS. La velocidad C es la tasa de deformación de la superficie en la dirección normal instantánea . El valor de en un punto se define como el límite. ${\displaystyle \Sigma _{t}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle C=\lim _{h\to 0}{\frac {{\text{Distance}}(P,P^{*})}{h}}}$

¿Dónde está el punto que se encuentra en la línea recta perpendicular al punto P? Esta definición se ilustra en la primera figura geométrica a continuación. La velocidad es una cantidad con signo: es positiva cuando apunta en la dirección de la normal elegida y negativa en caso contrario. La relación entre y es análoga a la relación entre ubicación y velocidad en el cálculo elemental: conocer cualquiera de las cantidades permite a una construir la otra por diferenciación o integración . ${\displaystyle P^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma _{t+h}}$ ${\displaystyle \Sigma _{t}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\overline {PP^{*}}}}$ ${\displaystyle \Sigma _{t}}$ ${\displaystyle C}$

Construcción geométrica de la velocidad superficial C.

Construcción geométrica de la derivada de un campo invariante F ${\displaystyle \delta /\delta t}$

La derivada del tiempo tensorial para un campo escalar F definido en es la tasa de cambio en la dirección instantánea normal: ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$ ${\displaystyle \Sigma _{t}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\frac {\delta F}{\delta t}}=\lim _{h\to 0}{\frac {F(P^{*})-F(P)}{h}}}$

Esta definición también se ilustra en la segunda figura geométrica.

Las definiciones anteriores son geométricas . En entornos analíticos, puede que no sea posible la aplicación directa de estas definiciones. El CMS da definiciones analíticas de C y en términos de operaciones elementales de cálculo y geometría diferencial . ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$

Definiciones analíticas

Para definiciones analíticas de y , considere la evolución de dada por ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle Z^{i}=Z^{i}\left(t,S\right)}$

donde son las coordenadas espaciales curvilíneas generales y son las coordenadas de la superficie. Por convención, los índices tensoriales de los argumentos de funciones se eliminan. Por tanto, las ecuaciones anteriores contienen en lugar de . El objeto de velocidad se define como la derivada parcial. ${\displaystyle Z^{i}}$ ${\displaystyle S^{\alpha }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\textbf {V}}=V^{i}{\textbf {Z}}_{i}}$

${\displaystyle V^{i}={\frac {\partial Z^{i}\left(t,S\right)}{\partial t}}}$

La velocidad se puede calcular más directamente mediante la fórmula ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=V^{i}N_{i}}$

¿Dónde están las componentes covariantes del vector normal ? ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {N}}}$

Además, al definir la representación del tensor de desplazamiento del espacio tangente de la superficie y la velocidad tangente como , entonces la definición de la derivada para una F invariante dice ${\displaystyle Z_{i}^{\alpha }={\textbf {S}}^{\alpha }\cdot {\textbf {Z}}_{i}}$ ${\displaystyle V^{\alpha }=Z_{i}^{\alpha }V^{i}}$ ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}F={\frac {\partial F\left(t,S\right)}{\partial t}}-V^{\alpha }\nabla _{\alpha }F}$

donde es la derivada covariante en S. ${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$

Para los tensores , se necesita una generalización adecuada. La definición adecuada para un tensor representativo dice ${\displaystyle T_{j\beta }^{i\alpha }}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}T_{j\beta }^{i\alpha }={\frac {\partial T_{j\beta }^{i\alpha }}{\partial t}}-V^{\eta }\nabla _{\eta }T_{j\beta }^{i\alpha }+V^{m}\Gamma _{mk}^{i}T_{j\beta }^{k\alpha }-V^{m}\Gamma _{mj}^{k}T_{k\beta }^{i\alpha }+{\dot {\Gamma }}_{\eta }^{\alpha }T_{j\beta }^{i\eta }-{\dot {\Gamma }}_{\beta }^{\eta }T_{j\eta }^{i\alpha }}$

donde están los símbolos de Christoffel y son los símbolos temporales apropiados de la superficie ( es una representación matricial del operador de forma de curvatura de la superficie) ${\displaystyle \Gamma _{mj}^{k}}$ ${\displaystyle {\dot {\Gamma }}_{\beta }^{\alpha }=\nabla _{\beta }V^{\alpha }-CB_{\beta }^{\alpha }}$ ${\displaystyle B_{\beta }^{\alpha }}$

Propiedades de la ∇ ˙ {\displaystyle {\dot {\nabla }}} -derivado

La derivada -conmuta con contracción, satisface la regla del producto para cualquier colección de índices ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}(S_{\alpha }^{i}T_{j}^{\beta })=T_{j}^{\beta }{\dot {\nabla }}S_{\alpha }^{i}+S_{\alpha }^{i}{\dot {\nabla }}T_{j}^{\beta }}$

y obedece una regla de la cadena para restricciones superficiales de tensores espaciales:

${\displaystyle {\dot {\nabla }}F_{k}^{j}(Z,t)={\frac {\partial F_{k}^{j}}{\partial t}}+CN^{i}\nabla _{i}F_{k}^{j}}$

La regla de la cadena muestra que las derivadas de las "métricas" espaciales desaparecen ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}\delta _{j}^{i}=0,{\dot {\nabla }}Z_{ij}=0,{\dot {\nabla }}Z^{ij}=0,{\dot {\nabla }}\varepsilon _{ijk}=0,{\dot {\nabla }}\varepsilon ^{ijk}=0}$

donde y son tensores métricos covariantes y contravariantes , es el símbolo delta de Kronecker , y y son los símbolos de Levi-Civita . El artículo principal sobre los símbolos de Levi-Civita los describe para los sistemas de coordenadas cartesianas . La regla anterior es válida en coordenadas generales, donde la definición de los símbolos de Levi-Civita debe incluir la raíz cuadrada del determinante del tensor métrico covariante . ${\displaystyle Z_{ij}}$ ${\displaystyle Z^{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{ijk}}$ ${\displaystyle Z_{ij}}$

tabla de diferenciación para el ∇ ˙ {\displaystyle {\dot {\nabla }}} -derivado

La derivación de los objetos de superficie clave conduce a fórmulas muy concisas y atractivas. Cuando se aplica al tensor métrico de superficie covariante y al tensor métrico contravariante , resultan las siguientes identidades ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$ ${\displaystyle S_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle S^{\alpha \beta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}S_{\alpha \beta }&=0\\[8pt]{\dot {\nabla }}S^{\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}$

donde y son los tensores de curvatura doblemente covariantes y doblemente contravariantes . Estos tensores de curvatura, así como el tensor de curvatura mixta , satisfacen ${\displaystyle B_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle B^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle B_{\beta }^{\alpha }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}B_{\alpha \beta }&=\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }C+CB_{\alpha \gamma }B_{\beta }^{\gamma }\\[8pt]{\dot {\nabla }}B_{\beta }^{\alpha }&=\nabla _{\beta }\nabla ^{\alpha }C+CB_{\gamma }^{\alpha }B_{\beta }^{\gamma }\\[8pt]{\dot {\nabla }}B^{\alpha \beta }&=\nabla ^{\alpha }\nabla ^{\beta }C+CB^{\gamma \alpha }B_{\gamma }^{\beta }\end{aligned}}}$

El tensor de desplazamiento y la normal satisfacen ${\displaystyle Z_{\alpha }^{i}}$ ${\displaystyle N^{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}Z_{\alpha }^{i}&=N^{i}\nabla _{\alpha }C\\[8pt]{\dot {\nabla }}N^{i}&=-Z_{\alpha }^{i}\nabla ^{\alpha }C\end{aligned}}}$

Finalmente, los símbolos superficiales de Levi-Civita y satisfacen ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{\alpha \beta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}\varepsilon _{\alpha \beta }&=0\\[8pt]{\dot {\nabla }}\varepsilon ^{\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}$

Diferenciación temporal de integrales.

El CMS proporciona reglas para la diferenciación temporal de integrales de volumen y superficie .

Referencias

1. Grinfeld, P. (2010). "Ecuaciones dinámicas hamiltonianas para películas fluidas". Estudios en Matemática Aplicada. doi :10.1111/j.1467-9590.2010.00485.x. ISSN  0022-2526.
2. J. Hadamard, Leçons Sur La Propagation Des Ondes Et Les Équations de l'Hydrodynamique. París: Hermann, 1903.