Integral no elemental

Integrales no expresables en forma cerrada a partir de funciones elementales

En matemáticas , una antiderivada no elemental de una función elemental dada es una antiderivada (o integral indefinida) que, en sí misma, no es una función elemental (es decir, una función construida a partir de un número finito de cocientes de variables constantes , algebraicas , exponenciales , trigonométricas y logarítmicas) . funciones utilizando operaciones de campo ). ^[1] Un teorema de Liouville en 1835 proporcionó la primera prueba de que existen antiderivadas no elementales. ^[2] Este teorema también proporciona una base para el algoritmo de Risch para determinar (con dificultad) qué funciones elementales tienen antiderivadas elementales.

Ejemplos

Ejemplos de funciones con antiderivadas no elementales incluyen:

• ${\displaystyle {\sqrt {1-x^{4}}}}$^[1] ( integral elíptica )
• ${\displaystyle {\frac {1}{\ln x}}}$^[3] ( integral logarítmica )
• ${\displaystyle e^{-x^{2}}}$^[1] ( función de error , integral gaussiana )
• ${\displaystyle \sin(x^{2})}$y ( integral de Fresnel ) ${\displaystyle \cos(x^{2})}$
• ${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\operatorname {sinc} (x)}$( integral seno , integral de Dirichlet )
• ${\displaystyle {\frac {e^{-x}}{x}}}$( integral exponencial )
• ${\displaystyle e^{e^{x}}\,}$(en términos de la integral exponencial)
• ${\displaystyle \ln(\ln x)\,}$(en términos de la integral logarítmica)
• ${\displaystyle {x^{c-1}}e^{-x}}$( función gamma incompleta ); porque la primitiva se puede escribir en términos de la integral exponencial; for en términos de la función de error; para cualquier número entero positivo, la antiderivada es elemental. ${\displaystyle c=0,}$ ${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}},}$ ${\displaystyle c=}$

Algunas funciones antiderivadas no elementales comunes reciben nombres que definen las llamadas funciones especiales , y las fórmulas que involucran estas nuevas funciones pueden expresar una clase más amplia de antiderivadas no elementales. Los ejemplos anteriores nombran las funciones especiales correspondientes entre paréntesis.

Propiedades

Las antiderivadas no elementales a menudo se pueden evaluar utilizando series de Taylor . Incluso si una función no tiene antiderivada elemental, su serie de Taylor siempre se puede integrar término por término como un polinomio , dando la función antiderivada como una serie de Taylor con el mismo radio de convergencia . Sin embargo, incluso si el integrando tiene una serie de Taylor convergente, su secuencia de coeficientes a menudo no tiene una fórmula elemental y debe evaluarse término por término, con la misma limitación para la serie integral de Taylor.

Incluso si no es posible evaluar una integral indefinida (antiderivada) en términos elementales, siempre se puede aproximar una integral definida correspondiente mediante integración numérica . También hay casos en los que no existe una antiderivada elemental, pero integrales definidas específicas (a menudo integrales impropias en intervalos ilimitados ) se pueden evaluar en términos elementales: el más famoso es la integral gaussiana. ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.}$

La clausura bajo integración del conjunto de las funciones elementales es el conjunto de las funciones de Liouvillian .

Ver también

• Función algebraica  – Función matemática
• Expresión en forma cerrada  : fórmula matemática que involucra un conjunto dado de operaciones.
• Derivada  : tasa de cambio instantánea (matemáticas)
• Álgebra diferencial  - Estudio algebraico de ecuaciones diferenciales
• Listas de integrales
• Teorema de Liouville (álgebra diferencial)  : dice cuándo las antiderivadas de funciones elementales se pueden expresar como funciones elementales.
• Teorema de Richardson  : indecidibilidad de la igualdad de números reales
• Integración simbólica  : en matemáticas, cálculo de una antiderivada en forma cerrada.
• Problema de álgebra de la escuela secundaria de Tarski  - Problema matemático
• Función trascendental  : función analítica que no satisface una ecuación polinómica

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Función elemental". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/ElementaryFunction.html De MathWorld Consultado el 24 de abril de 2017.
2. Dunham, William (2005). La galería de cálculo . Princeton. pag. 119.ISBN​ 978-0-691-13626-4.
3. Teoremas de imposibilidad para la integración elemental; Brian Conrado. Clay Mathematics Institute : Serie de coloquios de la Academia 2005. Consultado el 14 de julio de 2014.

• Integración de funciones no elementales, SOS MATHematics.com; consultado el 7 de diciembre de 2012.

Otras lecturas

• Williams, Dana P., ANTIDERIVADAS NO ELEMENTALES, 1 de diciembre de 1993. Consultado el 24 de enero de 2014.