Cálculo de superficies móviles

Ampliación del cálculo tensorial clásico

La superficie de una bandera en el viento es un ejemplo de una variedad deformable.

El cálculo de superficies móviles ( CMS ) ^[1] es una extensión del cálculo tensorial clásico a variedades deformantes . Un elemento central del CMS es la derivada temporal tensorial, cuya definición original ^[2] fue propuesta por Jacques Hadamard . Desempeña un papel análogo al de la derivada covariante en variedades diferenciales , ya que produce un tensor cuando se aplica a un tensor. ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$ ${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$

Jacques Salomon Hadamard, matemático francés (1865-1963 d. C.)

Supongamos que es la evolución de la superficie indexada por un parámetro temporal . Las definiciones de la velocidad de la superficie y del operador son los fundamentos geométricos del CMS. La velocidad C es la tasa de deformación de la superficie en la dirección normal instantánea . El valor de en un punto se define como el límite ${\displaystyle \Sigma _{t}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle C=\lim _{h\to 0}{\frac {{\text{Distance}}(P,P^{*})}{h}}}$

donde es el punto que se encuentra en la línea recta perpendicular a en el punto P. Esta definición se ilustra en la primera figura geométrica a continuación. La velocidad es una cantidad con signo: es positiva cuando apunta en la dirección de la normal elegida y negativa en caso contrario. La relación entre y es análoga a la relación entre la ubicación y la velocidad en el cálculo elemental: conocer cualquiera de las cantidades permite construir la otra por diferenciación o integración . ${\displaystyle P^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma _{t+h}}$ ${\displaystyle \Sigma _{t}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\overline {PP^{*}}}}$ ${\displaystyle \Sigma _{t}}$ ${\displaystyle C}$

Construcción geométrica de la velocidad superficial C

Construcción geométrica de la derivada de un cuerpo invariante F ${\displaystyle \delta /\delta t}$

La derivada temporal tensorial para un campo escalar F definido en es la tasa de cambio en la dirección normal instantánea: ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$ ${\displaystyle \Sigma _{t}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\frac {\delta F}{\delta t}}=\lim _{h\to 0}{\frac {F(P^{*})-F(P)}{h}}}$

Esta definición también se ilustra en la segunda figura geométrica.

Las definiciones anteriores son geométricas . En contextos analíticos, la aplicación directa de estas definiciones puede no ser posible. El CMS proporciona definiciones analíticas de C y en términos de operaciones elementales de cálculo y geometría diferencial . ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$

Definiciones analíticas

Para las definiciones analíticas de y , considere la evolución de dada por ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle Z^{i}=Z^{i}\left(t,S\right)}$

donde son las coordenadas generales del espacio curvilíneo y son las coordenadas de la superficie. Por convención, se omiten los índices tensoriales de los argumentos de la función. Por lo tanto, las ecuaciones anteriores contienen en lugar de . El objeto de velocidad se define como la derivada parcial ${\displaystyle Z^{i}}$ ${\displaystyle S^{\alpha }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\textbf {V}}=V^{i}{\textbf {Z}}_{i}}$

${\displaystyle V^{i}={\frac {\partial Z^{i}\left(t,S\right)}{\partial t}}}$

La velocidad se puede calcular más directamente mediante la fórmula ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=V^{i}N_{i}}$

¿Dónde están los componentes covariantes del vector normal ? ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {N}}}$

Además, al definir la representación del tensor de desplazamiento del espacio tangente de la superficie y la velocidad tangente como , entonces la definición de la derivada para un invariante F se lee ${\displaystyle Z_{i}^{\alpha }={\textbf {S}}^{\alpha }\cdot {\textbf {Z}}_{i}}$ ${\displaystyle V^{\alpha }=Z_{i}^{\alpha }V^{i}}$ ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}F={\frac {\partial F\left(t,S\right)}{\partial t}}-V^{\alpha }\nabla _{\alpha }F}$

donde es la derivada covariante en S. ${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$

Para los tensores , se necesita una generalización adecuada. La definición adecuada para un tensor representativo dice ${\displaystyle T_{j\beta }^{i\alpha }}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}T_{j\beta }^{i\alpha }={\frac {\partial T_{j\beta }^{i\alpha }}{\partial t}}-V^{\eta }\nabla _{\eta }T_{j\beta }^{i\alpha }+V^{m}\Gamma _{mk}^{i}T_{j\beta }^{k\alpha }-V^{m}\Gamma _{mj}^{k}T_{k\beta }^{i\alpha }+{\dot {\Gamma }}_{\eta }^{\alpha }T_{j\beta }^{i\eta }-{\dot {\Gamma }}_{\beta }^{\eta }T_{j\eta }^{i\alpha }}$

¿Dónde están los símbolos de Christoffel y son los símbolos temporales apropiados de la superficie ( es una representación matricial del operador de forma de curvatura de la superficie)? ${\displaystyle \Gamma _{mj}^{k}}$ ${\displaystyle {\dot {\Gamma }}_{\beta }^{\alpha }=\nabla _{\beta }V^{\alpha }-CB_{\beta }^{\alpha }}$ ${\displaystyle B_{\beta }^{\alpha }}$

Propiedades de la ∇ ˙ {\displaystyle {\dot {\nabla }}} -derivado

La derivada conmuta con la contracción y satisface la regla del producto para cualquier conjunto de índices. ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}(S_{\alpha }^{i}T_{j}^{\beta })=T_{j}^{\beta }{\dot {\nabla }}S_{\alpha }^{i}+S_{\alpha }^{i}{\dot {\nabla }}T_{j}^{\beta }}$

y obedece una regla de cadena para restricciones de superficie de tensores espaciales:

${\displaystyle {\dot {\nabla }}F_{k}^{j}(Z,t)={\frac {\partial F_{k}^{j}}{\partial t}}+CN^{i}\nabla _{i}F_{k}^{j}}$

La regla de la cadena muestra que las derivadas de las "métricas" espaciales desaparecen. ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$

${\displaystyle {\dot {\nabla }}\delta _{j}^{i}=0,{\dot {\nabla }}Z_{ij}=0,{\dot {\nabla }}Z^{ij}=0,{\dot {\nabla }}\varepsilon _{ijk}=0,{\dot {\nabla }}\varepsilon ^{ijk}=0}$

donde y son tensores métricos covariantes y contravariantes , es el símbolo delta de Kronecker , y y son los símbolos de Levi-Civita . El artículo principal sobre los símbolos de Levi-Civita los describe para sistemas de coordenadas cartesianas . La regla anterior es válida en coordenadas generales, donde la definición de los símbolos de Levi-Civita debe incluir la raíz cuadrada del determinante del tensor métrico covariante . ${\displaystyle Z_{ij}}$ ${\displaystyle Z^{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{ijk}}$ ${\displaystyle Z_{ij}}$

Tabla de diferenciación para la ∇ ˙ {\displaystyle {\dot {\nabla }}} -derivado

La derivada de los objetos de superficie clave conduce a fórmulas muy concisas y atractivas. Cuando se aplica al tensor métrico de superficie covariante y al tensor métrico contravariante , resultan las siguientes identidades ${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$ ${\displaystyle S_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle S^{\alpha \beta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}S_{\alpha \beta }&=0\\[8pt]{\dot {\nabla }}S^{\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}$

donde y son los tensores de curvatura doblemente covariantes y doblemente contravariantes . Estos tensores de curvatura, así como para el tensor de curvatura mixto , satisfacen ${\displaystyle B_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle B^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle B_{\beta }^{\alpha }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}B_{\alpha \beta }&=\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }C+CB_{\alpha \gamma }B_{\beta }^{\gamma }\\[8pt]{\dot {\nabla }}B_{\beta }^{\alpha }&=\nabla _{\beta }\nabla ^{\alpha }C+CB_{\gamma }^{\alpha }B_{\beta }^{\gamma }\\[8pt]{\dot {\nabla }}B^{\alpha \beta }&=\nabla ^{\alpha }\nabla ^{\beta }C+CB^{\gamma \alpha }B_{\gamma }^{\beta }\end{aligned}}}$

El tensor de desplazamiento y la normal satisfacen ${\displaystyle Z_{\alpha }^{i}}$ ${\displaystyle N^{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}Z_{\alpha }^{i}&=N^{i}\nabla _{\alpha }C\\[8pt]{\dot {\nabla }}N^{i}&=-Z_{\alpha }^{i}\nabla ^{\alpha }C\end{aligned}}}$

Finalmente, los símbolos de superficie de Levi-Civita y satisfacen ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{\alpha \beta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}\varepsilon _{\alpha \beta }&=0\\[8pt]{\dot {\nabla }}\varepsilon ^{\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}$

Diferenciación temporal de integrales

El CMS proporciona reglas para la diferenciación temporal de integrales de volumen y superficie .

Referencias

1. Grinfeld, P. (2010). "Ecuaciones dinámicas hamiltonianas para películas de fluidos". Estudios en Matemáticas Aplicadas. doi :10.1111/j.1467-9590.2010.00485.x. ISSN  0022-2526.
2. J. Hadamard, Leçons Sur La Propagation Des Ondes Et Les Équations de l'Hydrodynamique. París: Hermann, 1903.