Principio de la pista de carreras

En cálculo , el principio de pista de carreras describe el movimiento y el crecimiento de dos funciones en términos de sus derivadas .

Este principio se deriva del hecho de que si un caballo llamado Frank Fleetfeet siempre corre más rápido que un caballo llamado Greg Gooseleg, entonces, si Frank y Greg comienzan una carrera desde el mismo lugar y al mismo tiempo, Frank ganará. En pocas palabras, el caballo que comienza rápido y se mantiene rápido gana.

En símbolos:

si para todos , y si , entonces para todos . ${\displaystyle f'(x)>g'(x)}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle f(0)=g(0)}$ ${\displaystyle f(x)>g(x)}$ ${\displaystyle x>0}$

o, sustituyendo ≥ por > se obtiene el teorema

si para todos , y si , entonces para todos . ${\displaystyle f'(x)\geq g'(x)}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle f(0)=g(0)}$ ${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$ ${\displaystyle x\geq 0}$

lo cual puede demostrarse de manera similar

Prueba

Este principio se puede demostrar considerando la función . Si tomáramos la derivada, notaríamos que para , ${\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)}$ ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle h'=f'-g'>0.}$

Observe también que . Combinando estas observaciones, podemos utilizar el teorema del valor medio en el intervalo y obtener ${\displaystyle h(0)=0}$ ${\displaystyle [0,x]}$

${\displaystyle 0<h'(x_{0})={\frac {h(x)-h(0)}{x-0}}={\frac {f(x)-g(x)}{x}}.}$

Por suposición, , por lo que al multiplicar ambos lados por se obtiene . Esto implica . ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)-g(x)>0}$ ${\displaystyle f(x)>g(x)}$

Generalizaciones

El enunciado del principio de la pista de carreras se puede generalizar ligeramente de la siguiente manera:

si para todos , y si , entonces para todos . ${\displaystyle f'(x)>g'(x)}$ ${\displaystyle x>a}$ ${\displaystyle f(a)=g(a)}$ ${\displaystyle f(x)>g(x)}$ ${\displaystyle x>a}$

Como arriba, sustituyendo ≥ por > se obtiene el teorema

si para todos , y si , entonces para todos . ${\displaystyle f'(x)\geq g'(x)}$ ${\displaystyle x>a}$ ${\displaystyle f(a)=g(a)}$ ${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$ ${\displaystyle x>a}$

Prueba

Esta generalización se puede demostrar a partir del principio de la pista de carreras de la siguiente manera:

Consideremos las funciones y . Dado que para todos , y , ${\displaystyle f_{2}(x)=f(x+a)}$ ${\displaystyle g_{2}(x)=g(x+a)}$ ${\displaystyle f'(x)>g'(x)}$ ${\displaystyle x>a}$ ${\displaystyle f(a)=g(a)}$

${\displaystyle f_{2}'(x)>g_{2}'(x)}$para todos , y , lo cual por la prueba del principio de la pista de carreras anterior significa para todos, entonces para todos . ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle f_{2}(0)=g_{2}(0)}$ ${\displaystyle f_{2}(x)>g_{2}(x)}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle f(x)>g(x)}$ ${\displaystyle x>a}$

Solicitud

El principio de la pista de carreras se puede utilizar para demostrar un lema necesario para demostrar que la función exponencial crece más rápido que cualquier función de potencia. El lema requerido es que

${\displaystyle e^{x}>x}$

para todos los reales . Esto es obvio para pero el principio de la pista de carreras se puede utilizar para . Para ver cómo se utiliza, consideramos las funciones ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

y

${\displaystyle g(x)=x+1.}$

Tenga en cuenta que y que ${\displaystyle f(0)=g(0)}$

${\displaystyle e^{x}>1}$

porque la función exponencial siempre es creciente ( monótona ), por lo que . Por lo tanto, por el principio de la pista de carreras . Por lo tanto, ${\displaystyle f'(x)>g'(x)}$ ${\displaystyle f(x)>g(x)}$

${\displaystyle e^{x}>x+1>x}$

Para todos . ${\displaystyle x>0}$

Referencias

• Deborah Hughes-Hallet, et al., Cálculo .