Teorema de Liouville (álgebra diferencial)

Dice cuándo las primitivas de funciones elementales se pueden expresar como funciones elementales.

En matemáticas , el teorema de Liouville , formulado originalmente por el matemático francés Joseph Liouville entre 1833 y 1841, ^{[1] [2] [3]} impone una restricción importante a las antiderivadas que pueden expresarse como funciones elementales .

Las primitivas de ciertas funciones elementales no pueden expresarse en sí mismas como funciones elementales. Éstas se denominan antiderivadas no elementales . Un ejemplo estándar de una función de este tipo es cuya antiderivada es (con un multiplicador de una constante) la función de error , conocida en estadística . Otros ejemplos incluyen las funciones y ${\displaystyle e^{-x^{2}},}$ ${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}}$ ${\displaystyle x^{x}.}$

El teorema de Liouville establece que las antiderivadas elementales, si existen, están en el mismo campo diferencial que la función, además posiblemente de un número finito de aplicaciones de la función logarítmica.

Definiciones

Para cualquier campo diferencial el ${\displaystyle F,}$constantes dees el subcampo Dado dos campos diferencialesyse llama ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle \operatorname {Con} (F)=\{f\in F:Df=0\}.}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G}$la extensión logarítmica deifes unaextensión trascendental simplede(es decir,para algúntrascendental) tal que ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G=F(t)}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle Dt={\frac {Ds}{s}}\quad {\text{ for some }}s\in F.}$$

Éste tiene la forma de una derivada logarítmica . Intuitivamente, uno puede pensar en el logaritmo de algún elemento , en cuyo caso esta condición es análoga a la regla de la cadena ordinaria . Sin embargo, no necesariamente está equipado con un logaritmo único; se podrían añadir muchas extensiones "similares a logaritmos" a De manera similar, una ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F.}$La extensión exponencial es una extensión trascendental simple que satisface $${\displaystyle {\frac {Dt}{t}}=Ds\quad {\text{ for some }}s\in F.}$$

Teniendo en cuenta la advertencia anterior, este elemento puede considerarse como un exponencial de un elemento de Finalmente, se denomina exponencial de un elemento de ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle G}$extensión diferencial elemental desi hay una cadena finita desubcamposdesdehastadonde cadaextensiónde la cadena es algebraica, logarítmica o exponencial. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Teorema básico

Supongamos que y son campos diferenciales con y que es una extensión diferencial elemental de Supongamos y satisfacemos (en palabras, supongamos que contiene una primitiva de ). Entonces existen y tales que ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} (F)=\operatorname {Con} (G),}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle Dg=f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in \operatorname {Con} (F)}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n},s\in F}$ $${\displaystyle f=c_{1}{\frac {Df_{1}}{f_{1}}}+\dotsb +c_{n}{\frac {Df_{n}}{f_{n}}}+Ds.}$$

En otras palabras, las únicas funciones que tienen "antiderivadas elementales" (es decir, antiderivadas que viven, en el peor de los casos, en una extensión diferencial elemental de ) son aquellas con esta forma. Así, en un nivel intuitivo, el teorema establece que las únicas antiderivadas elementales son las funciones "simples" más un número finito de logaritmos de funciones "simples". ${\displaystyle F}$

Se puede encontrar una prueba del teorema de Liouville en la sección 12.4 de Geddes, et al. ^[4] Véase la bibliografía científica de Lützen para un esbozo de la prueba original de Liouville ^[5] (Capítulo IX. Integración en términos finitos), su exposición moderna y tratamiento algebraico (ibid. §61).

Ejemplos

Como ejemplo, el campo de funciones racionales en una sola variable tiene una derivación dada por la derivada estándar con respecto a esa variable. Las constantes de este campo son solo los números complejos , es decir, ${\displaystyle F:=\mathbb {C} (x)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ;}$ ${\displaystyle \operatorname {Con} (\mathbb {C} (x))=\mathbb {C} ,}$

La función que existe en no tiene antiderivada en Sus antiderivadas , sin embargo, existen en la extensión logarítmica ${\displaystyle f:={\tfrac {1}{x}},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} (x),}$ ${\displaystyle \mathbb {C} (x).}$ ${\displaystyle \ln x+C}$ ${\displaystyle \mathbb {C} (x,\ln x).}$

Asimismo, la función no tiene antiderivada en Sus antiderivadas no parecen satisfacer los requisitos del teorema, ya que no son (aparentemente) sumas de funciones racionales y logaritmos de funciones racionales. Sin embargo, un cálculo con la fórmula de Euler muestra que, de hecho, las antiderivadas se pueden escribir de la manera requerida (como logaritmos de funciones racionales). ${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{2}+1}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} (x).}$ ${\displaystyle \tan ^{-1}(x)+C}$ ${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{2i\theta }&={\frac {e^{i\theta }}{e^{-i\theta }}}={\frac {\cos \theta +i\sin \theta }{\cos \theta -i\sin \theta }}={\frac {1+i\tan \theta }{1-i\tan \theta }}\\[8pt]\theta &={\frac {1}{2i}}\ln \left({\frac {1+i\tan \theta }{1-i\tan \theta }}\right)\\[8pt]\tan ^{-1}x&={\frac {1}{2i}}\ln \left({\frac {1+ix}{1-ix}}\right)\end{aligned}}}$$

Relación con la teoría diferencial de Galois

El teorema de Liouville se presenta a veces como un teorema de la teoría diferencial de Galois , pero esto no es estrictamente cierto. El teorema se puede demostrar sin utilizar la teoría de Galois . Además, el grupo de Galois de una antiderivada simple es trivial (si no se requiere una extensión de campo para expresarlo) o es simplemente el grupo aditivo de las constantes (correspondiente a la constante de integración). Por tanto, el grupo diferencial de Galois de una antiderivada no codifica suficiente información para determinar si puede expresarse utilizando funciones elementales, la condición principal del teorema de Liouville.

Ver también

• Función algebraica  – Función matemática
• Expresión en forma cerrada  : fórmula matemática que involucra un conjunto dado de operaciones.
• Álgebra diferencial  - Estudio algebraico de ecuaciones diferenciales
• Teoría diferencial de Galois  - Estudio de grupos de simetría de campos diferenciales de Galois
• Función elemental  – Función matemática
• Aritmética de funciones elementales  - Sistema de aritmética en la teoría de la prueba
• Función de Liouvillian  : funciones elementales y sus integrales iteradas finitamente
• Integral no elemental  : integrales no expresables en forma cerrada a partir de funciones elementales
• Algoritmo de Risch  : método para evaluar integrales indefinidas
• Problema de álgebra de la escuela secundaria de Tarski  - Problema matemático
• Función trascendental  : función analítica que no satisface una ecuación polinómica

Notas

1. Liouville 1833a.
2. Liouville 1833b.
3. Liouville 1833c.
4. Geddes, Czapor y Labahn 1992
5. Lützen, Jesper (1990). José Liouville 1809–1882. Estudios de Historia de las Matemáticas y Ciencias Físicas. vol. 15. Nueva York, Nueva York: Springer Nueva York. doi :10.1007/978-1-4612-0989-8. ISBN 978-1-4612-6973-1.

Referencias

• Bertrand, D. (1996), "Revisión de" Conferencias sobre la teoría diferencial de Galois "" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 33 (2), doi : 10.1090/s0273-0979-96-00652-0 , ISSN  0002-9904
• Geddes, Keith O.; Czapor, Stephen R.; Labahn, George (1992). Algoritmos para álgebra informática . Editores académicos de Kluwer. ISBN 0-7923-9259-0.
• Liouville, José (1833a). "Premier mémoire sur la determinación des integrales dont la valeur est algébrique". Revista de la Escuela Politécnica . tomo XIV: 124-148.
• Liouville, José (1833b). "Segunda memoria sobre la determinación de los integrales dont la valeur est algébrique". Revista de la Escuela Politécnica . tomo XIV: 149-193.
• Liouville, José (1833c). "Note sur la determinación des integrales dont la valeur est algébrique". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 10 : 347–359.
• Magid, Andy R. (1994), Conferencias sobre la teoría diferencial de Galois, Serie de conferencias universitarias, vol. 7, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-7004-4, SEÑOR  1301076
• Magid, Andy R. (1999), "Teoría diferencial de Galois" (PDF) , Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense , 46 (9): 1041–1049, ISSN  0002-9920, SEÑOR  1710665
• van der Put, Marius; Singer, Michael F. (2003), Teoría de Galois de ecuaciones diferenciales lineales, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 328, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44228-8, señor  1960772

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "El principio de Liouville". MundoMatemático .