Evolución temporal de las integrales

Cambio de tiempo del valor de una integral

En el ámbito del cálculo diferencial , en muchas aplicaciones es necesario calcular la tasa de cambio de una integral de volumen o de superficie cuyo dominio de integración , así como el integrando , son funciones de un parámetro particular. En aplicaciones físicas, ese parámetro es frecuentemente el tiempo t .

Introducción

La tasa de cambio de integrales unidimensionales con integrandos suficientemente suaves , está gobernada por esta extensión del teorema fundamental del cálculo :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}f\left(t,x\right)dx=\int _{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}{\frac {\partial f\left(t,x\right)}{\partial t}}dx+f\left(t,b\left(t\right)\right)b^{\prime }\left(t\right)-f\left(t,a\left(t\right)\right)a^{\prime }\left(t\right)}$

El cálculo de superficies en movimiento ^[1] proporciona fórmulas análogas para integrales de volumen sobre dominios euclidianos e integrales de superficie sobre geometría diferencial de superficies , superficies curvas, incluidas integrales sobre superficies curvas con límites de contorno en movimiento .

Integrales de volumen

Sea t un parámetro temporal y considere un dominio dependiente del tiempo Ω con un límite de superficie suave S . Sea F un campo invariante dependiente del tiempo definido en el interior de Ω. Entonces, la tasa de cambio de la integral ${\displaystyle \int _{\Omega }F\,d\Omega }$

se rige por la siguiente ley: ^[1]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }F\,d\Omega =\int _{\Omega }{\frac {\partial F}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{S}CF\,dS}$

donde C es la velocidad de la interfaz . La velocidad de la interfaz C es el concepto fundamental en el cálculo de superficies en movimiento . En la ecuación anterior, C debe expresarse con respecto a la normal exterior . Esta ley puede considerarse como la generalización del teorema fundamental del cálculo .

Integrales de superficie

Una ley relacionada rige la tasa de cambio de la integral de superficie.

${\displaystyle \int _{S}F\,dS}$

La ley dice:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{S}F\,dS=\int _{S}{\frac {\delta F}{\delta t}}\,dS-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }F\,dS}$

donde la derivada - es el operador fundamental en el cálculo de superficies móviles , propuesto originalmente por Jacques Hadamard . es la traza del tensor de curvatura media . En esta ley, C no necesita ser expresión con respecto a la normal exterior, siempre que la elección de la normal sea consistente para C y . El primer término en la ecuación anterior captura la tasa de cambio en F mientras que el segundo corrige el área en expansión o contracción. El hecho de que la curvatura media represente la tasa de cambio en el área se deduce de la aplicación de la ecuación anterior a ya que es área: ${\displaystyle {\delta }/{\delta }t}$ ${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }}$ ${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }}$ ${\displaystyle F\equiv 1}$ ${\displaystyle \int _{S}\,dS}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{S}\,dS=-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }\,dS}$

La ecuación anterior muestra que la curvatura media puede denominarse apropiadamente gradiente de forma del área. Una evolución regida por ${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }}$

${\displaystyle C\equiv B_{\alpha }^{\alpha }}$

es el flujo de curvatura media popular y representa el descenso más pronunciado con respecto al área. Nótese que para una esfera de radio R , , y para un círculo de radio R , con respecto a la normal exterior. ${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }=-2/R}$ ${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }=-1/R}$

Integrales de superficie con límites de contorno móviles

Ilustración de la ley de las integrales de superficie con un contorno en movimiento. El cambio de área proviene de dos fuentes: expansión por curvatura y expansión por anexión . ${\displaystyle CB_{\alpha }^{\alpha }dt}$ ${\displaystyle cdt}$

Supongamos que S es una superficie móvil con un contorno móvil γ. Supongamos que la velocidad del contorno γ con respecto a S es c . Entonces, la tasa de cambio de la integral dependiente del tiempo:

${\displaystyle \int _{S}F\,dS}$

es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{S}F\,dS=\int _{S}{\frac {\delta F}{\delta t}}\,dS-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }F\,dS+\int _{\gamma }c\,d\gamma }$

El último término captura el cambio de área debido a la anexión, como lo ilustra la figura de la derecha.

Referencias

1. Grinfeld, P. (2010). "Ecuaciones dinámicas hamiltonianas para películas de fluidos". Estudios en Matemáticas Aplicadas. doi :10.1111/j.1467-9590.2010.00485.x. ISSN  0022-2526.