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Función integral logarítmica

Gráfico de la función integral logarítmica li(z) en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creado con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1
Gráfico de la función integral logarítmica li(z) en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creado con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

En matemáticas , la función integral logarítmica o logaritmo integral li( x ) es una función especial . Es relevante en problemas de física y tiene importancia en la teoría de números . En particular, según el teorema de los números primos , es una muy buena aproximación a la función de conteo de primos , que se define como el número de números primos menores o iguales a un valor dado .

Gráfica de función integral logarítmica

Representación integral

La integral logarítmica tiene una representación integral definida para todos los números reales positivos x  ≠ 1 por la integral definida

Aquí, ln denota el logaritmo natural . La función 1/(ln t ) tiene una singularidad en t = 1 , y la integral para x > 1 se interpreta como un valor principal de Cauchy .

Integral logarítmica desplazada

La integral logarítmica desfasada o integral logarítmica euleriana se define como

Como tal, la representación integral tiene la ventaja de evitar la singularidad en el dominio de la integración.

De manera equivalente,

Valores especiales

La función li( x ) tiene un único cero positivo; ocurre en x ≈ 1,45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... OEIS : A070769 ; este número se conoce como la constante de Ramanujan-Soldner .

≈ 1,045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151... OEIS : A069284

Aquí es donde se encuentra la función gamma incompleta . Debe entenderse como el valor principal de Cauchy de la función.

Representación en serie

La función li( x ) está relacionada con la integral exponencial Ei( x ) a través de la ecuación

que es válida para x  > 0. Esta identidad proporciona una representación en serie de li( x ) como

donde γ ≈ 0,57721 56649 01532 ... OEIS : A001620 es la constante de Euler-Mascheroni . Una serie de convergencia más rápida de Ramanujan [1] es

Expansión asintótica

El comportamiento asintótico para x  → ∞ es

donde está la notación O grande . La expansión asintótica completa es

o

Esto da el siguiente comportamiento asintótico más preciso:

Como desarrollo asintótico, esta serie no es convergente : es una aproximación razonable solo si la serie se trunca en un número finito de términos y solo se emplean valores grandes de x . Este desarrollo se deduce directamente del desarrollo asintótico para la integral exponencial .

Esto implica, por ejemplo, que podemos poner li entre paréntesis como:

Para todos .

Importancia teórica de los números

La integral logarítmica es importante en la teoría de números , ya que aparece en las estimaciones de la cantidad de números primos menores que un valor dado. Por ejemplo, el teorema de los números primos establece que:

donde denota el número de primos menores o iguales a .

Suponiendo la hipótesis de Riemann , obtenemos una hipótesis aún más fuerte: [2]

De hecho, la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que:

Para cualquier .


Para valores pequeños , pero la diferencia cambia de signo un número infinito de veces a medida que aumenta, y la primera vez que esto sucede es en algún lugar entre 10 19 y 1,4×10 316 .

Véase también

Referencias

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Integral logarítmica". MathWorld .
  2. ^ Abramowitz y Stegun, pag. 230, 5.1.20