Teorema del valor medio

Sobre la existencia de una tangente a un arco paralelo a la recta que pasa por sus extremos

Para cualquier función que sea continua y derivable, existe algo en el intervalo tal que la secante que une los extremos del intervalo es paralela a la tangente en . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle c}$

En matemáticas , el teorema del valor medio (o teorema de Lagrange ) establece, aproximadamente, que para un arco plano dado entre dos puntos finales, hay al menos un punto en el que la tangente al arco es paralela a la secante que pasa por sus puntos finales. Es uno de los resultados más importantes del análisis real . Este teorema se utiliza para probar afirmaciones sobre una función en un intervalo a partir de hipótesis locales sobre derivadas en puntos del intervalo.

Más precisamente, el teorema establece que si es una función continua en el intervalo cerrado y diferenciable en el intervalo abierto , entonces existe un punto en tal que la tangente en es paralela a la recta secante que pasa por los puntos finales y , es decir, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\big (}a,f(a){\big )}}$ ${\displaystyle {\big (}b,f(b){\big )}}$

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Historia

Un caso especial de este teorema de interpolación inversa del seno fue descrito por primera vez por Parameshvara (1380-1460), de la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala en India , en sus comentarios sobre Govindasvāmi y Bhāskara II . ^[1] Michel Rolle demostró una forma restringida del teorema en 1691; el resultado fue lo que hoy se conoce como teorema de Rolle , y se demostró sólo para polinomios, sin las técnicas del cálculo. El teorema del valor medio en su forma moderna fue establecido y demostrado por Augustin Louis Cauchy en 1823. ^[2] Desde entonces se han demostrado muchas variaciones de este teorema. ^{[3] [4]}

Declaración formal

La función obtiene la pendiente de la secante entre y como derivada en el punto . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \xi \in (a,b)}$

También es posible que existan múltiples tangentes paralelas a la secante.

Sea una función continua en el intervalo cerrado y diferenciable en el intervalo abierto , donde . Entonces existe algo en tal que ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

El teorema del valor medio es una generalización del teorema de Rolle , que supone , de modo que el lado derecho de arriba es cero. ${\displaystyle f(a)=f(b)}$

El teorema del valor medio sigue siendo válido en un entorno un poco más general. Sólo hay que suponer que es continuo y que para cada uno en el límite ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

existe como un número finito o es igual a o . Si es finito, ese límite es igual a . Un ejemplo en el que se aplica esta versión del teorema lo da la función de raíz cúbica de valor real , cuya derivada tiende al infinito en el origen. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{1/3}}$

El teorema, como se dijo, es falso si una función diferenciable tiene valores complejos en lugar de valores reales. Por ejemplo, defina para todos los reales . Entonces ${\displaystyle f(x)=e^{xi}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0)}$

mientras que para cualquier real . ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$ ${\displaystyle x}$

Estos enunciados formales también se conocen como teorema del valor medio de Lagrange . ^[5]

Prueba

La expresión da la pendiente de la recta que une los puntos y , que es una cuerda de la gráfica de , mientras que da la pendiente de la tangente a la curva en el punto . Así, el teorema del valor medio dice que dada cualquier cuerda de una curva suave, podemos encontrar un punto en la curva que se encuentre entre los puntos finales de la cuerda tal que la tangente de la curva en ese punto sea paralela a la cuerda. La siguiente prueba ilustra esta idea. ${\textstyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ ${\displaystyle (a,f(a))}$ ${\displaystyle (b,f(b))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$

Defina dónde es una constante. Dado que es continuo y diferenciable en , lo mismo ocurre con . Ahora queremos elegir algo que satisfaga las condiciones del teorema de Rolle . A saber ${\displaystyle g(x)=f(x)-rx}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g(a)=g(b)&\iff f(a)-ra=f(b)-rb\\&\iff r(b-a)=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.\end{aligned}}}$

Según el teorema de Rolle , dado que es diferenciable y , hay algunos en para los cuales , y de la igualdad se deduce que, ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(a)=g(b)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle g'(c)=0}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-rx}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&g'(x)=f'(x)-r\\&g'(c)=0\\&g'(c)=f'(c)-r=0\\&\Rightarrow f'(c)=r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\end{aligned}}}$

Trascendencia

Teorema 1: Supongamos que es una función continua de valor real, definida en un intervalo arbitrario de la recta real. Si la derivada de en cada punto interior del intervalo existe y es cero, entonces es constante en el interior. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$

Prueba: Suponga que la derivada de en cada punto interior del intervalo existe y es cero. Sea un intervalo abierto arbitrario en . Según el teorema del valor medio, existe un punto tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle 0=f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$

Esto implica que . Por tanto, es constante en el interior de y por tanto es constante por continuidad. (Consulte a continuación una versión multivariable de este resultado). ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

Observaciones:

• Sólo se necesita continuidad de , no diferenciabilidad, en los puntos finales del intervalo . No es necesario plantear ninguna hipótesis de continuidad si se trata de un intervalo abierto , ya que la existencia de una derivada en un punto implica continuidad en ese punto. (Ver la sección continuidad y diferenciabilidad del artículo derivada .) ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$
• La diferenciabilidad de se puede relajar a la diferenciabilidad unilateral , se proporciona una prueba en el artículo sobre semidiferenciabilidad . ${\displaystyle f}$

Teorema 2: Si para todos en un intervalo del dominio de estas funciones, entonces es constante, es decir, donde es una constante en . ${\displaystyle f'(x)=g'(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle f-g}$ ${\displaystyle f=g+c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$

Prueba: Sea , entonces, en el intervalo , por lo que el teorema 1 anterior dice que es una constante o . ${\displaystyle F(x)=f(x)-g(x)}$ ${\displaystyle F'(x)=f'(x)-g'(x)=0}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle F(x)=f(x)-g(x)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f=g+c}$

Teorema 3: Si es una primitiva de on en un intervalo , entonces la primitiva más general de on es donde es una constante. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F(x)+c}$ ${\displaystyle c}$

Prueba: Se deriva directamente del teorema 2 anterior.

Teorema del valor medio de Cauchy

El teorema del valor medio de Cauchy , también conocido como teorema del valor medio extendido , ^[6] es una generalización del teorema del valor medio. Dice: si las funciones y son continuas en el intervalo cerrado y diferenciables en el intervalo abierto , entonces existe alguna , tal que ^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$

Significado geométrico del teorema de Cauchy

${\displaystyle (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).}$

Por supuesto, si y , esto equivale a: ${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$ ${\displaystyle g'(c)\neq 0}$

${\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.}$

Geométricamente, esto significa que hay algo tangente a la gráfica de la curva ^[7]

${\displaystyle {\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}}$

que es paralela a la recta definida por los puntos y . Sin embargo, el teorema de Cauchy no afirma la existencia de tal tangente en todos los casos donde y son puntos distintos, ya que podría satisfacerse sólo para algún valor con , en otras palabras, un valor para el cual la curva mencionada es estacionaria ; en tales puntos no es probable que se defina ninguna tangente a la curva. Un ejemplo de esta situación es la curva dada por ${\displaystyle (f(a),g(a))}$ ${\displaystyle (f(b),g(b))}$ ${\displaystyle (f(a),g(a))}$ ${\displaystyle (f(b),g(b))}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f'(c)=g'(c)=0}$

${\displaystyle t\mapsto \left(t^{3},1-t^{2}\right),}$

que en el intervalo va del punto a , pero nunca tiene tangente horizontal; sin embargo, tiene un punto estacionario (de hecho, una cúspide ) en . ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle t=0}$

El teorema del valor medio de Cauchy se puede utilizar para demostrar la regla de L'Hôpital . El teorema del valor medio es el caso especial del teorema del valor medio de Cauchy cuando . ${\displaystyle g(t)=t}$

Prueba del teorema del valor medio de Cauchy

La prueba del teorema del valor medio de Cauchy se basa en la misma idea que la prueba del teorema del valor medio.

• Suponer . Definir dónde se fija de tal manera que , es decir ${\displaystyle g(a)\neq g(b)}$ ${\displaystyle h(x)=f(x)-rg(x)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h(a)=h(b)}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}h(a)=h(b)&\iff f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)\\&\iff r(g(b)-g(a))=f(b)-f(a)\\&\iff r={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}.\end{aligned}}}$

  Dado que y son continuos y diferenciables en , lo mismo ocurre con . En definitiva, satisface las condiciones del teorema de Rolle : en consecuencia, hay algunas para las cuales . Ahora usando la definición de tenemos: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle h'(c)=0}$ ${\displaystyle h}$

  ${\displaystyle 0=h'(c)=f'(c)-rg'(c)=f'(c)-\left({\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\right)g'(c).}$

  Por lo tanto:

  ${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c),}$

  lo que implica el resultado. ^[5]
• Si entonces, aplicando el teorema de Rolle a , se deduce que existe en para el cual . Usando esta elección de , se cumple (trivialmente) el teorema del valor medio de Cauchy. ${\displaystyle g(a)=g(b)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle g'(c)=0}$ ${\displaystyle c}$

Generalización de determinantes

Supongamos que y son funciones diferenciables que son continuas en . Definir ${\displaystyle f,g,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle D(x)={\begin{vmatrix}f(x)&g(x)&h(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}}$

Existe tal que . ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle D'(c)=0}$

Darse cuenta de

${\displaystyle D'(x)={\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}}}$

y si colocamos , obtenemos el teorema del valor medio de Cauchy . Si colocamos y obtenemos el teorema del valor medio de Lagrange . ${\displaystyle h(x)=1}$ ${\displaystyle h(x)=1}$ ${\displaystyle g(x)=x}$

La prueba de la generalización es bastante simple: cada uno de y son determinantes con dos filas idénticas, por lo tanto . El teorema de Rolle implica que existe tal que . ${\displaystyle D(a)}$ ${\displaystyle D(b)}$ ${\displaystyle D(a)=D(b)=0}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle D'(c)=0}$

Teorema del valor medio en varias variables.

El teorema del valor medio se generaliza a funciones reales de múltiples variables. El truco consiste en utilizar la parametrización para crear una función real de una variable y luego aplicar el teorema de una variable.

Sea un subconjunto abierto de y sea una función diferenciable. Fije puntos tales que el segmento de línea entre ellos se encuentre y defina . Dado que es una función diferenciable en una variable, el teorema del valor medio da: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:G\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x,y\in G}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g(t)=f{\big (}(1-t)x+ty{\big )}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(1)-g(0)=g'(c)}$

para algunos entre 0 y 1. Pero desde y , calculando explícitamente tenemos: ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle g(1)=f(y)}$ ${\displaystyle g(0)=f(x)}$ ${\displaystyle g'(c)}$

${\displaystyle f(y)-f(x)=\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}\cdot (y-x)}$

donde denota un gradiente y un producto escalar . Este es un análogo exacto del teorema de una variable (en el caso de que sea el teorema de una variable). Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz , la ecuación da la estimación: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle {\Bigl |}f(y)-f(x){\Bigr |}\leq {\Bigl |}\nabla f{\big (}(1-c)x+cy{\big )}{\Bigr |}\ {\Bigl |}y-x{\Bigr |}.}$

En particular, cuando las derivadas parciales de están acotadas, Lipschitz es continua (y por lo tanto uniformemente continua ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Como aplicación de lo anterior, demostramos que es constante si el subconjunto abierto es conexo y toda derivada parcial de es 0. Elija algún punto y sea . Queremos mostrar para todos . Para eso, vamos . Entonces E es cerrado y no vacío. También está abierto: para todos , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in G}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-f(x_{0})}$ ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle E=\{x\in G:g(x)=0\}}$ ${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle {\Big |}g(y){\Big |}={\Big |}g(y)-g(x){\Big |}\leq (0){\Big |}y-x{\Big |}=0}$

por cada en algún barrio de . (Aquí es crucial que y estén lo suficientemente cerca uno del otro). Como está conectado, concluimos . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E=G}$

Los argumentos anteriores se formulan sin coordenadas; por tanto, se generalizan al caso en el que es un subconjunto de un espacio de Banach. ${\displaystyle G}$

Teorema del valor medio para funciones con valores vectoriales

No existe un análogo exacto del teorema del valor medio para funciones con valores vectoriales (ver más abajo). Sin embargo, existe una desigualdad que se puede aplicar a muchas de las mismas situaciones a las que se aplica el teorema del valor medio en el caso unidimensional: ^[8]

Teorema  :  para una función continua con valores vectoriales diferenciable en , existe un número tal que ${\displaystyle \mathbf {f} :[a,b]\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle c\in (a,b)}$

${\displaystyle |\mathbf {f} (b)-\mathbf {f} (a)|\leq (b-a)\left|\mathbf {f} '(c)\right|}$.

El teorema se deriva del teorema del valor medio. De hecho, toma . Entonces tiene valor real y, por lo tanto, según el teorema del valor medio, ${\displaystyle \varphi (t)=({\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a))\cdot {\textbf {f}}(t)}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi (b)-\varphi (a)=\varphi '(c)(b-a)}$

para algunos . Ahora, y por lo tanto, usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz , de la ecuación anterior, obtenemos: ${\displaystyle c\in (a,b)}$ ${\displaystyle \varphi (b)-\varphi (a)=|{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|^{2}}$ ${\displaystyle \varphi '(c)=({\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a))\cdot {\textbf {f}}'(c).}$

${\displaystyle |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|^{2}\leq |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)||{\textbf {f}}'(c)|(b-a).}$

Si , el teorema es trivial (cualquier c funciona). De lo contrario, al dividir ambos lados por se obtiene el teorema. ${\displaystyle {\textbf {f}}(b)={\textbf {f}}(a)}$ ${\displaystyle |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|}$ ${\displaystyle \square }$

Jean Dieudonné en su tratado clásico Fundamentos del análisis moderno descarta el teorema del valor medio y lo reemplaza por la desigualdad media (que se proporciona a continuación) ya que la prueba no es constructiva y no se puede encontrar el valor medio y en las aplicaciones solo se necesita la desigualdad media. Serge Lang en Análisis I utiliza el teorema del valor medio, en forma integral, como reflejo instantáneo pero este uso requiere la continuidad de la derivada. Si se utiliza la integral de Henstock-Kurzweil, se puede tener el teorema del valor medio en forma integral sin el supuesto adicional de que la derivada debe ser continua, ya que toda derivada es integrable de Henstock-Kurzweil.

La razón por la que no existe un análogo de la igualdad del valor medio es la siguiente: Si f  : U → R ^m es una función diferenciable (donde U ⊂ R ⁿ es abierta) y si x + th , x , h ∈ R ⁿ , t ∈ [0, 1] es el segmento de línea en cuestión (que se encuentra dentro de U ), entonces se puede aplicar el procedimiento de parametrización anterior a cada una de las funciones componentes f _i ( i = 1,…, m ) de f (en el conjunto de notación anterior y = x + h ). Al hacerlo, se encuentran puntos x + t _i h en el segmento de recta que satisfacen

${\displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t_{i}h)\cdot h.}$

Pero generalmente no habrá un solo punto x + t * h en el segmento de línea que satisfaga

${\displaystyle f_{i}(x+h)-f_{i}(x)=\nabla f_{i}(x+t^{*}h)\cdot h.}$

para todos i simultáneamente . Por ejemplo, defina:

${\displaystyle {\begin{cases}f:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}\\f(x)=(\cos(x),\sin(x))\end{cases}}}$

Entonces , pero y nunca son simultáneamente cero cuando los rangos superan . ${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f_{1}'(x)=-\sin(x)}$ ${\displaystyle f_{2}'(x)=\cos(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left[0,2\pi \right]}$

El teorema anterior implica lo siguiente:

Desigualdad del valor medio  -  ^[9] Para una función continua , si es diferenciable en , entonces ${\displaystyle {\textbf {f}}:[a,b]\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle |{\textbf {f}}(b)-{\textbf {f}}(a)|\leq (b-a)\sup _{(a,b)}|{\textbf {f}}'|}$.

De hecho, la afirmación anterior es suficiente para muchas aplicaciones y se puede demostrar directamente de la siguiente manera. (Escribiremos para para facilitar la lectura). Primero supongamos que también es diferenciable en . Si es ilimitado , no hay nada que probar. Así, supongamos . Sea algún número real. Dejar ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \sup _{(a,b)}|f'|<\infty }$ ${\displaystyle M>\sup _{(a,b)}|f'|}$

${\displaystyle E=\{0\leq t\leq 1\mid |f(a+t(b-a))-f(a)|\leq Mt(b-a)\}.}$

Queremos mostrar . Por continuidad de , el conjunto está cerrado. Tampoco está vacío como está en él. Por tanto, el conjunto tiene el elemento más grande . Si , entonces y hemos terminado. Supongamos, pues, lo contrario. Para , ${\displaystyle 1\in E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle 1\in E}$ ${\displaystyle 1>t>s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&|f(a+t(b-a))-f(a)|\\&\leq |f(a+t(b-a))-f(a+s(b-a))-f'(a+s(b-a))(t-s)(b-a)|+|f'(a+s(b-a))|(t-s)(b-a)\\&+|f(a+s(b-a))-f(a)|.\end{aligned}}}$

Sea tal que . Por la diferenciabilidad de at (la nota puede ser 0), si está suficientemente cerca de , el primer término es . El segundo término es . El tercer término es . Por lo tanto, sumando las estimaciones, obtenemos: , una contradicción con la maximalidad de . Por lo tanto, y eso significa: ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle M-\epsilon >\sup _{(a,b)}|f'|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a+s(b-a)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \leq \epsilon (t-s)(b-a)}$ ${\displaystyle \leq (M-\epsilon )(t-s)(b-a)}$ ${\displaystyle \leq Ms(b-a)}$ ${\displaystyle |f(a+t(b-a))-f(a)|\leq tM|b-a|}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1=s\in M}$

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq M(b-a).}$

Dado que es arbitrario, esto implica la afirmación. Finalmente, si no es diferenciable en , apliquemos el primer caso a restringido en , dándonos: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a'\in (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a',b]}$

${\displaystyle |f(b)-f(a')|\leq (b-a')\sup _{(a,b)}|f'|}$

desde . Dejar terminar la prueba. ${\displaystyle (a',b)\subset (a,b)}$ ${\displaystyle a'\to a}$ ${\displaystyle \square }$

Para conocer algunas aplicaciones de la desigualdad del valor medio para establecer resultados básicos en cálculo, consulte también Cálculo en el espacio euclidiano#Nociones básicas .

Un cierto tipo de generalización del teorema del valor medio a funciones vectoriales se obtiene de la siguiente manera: Sea f una función de valor real continuamente diferenciable definida en un intervalo abierto I , y sean x así como x + h puntos de I . El teorema del valor medio en una variable nos dice que existe algún t * entre 0 y 1 tal que

${\displaystyle f(x+h)-f(x)=f'(x+t^{*}h)\cdot h.}$

Por otro lado, tenemos, según el teorema fundamental del cálculo seguido de un cambio de variables,

${\displaystyle f(x+h)-f(x)=\int _{x}^{x+h}f'(u)\,du=\left(\int _{0}^{1}f'(x+th)\,dt\right)\cdot h.}$

Así, el valor f′ ( x + t * h ) en el punto particular t * ha sido reemplazado por el valor medio

${\displaystyle \int _{0}^{1}f'(x+th)\,dt.}$

Esta última versión se puede generalizar a funciones con valores vectoriales:

Proposición  :  Sea U ⊂ R ⁿ abierto, f  : U → R ^m continuamente diferenciable, y x ∈ U , h ∈ R ⁿ vectores tales que el segmento de recta x + th , 0 ≤ t ≤ 1 permanezca en U . Entonces nosotros tenemos:

${\displaystyle f(x+h)-f(x)=\left(\int _{0}^{1}Df(x+th)\,dt\right)\cdot h,}$

donde Df denota la matriz jacobiana de f y la integral de una matriz debe entenderse por componentes.

Prueba. Sea f ₁ , …, f _m los componentes de f y defina:

${\displaystyle {\begin{cases}g_{i}:[0,1]\to \mathbb {R} \\g_{i}(t)=f_{i}(x+th)\end{cases}}}$

Entonces nosotros tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{i}(x+h)-f_{i}(x)&=g_{i}(1)-g_{i}(0)=\int _{0}^{1}g_{i}'(t)\,dt\\&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x+th)h_{j}\right)dt=\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x+th)\,dt\right)h_{j}.\end{aligned}}}$

La afirmación se deduce ya que Df es la matriz que consta de los componentes . ${\displaystyle {\tfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$ ${\displaystyle \square }$

La desigualdad del valor medio puede entonces obtenerse como corolario de la proposición anterior (aunque bajo el supuesto de que las derivadas son continuas). ^[10]

Casos en los que no se puede aplicar el teorema

Ambas condiciones para el teorema del valor medio son necesarias:

1. ${\displaystyle {\boldsymbol {f(x)}}}$es diferenciable en ${\displaystyle {\boldsymbol {(a,b)}}}$
2. ${\displaystyle {\boldsymbol {f(x)}}}$es continuo en ${\displaystyle {\boldsymbol {[a,b]}}}$

Cuando no se cumple una de las condiciones anteriores, el teorema del valor medio no es válido en general y, por lo tanto, no se puede aplicar.

La función es diferenciable en el intervalo abierto a,b

La necesidad de la primera condición se puede ver en el contraejemplo donde la función en [-1,1] no es diferenciable. ${\displaystyle f(x)=|x|}$

La función es continua en el intervalo cerrado a,b

La necesidad de la segunda condición se puede ver en el contraejemplo donde la función ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&{\text{at }}x=0\\0,&{\text{if }}x\in (0,1]\end{cases}}}$

${\displaystyle f(x)}$satisface el criterio 1 desde el ${\displaystyle f'(x)=0}$ ${\displaystyle (0,1)}$

Pero no el criterio 2 desde y para todos, por lo que no existe tal ${\displaystyle {\frac {f(1)-f(0)}{1-0}}=-1}$ ${\displaystyle -1\neq 0=f'(x)}$ ${\displaystyle x\in (0,1)}$ ${\displaystyle c}$

Teoremas del valor medio para integrales definidas

Primer teorema del valor medio para integrales definidas

Geométricamente: interpretando f(c) como la altura de un rectángulo y b – a como el ancho, este rectángulo tiene la misma área que la región debajo de la curva de a a b ^[11]

Sea f  : [ a , b ] → R una función continua. Entonces existe c en ( a , b ) tal que

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a).}$

Esto se desprende inmediatamente del teorema fundamental del cálculo , junto con el teorema del valor medio de las derivadas. Dado que el valor medio de f en [ a , b ] se define como

${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$

Podemos interpretar la conclusión como que f alcanza su valor medio en algún c en ( a , b ). ^[12]

En general, si f  : [ a , b ] → R es continua y g es una función integrable que no cambia de signo en [ a , b ], entonces existe c en ( a , b ) tal que

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Prueba de que hay algoCen [a,b][13]

Supongamos que f  : [ a , b ] → R es continua y g es una función integrable no negativa en [ a , b ]. Según el teorema del valor extremo , existen m y M tales que para cada x en [ a , b ], y . Como g no es negativo, ${\displaystyle m\leq f(x)\leq M}$ ${\displaystyle f[a,b]=[m,M]}$

${\displaystyle m\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq M\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Ahora deja

${\displaystyle I=\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Si , hemos terminado desde ${\displaystyle I=0}$

${\displaystyle 0\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq 0}$

medio

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=0,}$

entonces, para cualquier c en ( a , b ),

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)I=0.}$

Si yo ≠ 0, entonces

${\displaystyle m\leq {\frac {1}{I}}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq M.}$

Según el teorema del valor intermedio , f alcanza todos los valores del intervalo [ m , M ], por lo que para algún c en [ a , b ]

${\displaystyle f(c)={\frac {1}{I}}\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx,}$

eso es,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(c)\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$

Finalmente, si g es negativo en [ a , b ], entonces

${\displaystyle M\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq m\int _{a}^{b}g(x)\,dx,}$

y todavía obtenemos el mismo resultado que el anterior.

QED

Segundo teorema del valor medio para integrales definidas

Existen varios teoremas ligeramente diferentes llamados segundo teorema del valor medio para integrales definidas . Una versión que se encuentra comúnmente es la siguiente:

Si es una función positiva monótonamente decreciente y es una función integrable, entonces existe un número x en ( a , b ] tal que ${\displaystyle G:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi :[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt.}$

Aquí significa , cuya existencia se deriva de las condiciones. Tenga en cuenta que es esencial que el intervalo ( a , b ] contenga b . Una variante que no tiene este requisito es: ^[14] ${\displaystyle G(a^{+})}$ ${\textstyle {\lim _{x\to a^{+}}G(x)}}$

Si es una función monótona (no necesariamente decreciente y positiva) y es una función integrable, entonces existe un número x en ( a , b ) tal que ${\displaystyle G:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varphi :[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}G(t)\varphi (t)\,dt=G(a^{+})\int _{a}^{x}\varphi (t)\,dt+G(b^{-})\int _{x}^{b}\varphi (t)\,dt.}$

El teorema del valor medio para la integración falla para funciones con valores vectoriales

Si la función devuelve un vector multidimensional, entonces el MVT para la integración no es verdadero, incluso si el dominio de también es multidimensional. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Por ejemplo, considere la siguiente función bidimensional definida en un cubo de dimensiones: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{cases}G:[0,2\pi ]^{n}\to \mathbb {R} ^{2}\\G(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\sin(x_{1}+\cdots +x_{n}),\cos(x_{1}+\cdots +x_{n})\right)\end{cases}}}$

Entonces, por simetría es fácil ver que el valor medio de sobre su dominio es (0,0): ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \int _{[0,2\pi ]^{n}}G(x_{1},\dots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}=(0,0)}$

Sin embargo, no tiene sentido , porque en todas partes. ${\displaystyle G=(0,0)}$ ${\displaystyle |G|=1}$

Un análogo probabilístico del teorema del valor medio

Sean X e Y variables aleatorias no negativas tales que E[ X ] < E[ Y ] < ∞ y (es decir, X es menor que Y en el orden estocástico habitual ). Entonces existe una variable aleatoria no negativa absolutamente continua Z que tiene una función de densidad de probabilidad ${\displaystyle X\leq _{st}Y}$

${\displaystyle f_{Z}(x)={\Pr(Y>x)-\Pr(X>x) \over {\rm {E}}[Y]-{\rm {E}}[X]}\,,\qquad x\geqslant 0.}$

Sea g una función medible y diferenciable tal que E[ g ( X )], E[ g ( Y )] < ∞, y sea su derivada g′ mensurable e integrable con Riemann en el intervalo [ x , y ] para todos y ≥ x ≥ 0. Entonces, E[ g′ ( Z )] es finita y ^[15]

${\displaystyle {\rm {E}}[g(Y)]-{\rm {E}}[g(X)]={\rm {E}}[g'(Z)]\,[{\rm {E}}(Y)-{\rm {E}}(X)].}$

Teorema del valor medio en variables complejas

Como se señaló anteriormente, el teorema no se cumple para funciones diferenciables de valores complejos. En cambio, se establece una generalización del teorema de la siguiente manera: ^[16]

Sea f  : Ω → C una función holomorfa en el conjunto convexo abierto Ω, y sean a y b puntos distintos en Ω. Entonces existen puntos u , v en el interior del segmento de recta de a a b tales que

${\displaystyle \operatorname {Re} (f'(u))=\operatorname {Re} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right),}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (f'(v))=\operatorname {Im} \left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right).}$

Donde Re() es la parte real e Im() es la parte imaginaria de una función de valores complejos.

Ver también

• Método Newmark-beta
• Teorema del valor medio (diferencias divididas)
• Principio de pista
• media estolar

Notas

1. JJ O'Connor y EF Robertson (2000). Paramesvara, archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas .
2. Ádám Besenyei. «Desarrollo histórico del teorema del valor medio» (PDF) .
3. Lozada-Cruz, alemán (2 de octubre de 2020). "Algunas variantes del teorema del valor medio de Cauchy". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 51 (7): 1155-1163. Código Bib : 2020IJMES..51.1155L. doi :10.1080/0020739X.2019.1703150. ISSN  0020-739X. S2CID  213335491.
4. Sahoo, Prasanna. (1998). Teoremas del valor medio y ecuaciones funcionales. Riedel, T. (Thomas), 1962-. Singapur: World Scientific. ISBN 981-02-3544-5. OCLC  40951137.
5. Análisis real de abc Kirshna: (General). Medios de Krishna Prakashan.
6. W., Weisstein, Eric. "Teorema del valor medio extendido". mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de octubre de 2018 .{{cite web}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. "Teorema del valor medio de Cauchy". Matemáticas24 . Consultado el 8 de octubre de 2018 .
8. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pag. 113.ISBN​ 978-0-07-054235-8.Teorema 5.19.
9. Hörmander 2015, Teorema 1.1.1. y comentario a continuación.

10. Lema  :  Sea v  : [ a , b ] → R ^m una función continua definida en el intervalo [ a , b ] ⊂ R . Entonces nosotros tenemos

    ${\displaystyle \left\|\int _{a}^{b}v(t)\,dt\right\|\leq \int _{a}^{b}\|v(t)\|\,dt.}$

    Prueba. Sea u en R ^m el valor de la integral

    ${\displaystyle u:=\int _{a}^{b}v(t)\,dt.}$

    Ahora tenemos (usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz ):

    ${\displaystyle \|u\|^{2}=\langle u,u\rangle =\left\langle \int _{a}^{b}v(t)\,dt,u\right\rangle =\int _{a}^{b}\langle v(t),u\rangle \,dt\leq \int _{a}^{b}\|v(t)\|\cdot \|u\|\,dt=\|u\|\int _{a}^{b}\|v(t)\|\,dt}$

    Ahora, cancelar la norma de u en ambos extremos nos da la desigualdad deseada.

    Desigualdad del valor medio  :  si la norma de Df ( x + th ) está limitada por alguna constante M para t en [0, 1] , entonces

    ${\displaystyle \|f(x+h)-f(x)\|\leq M\|h\|.}$

    Prueba.

    ${\displaystyle \|f(x+h)-f(x)\|=\left\|\int _{0}^{1}(Df(x+th)\cdot h)\,dt\right\|\leq \int _{0}^{1}\|Df(x+th)\|\cdot \|h\|\,dt\leq M\|h\|.}$

11. "Palabras matemáticas: teorema del valor medio para integrales". www.mathwords.com .
12. Michael Comenetz (2002). Cálculo: los elementos . Científico mundial. pag. 159.ISBN​ 978-981-02-4904-5.
13. Nota editorial: la prueba debe modificarse para mostrar que hay una c en ( a , b )
14. Hobson, EW (1909). "Sobre el segundo teorema del valor medio del cálculo integral". Proc. Matemáticas de Londres. Soc. T2–7 (1): 14–23. Código Bib : 1909PLMS...27...14H. doi :10.1112/plms/s2-7.1.14. SEÑOR  1575669.
15. Di Crescenzo, A. (1999). "Un análogo probabilístico del teorema del valor medio y sus aplicaciones a la teoría de la confiabilidad". J. Aplica. Probablemente. 36 (3): 706–719. doi : 10.1239/jap/1032374628. JSTOR  3215435. S2CID  250351233.
16. 1 J.-Cl. Evard, F. Jafari, Un teorema complejo de Rolle, American Mathematical Monthly, vol. 99, número 9, (noviembre de 1992), págs. 858-861.

Referencias

• Hörmander, Lars (2015), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I: teoría de la distribución y análisis de Fourier , Clásicos de las matemáticas (2ª ed.), Springer, ISBN 9783642614972

enlaces externos

• "Teorema de Cauchy", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• PlanetMath: Teorema del valor medio
• Weisstein, Eric W. "Teorema del valor medio". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Teorema del valor medio de Cauchy". MundoMatemático .
• "Teorema del valor medio: la intuición detrás del teorema del valor medio" en la Khan Academy