Función zeta múltiple

Generalizaciones de la función zeta de Riemann

En matemáticas , las funciones zeta múltiples son generalizaciones de la función zeta de Riemann , definida por

${\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots ,s_{k})=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ {\frac {1}{n_{1}^{s_{1}}\cdots n_{k}^{s_{k}}}}=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}>0}\ \prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}^{s_{i}}}},\!}$

y converger cuando Re( s ₁ ) + ... + Re( s _i ) >  i para todo  i . Al igual que la función zeta de Riemann, las múltiples funciones zeta pueden continuar analíticamente siendo funciones meromórficas (ver, por ejemplo, Zhao (1999)). Cuando s ₁ , ..., sk son todos números enteros positivos (con s _{1 > 1) ,}  estas sumas a menudo se denominan valores zeta múltiples (MZV) o sumas de Euler . Estos valores también pueden considerarse valores especiales de los múltiples polilogaritmos. ^{[1] [2]}

La k en la definición anterior se denomina "profundidad" de un MZV, y la n  =  s ₁  + ... +  s _k se conoce como "peso". ^[3]

La forma abreviada estándar para escribir múltiples funciones zeta es colocar cadenas repetidas del argumento entre llaves y usar un superíndice para indicar el número de repeticiones. Por ejemplo,

${\displaystyle \zeta (2,1,2,1,3)=\zeta (\{2,1\}^{2},3).}$

Definición

Las funciones zeta múltiples surgen como casos especiales de polilogaritmos múltiples

${\displaystyle \mathrm {Li} _{s_{1},\ldots ,s_{d}}(\mu _{1},\ldots ,\mu _{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {\mu _{1}^{k_{1}}\cdots \mu _{d}^{k_{d}}}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}}$

que son generalizaciones de las funciones polilogarítmicas . Cuando todas son raíces n- ésimas de la unidad ^y todas son números enteros no negativos, los valores del polilogaritmo múltiple se denominan valores zeta múltiples coloreados de nivel . En particular, cuando se denominan sumas de Euler o valores zeta múltiples alternos , y cuando se denominan simplemente valores zeta múltiples. A menudo se escriben múltiples valores zeta. ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots ,s_{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {1}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}}$

y las sumas de Euler se escriben

${\displaystyle \zeta (s_{1},\ldots ,s_{d};\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{d})=\sum \limits _{k_{1}>\cdots >k_{d}>0}{\frac {\varepsilon _{1}^{k_{1}}\cdots \varepsilon ^{k_{d}}}{k_{1}^{s_{1}}\cdots k_{d}^{s_{d}}}}}$

dónde . A veces, los autores escriben una barra sobre un correspondiente a un igual a , así por ejemplo ${\displaystyle \varepsilon _{i}=\pm 1}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle \zeta ({\overline {a}},b)=\zeta (a,b;-1,1)}$.

Estructura integral e identidades.

Kontsevich se dio cuenta de que es posible expresar múltiples valores zeta coloreados (y, por tanto, sus casos especiales) como determinadas integrales multivariables . Este resultado a menudo se expresa mediante el uso de una convención para integrales iteradas, en la que

${\displaystyle \int _{0}^{x}f_{1}(t)dt\cdots f_{d}(t)dt=\int _{0}^{x}f_{1}(t_{1})\left(\int _{0}^{t_{1}}f_{2}(t_{2})\left(\int _{0}^{t_{2}}\cdots \left(\int _{0}^{t_{d}}f_{d}(t_{d})dt_{d}\right)\right)dt_{2}\right)dt_{1}}$

Usando esta convención, el resultado se puede expresar de la siguiente manera: ^[2]

${\displaystyle \mathrm {Li} _{s_{1},\ldots ,s_{d}}(\mu _{1},\ldots ,\mu _{d})=\int _{0}^{1}\left({\frac {dt}{t}}\right)^{s_{1}-1}{\frac {dt}{a_{1}-t}}\cdots \left({\frac {dt}{t}}\right)^{s_{d}-1}{\frac {dt}{a_{d}-t}}}$para donde . ${\displaystyle a_{j}=\prod \limits _{i=1}^{j}\mu _{i}^{-1}}$ ${\displaystyle j=1,2,\ldots ,d}$

Este resultado es extremadamente útil debido a un resultado bien conocido sobre productos de integrales iteradas, a saber, que

${\displaystyle \left(\int _{0}^{x}f_{1}(t)dt\cdots f_{n}(t)dt\right)\!\left(\int _{0}^{x}f_{n+1}(t)dt\cdots f_{m}(t)dt\right)=\sum \limits _{\sigma \in {\mathfrak {Sh}}_{n,m}}\int _{0}^{x}f_{\sigma (1)}(t)\cdots f_{\sigma (m)}(t)}$donde y es el grupo simétrico de símbolos. ${\displaystyle {\mathfrak {Sh}}_{n,m}=\{\sigma \in S_{m}\mid \sigma (1)<\cdots <\sigma (n),\sigma (n+1)<\cdots <\sigma (m)\}}$ ${\displaystyle S_{m}}$ ${\displaystyle m}$

Para utilizar esto en el contexto de múltiples valores zeta, defina , como el monoide libre generado por y como el espacio vectorial libre generado por . Puede equiparse con el producto aleatorio , convirtiéndolo en un álgebra . Entonces, la función zeta múltiple se puede ver como un mapa de evaluación, donde identificamos , y definimos ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle a={\frac {dt}{t}}}$ ${\displaystyle b={\frac {dt}{1-t}}}$

${\displaystyle \zeta (\mathbf {w} )=\int _{0}^{1}\mathbf {w} }$para cualquier , ${\displaystyle \mathbf {w} \in X^{*}}$

que, por la citada identidad integral , hace

${\displaystyle \zeta (a^{s_{1}-1}b\cdots a^{s_{d}-1}b)=\zeta (s_{1},\ldots ,s_{d}).}$

Entonces, la identidad integral de los productos da ^[2]

${\displaystyle \zeta (w)\zeta (v)=\zeta (w{\text{ ⧢ }}v).}$

Caso de dos parámetros

En el caso particular de sólo dos parámetros tenemos (con s > 1 y n ,  m enteros): ^[4]

${\displaystyle \zeta (s,t)=\sum _{n>m\geq 1}\ {\frac {1}{n^{s}m^{t}}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\sum _{m=1}^{n-1}{\frac {1}{m^{t}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m^{t}}}}$

${\displaystyle \zeta (s,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n,t}}{(n+1)^{s}}}}$¿Dónde están los números armónicos generalizados ? ${\displaystyle H_{n,t}}$

Se sabe que múltiples funciones zeta satisfacen lo que se conoce como dualidad MZV, cuyo caso más simple es la famosa identidad de Euler :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{(n+1)^{2}}}=\zeta (2,1)=\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}},\!}$

donde H _n son los números armónicos .

Valores especiales de funciones zeta dobles, con s  > 0 e par , t  > 1 e impar , pero s + t = 2 N +1 (tomando si es necesario ζ (0) = 0): ^[4]

${\displaystyle \zeta (s,t)=\zeta (s)\zeta (t)+{\tfrac {1}{2}}{\Big [}{\tbinom {s+t}{s}}-1{\Big ]}\zeta (s+t)-\sum _{r=1}^{N-1}{\Big [}{\tbinom {2r}{s-1}}+{\tbinom {2r}{t-1}}{\Big ]}\zeta (2r+1)\zeta (s+t-1-2r)}$

Tenga en cuenta que si tenemos irreducibles, es decir, estos MZV no se pueden escribir solo como función de. ^[5] ${\displaystyle s+t=2p+2}$ ${\displaystyle p/3}$ ${\displaystyle \zeta (a)}$

Caso de tres parámetros

En el caso particular de sólo tres parámetros tenemos (con a > 1 y n , j ,  i enteros):

${\displaystyle \zeta (a,b,c)=\sum _{n>j>i\geq 1}\ {\frac {1}{n^{a}j^{b}i^{c}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(j+1)^{b}}}\sum _{i=1}^{j}{\frac {1}{(i)^{c}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {H_{j,c}}{(j+1)^{b}}}}$

Fórmula de reflexión de Euler

Los MZV anteriores satisfacen la fórmula de reflexión de Euler:

${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta (b,a)=\zeta (a)\zeta (b)-\zeta (a+b)}$para ${\displaystyle a,b>1}$

Utilizando las relaciones aleatorias, es fácil demostrar que : ^[5]

${\displaystyle \zeta (a,b,c)+\zeta (a,c,b)+\zeta (b,a,c)+\zeta (b,c,a)+\zeta (c,a,b)+\zeta (c,b,a)=\zeta (a)\zeta (b)\zeta (c)+2\zeta (a+b+c)-\zeta (a)\zeta (b+c)-\zeta (b)\zeta (a+c)-\zeta (c)\zeta (a+b)}$para ${\displaystyle a,b,c>1}$

Esta función puede verse como una generalización de las fórmulas de reflexión.

Sumas simétricas en términos de la función zeta.

Sea , y para una partición del conjunto , sea . Además, dada una y una k -tupla de exponentes, defina . ${\displaystyle S(i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k})=\sum _{n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots n_{k}\geq 1}{\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$ ${\displaystyle \Pi =\{P_{1},P_{2},\dots ,P_{l}\}}$ ${\displaystyle \{1,2,\dots ,k\}}$ ${\displaystyle c(\Pi )=(\left|P_{1}\right|-1)!(\left|P_{2}\right|-1)!\cdots (\left|P_{l}\right|-1)!}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle i=\{i_{1},...,i_{k}\}}$ ${\displaystyle \prod _{s=1}^{l}\zeta (\sum _{j\in P_{s}}i_{j})}$

Las relaciones entre el y son: y ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S(i_{1},i_{2})=\zeta (i_{1},i_{2})+\zeta (i_{1}+i_{2})}$ ${\displaystyle S(i_{1},i_{2},i_{3})=\zeta (i_{1},i_{2},i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2},i_{3})+\zeta (i_{1},i_{2}+i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2}+i_{3}).}$

Teorema 1 (Hoffman)

Para cualquier real , . ${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}>1,}$ ${\displaystyle \sum _{\sigma \in \Sigma _{k}}S(i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})=\sum _{{\text{partitions }}\Pi {\text{ of }}\{1,\dots ,k\}}c(\Pi )\zeta (i,\Pi )}$

Prueba. Supongamos que son todos distintos. (No hay pérdida de generalidad, ya que podemos tomar límites). El lado izquierdo se puede escribir como . Ahora pensando en lo simétrico. ${\displaystyle i_{j}}$ ${\displaystyle \sum _{\sigma }\sum _{n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots \geq n_{k}\geq 1}{\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}}$

grupo actuando sobre k -tupla de enteros positivos. Una k -tupla dada tiene un grupo de isotropía ${\displaystyle \Sigma _{k}}$ ${\displaystyle n=(1,\cdots ,k)}$ ${\displaystyle n=(n_{1},\cdots ,n_{k})}$

${\displaystyle \Sigma _{k}(n)}$y una partición asociada de : es el conjunto de clases de equivalencia de la relación dada por sif , y . Ahora el término aparece en el lado izquierdo de exactamente los tiempos. Ocurre en el lado derecho en aquellos términos correspondientes a particiones que son refinamientos de : dejando denotar refinamiento, ocurre tiempos. Por lo tanto, la conclusión se obtendrá si se trata de cualquier k -tupla y partición asociada . Para ver esto, tenga en cuenta que cuenta las permutaciones que tienen un tipo de ciclo especificado por : dado que cualquier elemento de tiene un tipo de ciclo único especificado por una partición que refina , el resultado es el siguiente. ^[6] ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle (1,2,\cdots ,k)}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle i\sim j}$ ${\displaystyle n_{i}=n_{j}}$ ${\displaystyle \Sigma _{k}(n)=\{\sigma \in \Sigma _{k}:\sigma (i)\sim \forall i\}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}}$ ${\displaystyle \sum _{\sigma \in \Sigma _{k}}S(i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})=\sum _{{\text{partitions }}\Pi {\text{ of }}\{1,\dots ,k\}}c(\Pi )\zeta (i,\Pi )}$ ${\displaystyle \left|\Sigma _{k}(n)\right|}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle {\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}}$ ${\displaystyle \sum _{\Pi \succeq \Lambda }(\Pi )}$ ${\displaystyle \left|\Sigma _{k}(n)\right|=\sum _{\Pi \succeq \Lambda }c(\Pi )}$ ${\displaystyle n=\{n_{1},\cdots ,n_{k}\}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle c(\Pi )}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Sigma _{k}(n)}$ ${\displaystyle \Lambda }$

Para , el teorema dice para . Este es el resultado principal de. ^[7] ${\displaystyle k=3}$ ${\displaystyle \sum _{\sigma \in \Sigma _{3}}S(i_{\sigma (1)},i_{\sigma (2)},i_{\sigma (3)})=\zeta (i_{1})\zeta (i_{2})\zeta (i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{2})\zeta (i_{3})+\zeta (i_{1})\zeta (i_{2}+i_{3})+\zeta (i_{1}+i_{3})\zeta (i_{2})+2\zeta (i_{1}+i_{2}+i_{3})}$ ${\displaystyle i_{1},i_{2},i_{3}>1}$

Teniendo . Para enunciar la analogía del Teorema 1 para , necesitamos un bit de notación. para una partición ${\displaystyle \zeta (i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k})=\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots n_{k}\geq 1}{\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$ ${\displaystyle \zeta 's}$

${\displaystyle \Pi =\{P_{1},\cdots ,P_{l}\}}$de , deja . ${\displaystyle \{1,2\cdots ,k\}}$ ${\displaystyle {\tilde {c}}(\Pi )=(-1)^{k-l}c(\Pi )}$

Teorema 2 (Hoffman)

Para cualquier real , . ${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}>1}$ ${\displaystyle \sum _{\sigma \in \Sigma _{k}}\zeta (i_{\sigma (1)},\dots ,i_{\sigma (k)})=\sum _{{\text{partitions }}\Pi {\text{ of }}\{1,\dots ,k\}}{\tilde {c}}(\Pi )\zeta (i,\Pi )}$

Prueba. Seguimos la misma línea argumental que en la prueba anterior. El lado izquierdo es ahora y un término aparece en el lado izquierdo desde una vez si todos son distintos, y en ningún otro caso. Por tanto, basta demostrar (1) ${\displaystyle \sum _{\sigma }\sum _{n_{1}>n_{2}>\cdots >n_{k}\geq 1}{\frac {1}{{n^{i_{1}}}_{\sigma (1)}{n^{i_{2}}}_{\sigma (2)}\cdots {n^{i_{k}}}_{\sigma (k)}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{n_{1}^{i_{1}}n_{2}^{i_{2}}\cdots n_{k}^{i_{k}}}}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{\Pi \succeq \Lambda }{\tilde {c}}(\Pi )={\begin{cases}1,{\text{ if }}\left|\Lambda \right|=k\\0,{\text{ otherwise }}.\end{cases}}}$

Para probar esto, observe primero que el signo de es positivo si las permutaciones de tipo ciclo son pares y negativo si son impares : por lo tanto, el lado izquierdo de (1) es la suma con signo del número de pares e impares. permutaciones en el grupo de isotropía . Pero tal grupo de isotropía tiene igual número de permutaciones pares e impares a menos que sea trivial, es decir, a menos que la partición asociada sea . ^[6] ${\displaystyle {\tilde {c}}(\Pi )}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Sigma _{k}(n)}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \{\{1\},\{2\},\cdots ,\{k\}\}}$

Las conjeturas de la suma y la dualidad [6]

Primero planteamos la conjetura de la suma, que se debe a C. Moen. ^[8]

Conjetura de la suma (Hoffman). Para enteros positivos k y n , donde la suma se extiende sobre k -tuplas de enteros positivos con . ${\displaystyle \sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n,i_{1}>1}\zeta (i_{1},\cdots ,i_{k})=\zeta (n)}$ ${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}}$ ${\displaystyle i_{1}>1}$

Conviene hacer tres observaciones sobre esta conjetura . Primero, implica . En segundo lugar, en el caso de que diga que , o usando la relación entre y y Teorema 1, ${\displaystyle \sum _{i_{1}+\cdots +i_{k}=n,i_{1}>1}S(i_{1},\cdots ,i_{k})={n-1 \choose k-1}\zeta (n)}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle \zeta (n-1,1)+\zeta (n-2,2)+\cdots +\zeta (2,n-2)=\zeta (n)}$ ${\displaystyle \zeta 's}$ ${\displaystyle S's}$ ${\displaystyle 2S(n-1,1)=(n+1)\zeta (n)-\sum _{k=2}^{n-2}\zeta (k)\zeta (n-k).}$

Esto fue demostrado por Euler ^[9] y redescubierto varias veces, en particular por Williams. ^[10] Finalmente, C. Moen ^[8] ha demostrado la misma conjetura para k =3 mediante argumentos extensos pero elementales. Para la conjetura de la dualidad, primero definimos una involución en el conjunto de secuencias finitas de números enteros positivos cuyo primer elemento es mayor que 1. Sea el conjunto de secuencias finitas estrictamente crecientes de números enteros positivos, y sea la función que envía una secuencia en a su secuencia de sumas parciales. Si es el conjunto de sucesiones cuyo último elemento es como máximo , tenemos dos involuciones conmutantes y definidas por y = complemento de en ordenadas en orden creciente. Nuestra definición de es para con . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \Im }$ ${\displaystyle \mathrm {T} }$ ${\displaystyle \Sigma :\Im \rightarrow \mathrm {T} }$ ${\displaystyle \Im }$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {T} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{n}}$ ${\displaystyle R_{n}(a_{1},a_{2},\dots ,a_{l})=(n+1-a_{l},n+1-a_{l-1},\dots ,n+1-a_{1})}$ ${\displaystyle C_{n}(a_{1},\dots ,a_{l})}$ ${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{l}\}}$ ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau (I)=\Sigma ^{-1}R_{n}C_{n}\Sigma (I)=\Sigma ^{-1}C_{n}R_{n}\Sigma (I)}$ ${\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k})\in \Im }$ ${\displaystyle i_{1}+\cdots +i_{k}=n}$

Por ejemplo, diremos que las secuencias y son duales entre sí, y nos referiremos a una secuencia fijada por como autodual. ^[6] ${\displaystyle \tau (3,4,1)=\Sigma ^{-1}C_{8}R_{8}(3,7,8)=\Sigma ^{-1}(3,4,5,7,8)=(3,1,1,2,1).}$ ${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$ ${\displaystyle \tau (i_{1},\dots ,i_{k})}$ ${\displaystyle \tau }$

Conjetura de la dualidad (Hoffman). Si es dual a , entonces . ${\displaystyle (h_{1},\dots ,h_{n-k})}$ ${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{k})}$ ${\displaystyle \zeta (h_{1},\dots ,h_{n-k})=\zeta (i_{1},\dots ,i_{k})}$

Esta conjetura de la suma también se conoce como teorema de la suma y se puede expresar de la siguiente manera: el valor zeta de Riemann de un número entero n  ≥ 2 es igual a la suma de todos los MZV válidos (es decir, con s ₁  > 1) de las particiones de longitud k y peso n , con 1 ≤  k  ≤  n  − 1. En fórmula: ^[3]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {s_{1}+\cdots +s_{k}=n}{s_{1}>1}}\zeta (s_{1},\ldots ,s_{k})=\zeta (n).}$

Por ejemplo, con longitud k = 2 y peso n = 7:

${\displaystyle \zeta (6,1)+\zeta (5,2)+\zeta (4,3)+\zeta (3,4)+\zeta (2,5)=\zeta (7).}$

Suma de Euler con todas las posibles alternancias de signo.

La suma de Euler con alternancia de signo aparece en estudios de la suma de Euler no alternante. ^[5]

Notación

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(b)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{a}}}=\zeta ({\bar {a}},b)}$ con son los números armónicos generalizados . ${\displaystyle H_{n}^{(b)}=+1+{\frac {1}{2^{b}}}+{\frac {1}{3^{b}}}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(b)}}{(n+1)^{a}}}=\zeta (a,{\bar {b}})}$ con ${\displaystyle {\bar {H}}_{n}^{(b)}=-1+{\frac {1}{2^{b}}}-{\frac {1}{3^{b}}}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(b)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{a}}}=\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(c)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})}$con ${\displaystyle {\bar {H}}_{n}^{(c)}=-1+{\frac {1}{2^{c}}}-{\frac {1}{3^{c}}}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(c)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta ({\bar {a}},b,c)}$con ${\displaystyle H_{n}^{(c)}=+1+{\frac {1}{2^{c}}}+{\frac {1}{3^{c}}}+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(c)}(-1)^{(n+1)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta (a,{\bar {b}},c)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)^{a}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\bar {H}}_{n}^{(c)}}{(n+1)^{b}}}=\zeta (a,b,{\bar {c}})}$

Como variante de la función Dirichlet eta definimos

${\displaystyle \phi (s)={\frac {1-2^{(s-1)}}{2^{(s-1)}}}\zeta (s)}$con ${\displaystyle s>1}$

${\displaystyle \phi (1)=-\ln 2}$

Fórmula de reflexión

La fórmula de reflexión se puede generalizar de la siguiente manera: ${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta (b,a)=\zeta (a)\zeta (b)-\zeta (a+b)}$

${\displaystyle \zeta (a,{\bar {b}})+\zeta ({\bar {b}},a)=\zeta (a)\phi (b)-\phi (a+b)}$

${\displaystyle \zeta ({\bar {a}},b)+\zeta (b,{\bar {a}})=\zeta (b)\phi (a)-\phi (a+b)}$

${\displaystyle \zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})+\zeta ({\bar {b}},{\bar {a}})=\phi (a)\phi (b)-\zeta (a+b)}$

si tenemos ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle \zeta ({\bar {a}},{\bar {a}})={\tfrac {1}{2}}{\Big [}\phi ^{2}(a)-\zeta (2a){\Big ]}}$

Otras relaciones

Usando la definición de serie es fácil demostrar:

${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta (a,{\bar {b}})+\zeta ({\bar {a}},b)+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})={\frac {\zeta (a,b)}{2^{(a+b-2)}}}}$con ${\displaystyle a>1}$

${\displaystyle \zeta (a,b,c)+\zeta (a,b,{\bar {c}})+\zeta (a,{\bar {b}},c)+\zeta ({\bar {a}},b,c)+\zeta (a,{\bar {b}},{\bar {c}})+\zeta ({\bar {a}},b,{\bar {c}})+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}},c)+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})={\frac {\zeta (a,b,c)}{2^{(a+b+c-3)}}}}$con ${\displaystyle a>1}$

Otra relación útil es: ^[5]

${\displaystyle \zeta (a,b)+\zeta ({\bar {a}},{\bar {b}})=\sum _{s>0}(a+b-s-1)!{\Big [}{\frac {Z_{a}(a+b-s,s)}{(a-s)!(b-1)!}}+{\frac {Z_{b}(a+b-s,s)}{(b-s)!(a-1)!}}{\Big ]}}$

dónde y ${\displaystyle Z_{a}(s,t)=\zeta (s,t)+\zeta ({\bar {s}},t)-{\frac {{\Big [}\zeta (s,t)+\zeta (s+t){\Big ]}}{2^{(s-1)}}}}$ ${\displaystyle Z_{b}(s,t)={\frac {\zeta (s,t)}{2^{(s-1)}}}}$

Tenga en cuenta que debe usarse para todos los valores para los cuales el argumento de los factoriales es ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle >1}$ ${\displaystyle \geqslant 0}$

Otros resultados

Para todos los números enteros positivos : ${\displaystyle a,b,\dots ,k}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,k)=\zeta (k+1)}$o más generalmente:

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,a,b,\dots ,k)=\zeta (a+1,b,\dots ,k)}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,{\bar {k}})=-\phi (k+1)}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,{\bar {a}},b)=\zeta ({\overline {a+1}},b)}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,a,{\bar {b}})=\zeta (a+1,{\bar {b}})}$

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }\zeta (n,{\bar {a}},{\bar {b}})=\zeta ({\overline {a+1}},{\bar {b}})}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\zeta (n,k)=\zeta (n)-1}$

${\displaystyle 1-\zeta (2)+\zeta (3)-\zeta (4)+\cdots =|{\frac {1}{2}}|}$

${\displaystyle \zeta (a,a)={\tfrac {1}{2}}{\Big [}(\zeta (a))^{2}-\zeta (2a){\Big ]}}$

${\displaystyle \zeta (a,a,a)={\tfrac {1}{6}}(\zeta (a))^{3}+{\tfrac {1}{3}}\zeta (3a)-{\tfrac {1}{2}}\zeta (a)\zeta (2a)}$

Valores zeta de Mordell-Tornheim

La función zeta de Mordell-Tornheim, introducida por Matsumoto (2003), motivado por los artículos Mordell (1958) y Tornheim (1950), se define por

${\displaystyle \zeta _{MT,r}(s_{1},\dots ,s_{r};s_{r+1})=\sum _{m_{1},\dots ,m_{r}>0}{\frac {1}{m_{1}^{s_{1}}\cdots m_{r}^{s_{r}}(m_{1}+\dots +m_{r})^{s_{r+1}}}}}$

Es un caso especial de la función Shintani zeta .

Referencias

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Notas

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enlaces externos

• Borwein, Jonathan; Zudilin, Wadim. "Apuntes de conferencias sobre la función Zeta múltiple".
• Hoffman, Michael (2012). "Múltiples valores zeta".
• Zhao, Jianqiang (2016). Múltiples funciones Zeta, múltiples polilogaritmos y sus valores especiales . Serie sobre teoría de números y sus aplicaciones. vol. 12. Publicaciones científicas mundiales. doi :10.1142/9634. ISBN 978-981-4689-39-7.
• Burgos Gil, José Ignacio; Fresan, Javier. "Múltiples valores zeta: de números a motivos" (PDF) .