Método beta de Newmark

El método Newmark-beta es un método de integración numérica utilizado para resolver ciertas ecuaciones diferenciales . Se utiliza ampliamente en la evaluación numérica de la respuesta dinámica de estructuras y sólidos, como en el análisis de elementos finitos para modelar sistemas dinámicos. El método recibe su nombre de Nathan M. Newmark , ^[1] ex profesor de Ingeniería Civil en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign , quien lo desarrolló en 1959 para su uso en dinámica estructural . La ecuación estructural semidiscretizada es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden,

${\displaystyle M{\ddot {u}}+C{\dot {u}}+f^{\textrm {int}}(u)=f^{\textrm {ext}}\,}$

Aquí está la matriz de masa, es la matriz de amortiguamiento y son la fuerza interna por unidad de desplazamiento y las fuerzas externas, respectivamente. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{\textrm {int}}}$ ${\displaystyle f^{\textrm {ext}}}$

Utilizando el teorema del valor medio extendido , el método de Newmark establece que la primera derivada temporal (velocidad en la ecuación de movimiento ) se puede resolver como, ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+\Delta t~{\ddot {u}}_{\gamma }\,}$

dónde

${\displaystyle {\ddot {u}}_{\gamma }=(1-\gamma ){\ddot {u}}_{n}+\gamma {\ddot {u}}_{n+1}~~~~0\leq \gamma \leq 1}$

por lo tanto

${\displaystyle {\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+(1-\gamma )\Delta t~{\ddot {u}}_{n}+\gamma \Delta t~{\ddot {u}}_{n+1}.}$

Sin embargo, como la aceleración también varía con el tiempo, el teorema del valor medio extendido también debe extenderse a la segunda derivada temporal para obtener el desplazamiento correcto. Por lo tanto,

${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+\Delta t~{\dot {u}}_{n}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\Delta t^{2}~{\ddot {u}}_{\beta }}$

donde otra vez

${\displaystyle {\ddot {u}}_{\beta }=(1-2\beta ){\ddot {u}}_{n}+2\beta {\ddot {u}}_{n+1}~~~~0\leq 2\beta \leq 1}$

La ecuación estructural discretizada se convierte en

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+(1-\gamma )\Delta t~{\ddot {u}}_{n}+\gamma \Delta t~{\ddot {u}}_{n+1}\\&u_{n+1}=u_{n}+\Delta t~{\dot {u}}_{n}+{\frac {\Delta t^{2}}{2}}\left((1-2\beta ){\ddot {u}}_{n}+2\beta {\ddot {u}}_{n+1}\right)\\&M{\ddot {u}}_{n+1}+C{\dot {u}}_{n+1}+f^{\textrm {int}}(u_{n+1})=f_{n+1}^{\textrm {ext}}\,\end{aligned}}}$

El esquema de diferencia central explícita se obtiene estableciendo y ${\displaystyle \gamma =0.5}$ ${\displaystyle \beta =0}$

La aceleración constante promedio (regla del punto medio) se obtiene estableciendo y ${\displaystyle \gamma =0.5}$ ${\displaystyle \beta =0.25}$

Análisis de estabilidad

Se dice que un esquema de integración temporal es estable si existe un paso de tiempo de integración tal que para cualquier , una variación finita del vector de estado en el tiempo induce solo una variación no creciente del vector de estado calculado en un tiempo posterior . Suponga que el esquema de integración temporal es ${\displaystyle \Delta t_{0}>0}$ ${\displaystyle \Delta t\in (0,\Delta t_{0}]}$ ${\displaystyle q_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle q_{n+1}}$ ${\displaystyle t_{n+1}}$

${\displaystyle q_{n+1}=A(\Delta t)q_{n}+g_{n+1}(\Delta t)}$

La estabilidad lineal es equivalente a , aquí es el radio espectral de la matriz de actualización . ${\displaystyle \rho (A(\Delta t))\leq 1}$ ${\displaystyle \rho (A(\Delta t))}$ ${\displaystyle A(\Delta t)}$

Para la ecuación estructural lineal

${\displaystyle M{\ddot {u}}+C{\dot {u}}+Ku=f^{\textrm {ext}}\,}$

Aquí está la matriz de rigidez. Sea , la matriz de actualización es , y ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle q_{n}=[{\dot {u}}_{n},u_{n}]}$ ${\displaystyle A=H_{1}^{-1}H_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}={\begin{bmatrix}M+\gamma \Delta tC&\gamma \Delta tK\\\beta \Delta t^{2}C&M+\beta \Delta t^{2}K\end{bmatrix}}\qquad H_{0}={\begin{bmatrix}M-(1-\gamma )\Delta tC&-(1-\gamma )\Delta tK\\-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}C+\Delta tM&M-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}K\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Para el caso no amortiguado ( ), la matriz de actualización se puede desacoplar introduciendo los modos propios del sistema estructural, que se resuelven mediante el problema de valores propios generalizado. ${\displaystyle C=0}$ ${\displaystyle u=e^{i\omega _{i}t}x_{i}}$

${\displaystyle \omega ^{2}Mx=Kx\,}$

Para cada modo propio, la matriz de actualización se convierte en

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}={\begin{bmatrix}1&\gamma \Delta t\omega _{i}^{2}\\0&1+\beta \Delta t^{2}\omega _{i}^{2}\end{bmatrix}}\qquad H_{0}={\begin{bmatrix}1&-(1-\gamma )\Delta t\omega _{i}^{2}\\\Delta t&1-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}\omega _{i}^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

La ecuación característica de la matriz de actualización es

${\displaystyle \lambda ^{2}-\left(2-(\gamma +{\frac {1}{2}})\eta _{i}^{2}\right)\lambda +1-(\gamma -{\frac {1}{2}})\eta _{i}^{2}=0\,\qquad \eta _{i}^{2}={\frac {\omega _{i}^{2}\Delta t^{2}}{1+\beta \omega _{i}^{2}\Delta t^{2}}}}$

En cuanto a la estabilidad, tenemos

El esquema de diferencia central explícita ( y ) es estable cuando . ${\displaystyle \gamma =0.5}$ ${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle \omega \Delta t\leq 2}$

La aceleración constante promedio (regla del punto medio) ( y ) es incondicionalmente estable. ${\displaystyle \gamma =0.5}$ ${\displaystyle \beta =0.25}$

Referencias

1. Newmark, Nathan M. (1959), "Un método de cálculo para dinámica estructural", Journal of the Engineering Mechanics Division , 85 (EM3) (3): 67–94, doi :10.1061/JMCEA3.0000098