Función Shintani zeta

En matemáticas , una función Shintani zeta o función L Shintani es una generalización de la función zeta de Riemann . Fueron estudiados por primera vez por Takuro Shintani  (1976). Incluyen las funciones zeta de Hurwitz y las funciones zeta de Barnes .

Definición

Sea un polinomio en las variables con coeficientes reales tal que sea producto de polinomios lineales con coeficientes positivos, es decir, , donde donde , y . La función Shintani zeta en la variable está dada por (la continuación meromórfica de) ${\displaystyle P(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{r})}$ ${\displaystyle P(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle P(\mathbf {x} )=P_{1}(\mathbf {x} )P_{2}(\mathbf {x} )\cdots P_{k}(\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle P_{i}(\mathbf {x} )=a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+\cdots +a_{ir}x_{r}+b_{i},}$$ ${\displaystyle a_{ij}>0}$ ${\displaystyle b_{i}>0}$ ${\displaystyle k=\deg P}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle \zeta (P;s)=\sum _{x_{1},\dots ,x_{r}=1}^{\infty }{\frac {1}{P(\mathbf {x} )^{s}}}.}$$

La versión multivariable

La definición de función zeta de Shintani tiene una generalización sencilla a una función zeta en varias variables dada por El caso especial cuando k  = 1 es la función zeta de Barnes . ${\displaystyle (s_{1},\dots ,s_{k})}$ $${\displaystyle \sum _{x_{1},\dots ,x_{r}=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{1}(\mathbf {x} )^{s_{1}}\cdots P_{k}(\mathbf {x} )^{s_{k}}}}.}$$

Relación con las funciones zeta de Witten

Al igual que las funciones Shintani zeta, las funciones Witten zeta están definidas por polinomios que son productos de formas lineales con coeficientes no negativos. Sin embargo, las funciones Witten zeta no son casos especiales de funciones Shintani zeta porque en las funciones Witten zeta las formas lineales pueden tener algunos coeficientes iguales a cero. Por ejemplo, el polinomio define la función zeta de Witten pero la forma lineal tiene un coeficiente igual a cero. ${\displaystyle (x+1)(y+1)(x+y+2)/2}$ ${\displaystyle SU(3)}$ ${\displaystyle x+1}$ ${\displaystyle y}$

Referencias

• Hida, Haruzo (1993), Teoría elemental de funciones L y series de Eisenstein , Textos para estudiantes de la London Mathematical Society, vol. 26, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-0-521-43411-9, SEÑOR  1216135, Zbl  0942.11024
• Shintani, Takuro (1976), "Sobre la evaluación de funciones zeta de campos numéricos algebraicos totalmente reales en números enteros no positivos", Revista de la Facultad de Ciencias. Universidad de Tokio. Sección IA. Matemáticas , 23 (2): 393–417, ISSN  0040-8980, SEÑOR  0427231, Zbl  0349.12007